初中数学竞赛——余数定理和综合除法

第1讲 余数定理和综合除法
知识总结归纳
一．除法定理：
()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使
()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。

这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.
二．余数定理：
对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。

设这时商为多项式()g x ，则有
()()()()f x x c g x f c =-+
也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .
三．试根法的依据（因式定理）：
如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。

四．试根法的应用：
假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.
特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。

典型例题
一. 多项式的除法
【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式
()R x .
【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的
商式()Q x 和余式()R x .
【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式
()R x .
二. 综合除法
【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.
【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .
（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；
（2）32()321f x x x =-+，1()3
g x x =+.
【例6】 用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.
【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式
和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.
（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2
h x x =-.
三. 余数定理和多项式理论
【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.
【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？
【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；
（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.
【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .
【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.
【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.
【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被
积()()x a x b --整除.
【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的
余式.
【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是
34x --.求这个三次多项式.
【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求
这个三项式.
【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和
()h x ，其中()h x 不是常数.
【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.
【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.
【例21】 如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .
四. 因式分解（试根法）
【例22】 分解因式：354x x -+.
【例23】 分解因式：326116x x x +++.
【例24】 分解因式：4322928x x x x +--+.
【例25】 分解因式：43293732x x x x -+--.
【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++
【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-
【例28】 分解因式：32511133
x x x ---
【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-
【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-
【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+
思维飞跃
【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.
【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，
又是多项式
4234285x x x +++的因子，求()f x .
【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b
--+--））.
【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得
的余式.
【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.
作业
1. 分解因式：
（1）3246a a a -++.
（2）43233116a a a a +---.
（3）4322347136x x y x y xy y --+-.
2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.
3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)
x x x ---所得的余式.
4. 若554x qx r -+能被
22)x -（整除，求q 与r 的值.
5. 分解因式：3245x x +-.
6. 分解因式：4322344x x x x +--+.
7. 分解因式：4322744x x x x +++-.
8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.
9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.
10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.
11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.
12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.
13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.
14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.
15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使
123()()()1f a f a f a ===.
又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.
16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。