苏教版必修一2.3函数的表示方法(学案含答案)

一、考点突破
能够熟练掌握函数的三种表示方法。

能够根据函数的表达式求函数的值域。

二、重难点提示
求函数的值域的方法。

二、函数值域的相关概念
（1）函数值 在函数y ＝f （x ），x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值。

（2）函数的值域：
我们把函数值的集合{f （x ）|x ∈A}叫做函数的值域。

2. 基本初等函数的值域
①y ＝kx ＋b （k ≠0）的值域是______。

②y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的值域是：当a >0时，值域为⎣⎡⎭
⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝
⎛⎦⎤
－∞，4ac －b 2
4a 。

③y ＝k
x （k ≠0）的值域是{y |y ∈R 且y ≠0}。

例题1 求函数y ＝x －1－2x 的值域。

思路分析：利用换元法。

解：令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 2
2
，
于是y ＝1－t 22－t ＝－1
2
（t ＋1）2＋1，
由于t ≥0，所以y ≤1
2，
故函数的值域是}2
1|{≤
y y ， 答案：函数的值域是}2
1
|{≤y y 。

例题2 求函数 y ＝x 2－x
x 2－x ＋1
的值域。

思路分析：函数表达式中分子分母同时含有变量，直接求解值域较为困难。

通过凑、配等方法，有意识地使得分子变为一个常数，进而研究分母的范围，最终得到函数表达式的值域。

答案：
解：方法一（配方法）
∵y ＝1－1
x 2－x ＋1
，
又x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43
，∴－1
3≤y <1，
∴函数的值域为⎣⎡⎭
⎫－1
3，1； 方法二（判别式法）
由y ＝x 2－x
x 2－x ＋1，x ∈R ，得（y －1）x 2＋（1－y ）x ＋y ＝0，
∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1，
又∵x ∈R ，∴Δ＝（1－y ）2－4y （y －1）≥0，
解得－1
3≤y ≤1，
综上得－1
3
≤y <1，
∴函数的值域为⎣⎡⎭
⎫－1
3，1。

函数值域的几何意义是对应函数图象上的点的纵坐标的变化范围。

利用函数的几何意
义，数形结合可求某些函数的值域。

【方法提炼】
数形结合求函数的值域
函数值域的几何意义是对应函数图象上的点的纵坐标的变化范围。

利用函数的几何意义，数形结合可求某些函数的值域。

【满分训练】
求函数y ＝
()
()
2
2
28x x -+
+的值域。

解析：原函数可化简得：y ＝∣x －2∣＋∣x ＋8∣
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B （－8）间的距离之和， 由上图可知：当点P 在线段AB 上时， y ＝∣x －2∣＋∣x ＋8∣＝∣AB ∣＝10
当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时， y ＝∣x －2∣＋∣x ＋8∣＞∣AB ∣＝10 故所求函数的值域为：[10，＋∞） 答案：所求函数的值域为：[10，＋∞）。

技巧点拨：本题考查函数的图象，函数的值域及数形结合的数学思想。

数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。