最新人教版九年级数学上册：二次函数y=ax2+k的图象和性质及答案.docx

22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质
知能演练提升
能力提升
1.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位长度,那么所得新抛物线的解析式是( )
A.y=(x-1)2+2
B.y=(x+1)2+2
C.y=x2+1
D.y=x2+3
2.已知抛物线y=-x2+2,当1≤x≤5时,y的最大值是( )
A.2
B.
C.
D.
3.若二次函数y=ax2+c当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为( )
A.a+c
B.a-c
C.-c
D.c
4.
如图,已知抛物线y1=-2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1,y2.若y1≠y2,取y1,y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如:当x=1
时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时M=0.下列判断:①当x>0时,y1>y2;②当x<0时,x值越大,M值越小;③使得M大于2的x值不存在;④使得M=1的x值是-.其中正确的是( )
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
5.廊桥是我国古老的文化遗产.下面是某座抛物线形的廊桥示意图,已知抛物线的函数表达式为y=-x2+10,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面AB高为8 m的点E,F处要
安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离EF是 m.(精确到1 m)
6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B,C,则BC的长为.
7.若抛物线y=2+m-5的顶点在x轴下方,则m= .
8.已知函数y1=-x2,y2=-x2+3和y3=-x2-1,y4=-x2+6.
(1)分别画出它们的图象;
(2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)试说明函数y2=-x2+3,y3=-x2-1,y4=-x2+6的图象分别由抛物线y1=-x2作怎样的平移才能得到?
9.已知直线y=2x与抛物线y=ax2+3相交于点(2,b).
(1)求a,b的值;
(2)若直线y=2x上纵坐标为2的点为A,抛物线y=ax2+3的顶点为B,求S△AOB.
★10.如图,二次函数y=-x2+c的图象经过点D,与x轴交于A,B两点.
(1)求c的值;
(2)设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点,直线AC将四边形ABCD的面积二等分,试证明线段BD被直线AC平分,并求此时直线AC的函数解析式.
创新应用
★11.明珠大剧场坐落在聊城东昌湖西岸,其上部为能够旋转的拱形钢结构,并且具有开启、闭合功能,如图①.舞台顶部横剖面拱形可近似看作抛物线的一部分,其中舞台高度为1.15 m,台口高度为13.5 m,台口宽度为29 m,如图②.以ED所在直线为x轴,过拱顶点A且垂直于ED的直线为y轴,建立平面直角坐标系.
①
②
(1)求拱形抛物线的函数解析式;
(2)舞台大幕悬挂在长度为20 m的横梁MN上,其下沿恰与舞台面接触,求大幕的高度(精确到0.01 m).
答案：能力提升
1.C
2.C 因为a=-<0,所以抛物线的开口向下,当x>0时,y随x的增大而减小,因为1≤x≤5,所以当x=1时,y有最大值,为.故选C.
3.D 因为抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴,再由抛物线的对称性知x1和x2互为相反数,所以x1+x2=0,把x=0代入y=ax2+c得y=c.故选D.
4.D 观察题中图象可知当x>0时,y1<y2,故①不正确;②当x<0时,x值越大,M值越大,故
②不正确;由图象可知M的最大值为2,故使得M大于2的x值不存在,故③正确;当
M=1时,2x+2=1(-1≤x≤0)或-2x2+2=1(x>0),解得x=-或x=,故④正确.
5.18 要求EF的长,只需求出点E或点F的横坐标即可.由题意知点E的纵坐标为8,
所以得8=-x2+10,解得x=±4,所以点E(-4,8),点F(4,8),EF=8≈18(m).
6.6 在函数y=ax2+3中,当x=0时,y=3,故点A坐标为(0,3).
把y=3代入y=x2,解得x=±3,故点B坐标为(-3,3),点C坐标为(3,3),BC=6.
7.-1 依题意可知m2-4m-3=2,且m-5<0,故m=-1.
8.解:(1)函数图象如下图,从上到下依次为函数y4=-x2+6,y2=-x2+3,y1=-x2,y3=-x2-1的图象.
(2)如下表: 抛物线
开
口 方向
对称轴 顶点
坐标
y 1=-x 2
向
下
x=0 (0,0)
y 2=-x 2+3 向
下
x=0 (0,3)
y 3=-x 2-1
向
下 x=0 (0,-1)
y 4=-x 2+6 向
下
x=0 (0,6)
(3)分别由抛物线y 1=-x 2向上平移3个单位长度、向下平移1个单位长度、向上平移6个单位长度得到.
9.解:(1)因为点(2,b)在直线y=2x 上,所以b=4.
又因为(2,b)即(2,4)在抛物线y=ax2+3上,所以4a+3=4.所以a=.
(2)在y=2x中,令y=2,则x=1,所以A(1,2).
又因为抛物线y=x2+3的顶点B为(0,3),
所以S△AOB=OB·|x A|=×3×1=.
10.分析:(1)将点D的坐标代入二次函数解析式即可求出c的值;(2)要证明线段BD被直线AC平分,从“直线AC将四边形ABCD的面积二等分”来寻求解题思路,不难发现S△
=S△ADC.通过面积法可得公共边AC上的两条高相等,再通过全等可得线段BD被直线ABC
AC平分.
解:(1)因为抛物线经过点D,
所以-×(-)2+c=.
所以c=6.
(2)如图,过点D,B分别作直线AC的垂线,垂足分别为E,F,设AC与BD交于点M,
因为AC将四边形ABCD的面积二等分,即S△ABC=S△ADC,
所以DE=BF.
又因为∠DME=∠BMF,∠DEM=∠BFM,
所以△DEM≌△BFM.
所以DM=BM,即AC平分BD.
因为c=6,所以抛物线的解析式为y=-x2+6.
所以A(-2,0),B(2,0).
因为M是BD的中点,
所以M.
设直线AC的解析式为y=kx+b,由直线AC经过点A,M,
可得
解得
所以直线AC的解析式为y=x+.
创新应用
11.解:(1)由题设可知,OA=13.5+1.15=14.65(m),OD=(m),则A(0,14.65),C.
设拱形抛物线的解析式为y=ax2+c,
则
解得a=-,c=14.65.
故所求函数的解析式为y=-x2+14.65.
(2)由MN=20 m,设点N的坐标为(10,y0),代入关系式,得y0=-×102+14.65≈8.229.
故y0-1.15=8.229-1.15=7.079≈7.08,
即大幕的高度约为7.08 m.。