黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试(3月)数学(理)试题 含解析

齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试
数学试卷（理科）
一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】．
故选B．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2.设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可解出集合B，然后进行交集的运算即可．
【详解】B＝{x|x＞1}；
∴A∩B＝∅．
故选：A．
【点睛】考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义，属于基础题．
3.若满足不等式组则的最小值为（）
A. -2
B. -3
C. -4
D. -5 【答案】D
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．
【详解】画出x，y满足不等式组表示的平面区域，
如图所示：
平移目标函数z＝2x﹣3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）
当目标函数过点A时，z取得最小值，
∴z的最小值为2×2﹣3×3＝﹣5．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．
4.已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
【详解】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，
又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：b a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．
故选：A．
【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．
5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地.在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个
全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．
【详解】图标第一部分的面积为8×3×1＝24，
图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝9π，
图标第三部分的面积为π×22＝4π，
故此点取自图标第三部分的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．
6.设等差数列的前项和为，且，，则的公差为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，分析可得4a1+6d＝3（2a1+d），a1+6d＝15，解可得d的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，
若S4＝3S2，a7＝15，则4a1+6d＝3（2a1+d），a1+6d＝15，
解可得a1＝3，d＝2；
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题．
7.运行如图程序，则输出的的值为（）
A. 0
B. 1
C. 2018
D. 2017
【答案】D
【解析】
依次运行程序框图给出的程序可得
第一次：，不满足条件；
第二次：，不满足条件；
第三次：，不满足条件；
第四次：，不满足条件；
第五次：，不满足条件；
第六次：，满足条件，退出循环。

输出2017。

选D。

8.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；
【详解】f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，
可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，
故选：B．
【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．
9.在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由异面直线所成的角的定义，先作出这个异面直线所成的角的平面角，即连接DC1，再证明∠BC1D就是异面直线AB1与所成的角，最后在△BC1D中计算此角的余弦值即可．
【详解】如图连接C1D，则C1D∥AB1，
∴∠BC1D就是异面直线AB1与BC1所成的角．
又，，∴=，∴AB=，
∴=BD，
在△BC1D中，
∴cos BC1D．
∴异面直线AB1与所成的角的余弦值为：．
故选：D．
【点睛】本题考查了异面直线所成的角的定义和求法，关键是先作再证后计算，将空间角转化为平面角的思想，属于基础题．
10.已知函数在上是单调函数，且，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得 cos（α），
则α∈（，]，由此可得α的取值范围．
【详解】函数f（x）cos x﹣sin x＝2cos（x）在（0，α）上是单调函数，∴α≤π，∴0＜α．
又f（α）≥﹣1，即 cos（α），则α∈（，]，∴α∈（0，]，
故选：C．
【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．
11.已知半圆：，、分别为半圆与轴的左、右交点，直线过点且与轴垂直，点在直线上，纵坐标为，若在半圆上存在点使，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．
【详解】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|＝|t|，
由于BP与x轴垂直，且∠BPQ，则在Rt△PBT中，
|BT||PB||t|，
当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，
当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值，
t＝0时，P与B重合，不符合题意，
则t的取值范围为[，0）]；
故选：A．
【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于中档题．
12.在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B﹣AC﹣D的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥B﹣ACD为正四面体，可得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．【详解】如下图所示，
易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC，BN⊥AC．
