中国数学奥林匹克赛前培训练习3

中国数学奥林匹克赛前培训练习3
一. 2010个实数201021,,,x x x 知足方程组
2010,...,2,1,121
2010
1
=+=+∑=n n k n x k k 试计算∑
=+2010
11
2k k
k x 的值.
解：构作2010次多项式：
()()()
()()20071212200721112
2007x x x
f x x x x x x x x ⎡
⎤
⎛⎫=+++++++
-
⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣
⎦
… ○1 据条件，当别离取1,2,
,2007x =时，皆有()0f x =，因此有常数c ，使
()()()()122007f x c x x x =--- ……○
2，于○1、○2中，别离取1
2
x =-，得 14015c =
，因此 ()()()()1
1220074015
f x x x x =--- ……○
3，于是 ()()
()()20071
2122007211122007x x x x x x x x x x ⎡⎤
⎛⎫+++++++
-
⎪⎢⎥
+++⎝⎭⎣
⎦
()()()1
1220074015
x x x =
--- ……○
4，再于○4中令 12
x =
， 得
2007
121
k k x k =+∑211144015⎛⎫
=- ⎪⎝⎭. 二. 如图，四边形ABCD 中，90ACB ADB O ∠=∠=，自对角线, AC BD 的交点N ，作NM AB ⊥于M ，线段,AC MD 交于E ，,BD MC 交于F ，P 是线段EF 上的任意一点.
证明：点P 到线段CD
的距离等于P 到线段MC 、MD 的距离之和.
证：易知，四边形ABCD 共圆，BCNM 共圆，因此， ACD ABD MCN ∠=∠=∠.
即AC 平分DCM ∠；又由AMND 共圆，得NDM NAM CDB ∠=∠=∠，即
BD 平分CDM ∠.
设PH MC ⊥于H ，PG MD ⊥于G ， PT CD ⊥于T ，过点P 作XY MC ，交MD 于X ，交AC 于Y ；过点Y 作
YZ CD ，交MD 于Z ，交PT 于R ；
再作1YH MC ⊥于1,H 1YT CD ⊥于1T ，那么由平行线及角平分线的性质得，
11PH YH YT RT ===.
为证PT PG PH =+，只要证 PR PG =.
由平行线的比例性质得，EP EY EZ
EF EC ED
==
，因此 ZP DF ，由于XYZ ∆与MCD ∆的对应边平行，且DF 平分MDC ∠，故ZP 是XZY ∠的平分线. 从而 PR PG =，即所证结论成立.
三. 设A 是一个由m 个正整数组成的集合。

证明：存在一个由正整数组成的集合B ，使得B 的任意两个子集的元素和不等，m B ≤，而且对任意A a ∈，从B 中都可掏出假设干个不同的数，使它们的和恰好等于a 。

证明：设A 中所有元素之和为n ，对n 归纳予以证明，
当1=n 时，A 只能为{
}1，现在取{}1=B 即可，现设命题对1,,2,1-n 都成立，考虑n 的情形。

（1）假设A 中元素都是偶数，那么将A 中每一个数都除以α，取得的数组成集合A '则A '的所有元素之和为
12-≤n n
，那么存在B '与A '对应，设⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈=B b b B 2那么B 与A 对应。

（2）假设A 中有奇数，设其中最小的奇数为a ，将A 中所有偶数都除以α，将{}a A \中所有奇数都减去a 再除以2，取得的数组成集合A '。

对A '用归纳假设，可找到一个对A '而言符合要求要求的B '，咱们取
{}{}a B x x B ∈'∈=2，那么B 即为与A 对应的集合，且A B ≤那么对n 命题也成立。

那么原命题得证。

四.设+
∈R c b a ,,，知足abc=1，证明：
22
111
21112111≥+
+++++++c a b c a b 证明：看到1=abc 及a
b 1
+
如此的式子，可取得1
11
1111111+++
+++++=c
a b c a b ∴只需证明
1
12
2
111++≥
+
+a b a b 设 0,1
≥=+
x x a
b 那么上式等价于
1
22
11+≥
+x x 1
2121212
+≥+⇐+≥+⇐x x x x x
上式成立。