所以，∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，可得BO⊥平面ACD．
因为在△BDN中，，所以，BD2＝BN2+DN2﹣2BN•DN•cos∠BND，
则BD＝2．
故三棱锥A﹣BCD为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的，又正四面体的高为棱长的，故．
因此，三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用二倍角的余弦公式求得cos2a的值．
【详解】∵22，
故答案为．
【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
14.的展开式中，的系数为______．
【答案】120
【解析】
【分析】
根据（2+x）5的展开式的通项公式可得（1+x）（+x）5的展开式中，x3的系数．
【详解】∵（+x）5的展开式的通项公式为T r+125-r•x r，
∴在（1+x）（+x）5的展开式中，x3的系数为40+80＝120，
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
15.已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为____．【答案】
【解析】
【分析】
根据条件构造函数g（x）＝f（x）﹣x，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
【详解】由x﹣3≤f（x）≤x等价为﹣3≤f（x）﹣x≤0
设g（x）＝f（x）﹣x，
又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），
则有g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣f（x）+x＝﹣[f（x）﹣x]＝﹣g（x），
即函数g（x）为R上的奇函数，
则有g（0）＝0；
又由对任意0≤x1＜x2时，有1，
则1，
∵1，
∴1＜0，
即g（x）在[0，+∞）上为减函数，
∵g（x）是奇函数，
∴g（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，
∵f（﹣2）＝1，∴g（﹣2）＝f（﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3；
g（2）＝﹣3，g（0）＝f（0）﹣0＝0，
则﹣3≤f（x）﹣x≤0等价为g（2）≤g（x）≤g（0），
∵g（x）是减函数，
∴0≤x≤2，
即不等式x﹣3≤f（x）≤x的解集为[0，2]；
故答案为：[0，2]．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．
16.已知数列的前项和满足，.数列的前项和为，则满足的最小的值为______．【答案】7
【解析】
【分析】
根据题意，将S n＝3a n﹣2变形可得S n﹣1＝3a n﹣1﹣2，两式相减变形，并令n＝1求出a1的值，即可得数列{a n}是等比数列，求得数列{a n}的通项公式，再由错位相减法求出T n的值，利用T n＞100，验证分析可得n的最小值，即可得答案．【详解】根据题意，数列{a n}满足S n＝3a n﹣2，①
当n≥2时，有S n﹣1＝3a n﹣1﹣2，②，
①﹣②可得：a n＝3a n﹣3a n﹣1，变形可得2a n＝3a n﹣1，
当n＝1时，有S1＝a1＝3a1﹣2，解可得a1＝1，
则数列{a n}是以a1＝1为首项，公比为的等比数列，则a n＝（）n﹣1，
数列{na n}的前n项和为T n，则T n＝1+23×（）2+……+n×（）n﹣1，③
则有T n2×（）2+3×（）3+……+n×（）n，④
③﹣④可得：T n＝1+（）+（）2+……×（）n﹣1﹣n×（）n＝﹣2（1）﹣n×（）n，
变形可得：T n＝4+（2n﹣4）×（）n，
若T n＞100，即4+（2n﹣4）×（）n＞100，
分析可得：n≥7，故满足T n＞100的最小的n值为7；
故答案为：7．
【点睛】本题考查数列的递推公式及错位相减法求和，关键是分析数列{a n}的通项公式，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知中，角所对的边分别是，的面积为，且，.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知利用三角形面积公式可得tan A＝2，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，cos A，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cos B的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin B，利用正弦定理可得b的值，即可得S的值．
【详解】（1）∵S bc sin A＝bc cos A，
∴sin A＝2cos A，可得：tan A＝2，
∵△ABC中，A为锐角，
又∵sin2A+cos2A＝1，
∴可得：sin A，cos A，
又∵C，
∴cos B＝﹣cos（A+C）＝﹣cos A cos C+sin A sin C，
（2）在△ABC中，sin B，
由正弦定理，可得：b3，
∴S＝bc cos A＝3．
【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.如图，四棱锥中，，，，，PA=PD=CD=BC=1.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．
（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB 的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【详解】（1）∵AB∥CD，∠BCD，PA＝PD＝CD＝BC＝1，
∴BD，∠ABC，，∴，
∵AB＝2，∴AD，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，
∵PA⊥BD，PA∩AD＝A，∴BD⊥平面PAD，
∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO，
由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，
直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（，0），B（，0），C（，0），P（0，0，），
（﹣1，0，0），（，），
设平面PBC的法向量（x，y，z），
则，取z，得（0，，），
∵（，），
∴cos，
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．
【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19.中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，
（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？
（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中.
临界值表
【答案】（1）见解析；（2）（i）男生有6人，女生有4人. （ii）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2）（i）由男女生所占的比例直接求解；（ii）分别求得不同取值下的概率，列出分布列，根据期望公式计算结果即可.
【详解】（1）
由列联表中数据，计算得到的观测值为.
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关.
（2）（i）“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为，故用分层抽样方法从中抽出10人，男生有6人，女生有4人.
（ii）的可能取值为0，1，2；
，
，
，
∴的分布列为
∴的数学期望.
【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样及离散型随机变量的应用问题，是基础题．20.已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为.过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，直线与椭圆相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在直线与椭圆相交于两点，使得？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意列出关于a,b的关系式，解得a，b即可.
（2）将直线与椭圆联立，将向量数量积的运算用坐标形式表示，利用根与系数之间的关系确定k的取值范围．
【详解】（1）在中，令，得，解得.
由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长）为3，
得，
所以.①
因为直线：与椭圆相切，则.②
将②代入①，得.
故椭圆的标准方程为.
（2）设点，.
由（1）知，则直线的方程为.
联立得，
则恒成立.
所以，，
.
因为，
所以.即.
即，
得，得，
即，
解得；
∴直线存在，且的取值范围是.
【点睛】本题综合考查椭圆的性质及其应用、直线与椭圆的位置关系，考查了向量数量积的坐标运算，同时考查了基本运算能力、逻辑推理能力，难度较大．
21.已知函数.
（1）若函数在上有2个零点，求实数的取值范围.（注）
（2）设，若函数恰有两个不同的极值点，，证明：.
【答案】（1）（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）将a分离，构造函数，利用导数研究的图像，得到a的范围.
（2）由已知，求其导函数，由x1，x2是g（x）的两个不同极值点，可得a＞0，结合g′（x1）＝0，g′（x2）＝0得到，进一步得到，把问题转化为证明，将其变形后整体换元构造函数．再利用导数证明＞0得答案．
【详解】（1）时，由得，
令
∴时，，
时，，
∴在上是减函数，在上是增函数.
又，，
，
∴，∴h（x）的大致图像：
利用与的图像知.
（2）由已知，∴，
因为，是函数的两个不同极值点（不妨设），
易知（若，则函数没有或只有一个极值点，与已知矛盾），
且，.所以，.
两式相减得，
于是要证明，即证明，两边同除以，
即证，即证，
即证，
令，.即证不等式，当时恒成立.
设，则.
设，则，
当时，，
单调递减，所以，即，所以，
所以在时是减函数.故在处取得最小值.
所以得证.所以.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查了导数在解决不等式证明问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，属于难题．
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），是曲线上的任一点，过作轴的垂线，垂足为，线段的中点的轨迹为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若直线：交曲线于，两点，求.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）曲线C的参数方程消去参数α求出曲线C的普通方程，再设P，Q中点坐标，表示出P坐标代入曲线方程，得到的直角坐标方程．
（2）联立直线与曲线的方程，求得交点横坐标，利用弦长公式求出弦长|MN|．
【详解】（1）消去参数α得曲线的普通方程为，
设的中点坐标为，则点坐标为，则中点的轨迹方程为.
（2）∵直线的直角坐标方程为；
∴联立，得
∴.
【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查了轨迹问题及弦长公式，考查运算求解能力，是中档题．
23.已知函数.
（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）已知．且对于，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用绝对值的定义分类求解；(2)借助题设条件运用绝对值的几何意义与基本不等式求解. 试题解析：
（1），
当时，由，解得；
当时，不成立；
当时，由，解得．
所以不等式的解集为．
（2）∵，∴
∴对于，恒成立等价于：对，，即
∵
∴，∴
考点：绝对值不等式的几何意义和解法等有关知识的综合运用．。