河北省衡水中学2018届高三高考押题(一)文数试题

河北衡水中学2018年高考押题试卷
文数（一）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A {x N|2x 4}，B {x|1
2
2x 4}，则A B=（）
A．{x|1x 2}B．{1,0,1,2}C．{1,2}D．{0,1,2}
2．已知i为虚数单位，若复数z 1t i
1i
在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值范围为（）
A．[1,1]B．(1,1)C．(,1)D．(1,) 3．下列函数中，与函数y x3的单调性和奇偶性一致的函数是（）
A.y x B．y tan x C.y x 1
x
D．y e x
e
x
4．已知双曲线C
1：
x2y2x2y2
1与双曲线C：1
4343
，给出下列说法，其中错误的是（）
A.它们的焦距相等B．它们的焦点在同一个圆上
C.它们的渐近线方程相同D．它们的离心率相等
5．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为8:00~8:40，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在9:10~10:00之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）
A．1324
B．C．D．51055
6．若倾斜角为的直线l与曲线y x4相切于点1,1，则cos2sin
2
的值为（）
A．137 B．1C．D．2517
7．在等比数列{a}中，“a，a是方程x
n41223x 10的两根”是“a
1
8
”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）
2
A.1009B．-1009 C.-1007D．1008 9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．
111
B．1C．D．631212343
10．已知函数f(x)A sin(x )(A 0,0,||
)
的部分图象如图所示，则函数g(x)A cos(x )图象的一个对称中心可能为（）
A．(5
2
,0)B．
1
( ,0)
6
C.(
1
2
,0)D．(
11
6
,0)
11．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C 在直径AB上，且O F A B，设AC a，BC b，则该图形可以完成的无字证明为（）
A.a b
2
ab(a 0,b 0)B．a2b22a b(a 0,b 0)
C.2ab
a b
ab(a 0,b 0)D．
a b a2b2
22
(a 0,b 0)
12．已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD的外接球，BC 3，AB 23，点E在线段BD上，且BD 3BE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）
A．,4B．2
,4C．3
,4
D．0,4第Ⅱ卷（共90分）
13．已知a
(1,
)，b (2,1)，若向量2a b与c (8,6)共线，则a ．
14．已知实数x，y 满足不等式组x y 20,
x 2y 50,
y 20,
目标函数z 2log y log x
42
，则z的最大值为．
15．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
c b a
是与的等差中项且a 8，ABC的cos B cos B cos A
面积为43，则b c的值为．
16．已知抛物线C：y24x的焦点是F，直线l
1：y x
1
交抛物线于A，B两点，分别从A，B两点向直线l
2
：
x
2
作垂线，垂足是D，C，则四边形ABCD的周长为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知函数f
x 1
2
x2mx（m 0），数列{a }的前n项和为S，点n,S 在f
x
n n n
图象上，且f
x
的最
小值为1 8 .
（1）求数列{a }
n
的通项公式；
（2）数列{b}满足b
n n(2a n 2a n
1)(2a n 11)
，记数列{b}的前n项和为T，求证：T 1n
n n
.
18．如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直与圆O所在平面，G为AOC的垂心.
（1）求证：平面O PG 平面PAC；
（2）若PA AB 2A C 2，点Q在线段PA上，且PQ 2QA，求三棱锥P QGC的体积.
19．2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为50,60，60,70，…，90,100分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成
（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若高三年级共有 2000 名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于 70 分的人数；
（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于 70 分的三组学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人参加这次 考试的考后分析会，试求后两组中至少有 1 人被抽到的概率.
20．已知椭圆C
： x 2 y 2
1(a b 0) a 2 b 2
的长轴长为
2 2
，且椭圆
C
与圆
M
： ( x 1)2
y 2
1
2
的公共弦长为
2
. （1）求椭圆
C
的方程.
（2）经过原点作直线 l
（不与坐标轴重合）交椭圆于 A ， B 两点，
AD x
轴于点
D
，点
E 在椭圆
C
上，且
AB EB
DB AD
，求证：
B
，
D
，
E
三点共线..
21．已知函数
f x 2ml n x x
，
g
x
3e x 3
x 2
（
m R ， e
为自然对数的底数）.
（1）试讨论函数
f
x
的极值情况；
（2）证明：当 m
1且 x 0 时，总有 g
x
3 f x
.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．已知直线 l 2 x 4 2
的参数方程为 2 2
t , （ t
为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
圆 C 的极坐标方程为
4cos
，直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点.
（1）求圆 C 的直角坐标方程及弦
AB
的长； （2）动点 P
在圆 C
上（不与
A
， B 重合），试求
ABP
的面积的最大值.
23.选修 4-5：不等式选讲.
已知函数
f ( x )
|2x 1| | x 1|
.
（1）求函数
f ( x )
的值域
M
；
uuur uu r uuur uuu r
y t
的大小.
一、选择题
1-5:DBDDA6-10:DDBCC11、12：DB
二、填空题
13．214．115．4516．1842三、解答题
17．（1）解：f
x 1
2
x m
m2
2
，
故f x的最小值为m21 28
.
又m 0，所以m 1
2
，即
11S
n2n
22
.
所以当n 2时，a S S
n n n 1
n；
当n 1时，a 1
1也适合上式，
2
n
（2）证明：由（1）知b
n
2n11
(2n 1)(2n 1 1)2n 12n 11
，
所以T 1
n 111
337
2
111
1n
12n 112n 11
，
所以T 1
n
.
18．（1）证明：（1）如图，延长OG交AC于点M.
因为G为AOC的重心，所以M为AC的中点.
因为O为AB的中点，所以OM//B C.
因为AB是圆O的直径，所以BC A C，所以O M A C.
因为PA 平面ABC，OM 平面ABC，所以PA OM.
又PA 平面PAC，AC 平面PAC，PA AC A，所以OM 平面PAC.即OG 平面PAC，又OG 平面OPG，
所以平面OPG 平面PAC.
（2）解：由（1）知OM 平面PAC，
所以GM就是点G到平面PAC的距离.
由已知可得，OA OC AC 1，
所以V AOC为正三角形，
所以OM
3
2
.又点G为V AOC的重心，
所以GM 13 OM
36
.
故点G到平面PQC的距离为
3 6
.
V P QC V P AC
1
12 21 S GM
S
GM
21 3 33 92
33 627
.
19．解：（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为10.10.30.30.10.2，
故x 0.02.
故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为
550.01650.03750.03850.0295
0.011074
（分）.
t
由于前两组的频率之和为
设中位数为分，
0.10.30.4，前三组的频率之和为0.10.30.30.7，故中位数在第3组中.
则有t 700.030.1，所以t 731
3
，
即所求的中位数为731
3分.
（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.30.20.10.6，
由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为20000.6 1200.
（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在70,80这组的3名学生分别为a，b，c ，成绩在80,90这组的2名学生分别为d，e，成绩在90,100这组的1名学生为f，则从中任抽取3人的所有可能结果为a,b,c ，a,b,d ，a,b,e ，a,b,f ，a,c,d ，a,c,e ，a,c,f ，
a,d,e
，
a,d, f ，
a,e,f ，
b,c,d
，
b,c,e
，
b,c,f
，
b,d,e
，b,d,f ，
b,e,f
，
c,d,e
，c,d,f ，
c,e,f
，
d,e, f共20种.
其中后两组中没有人被抽到的可能结果为a,b,c ，只有1种，
故后两组中至少有1人被抽到的概率为P 1119 2020
.
20．（1）解：由题意得2a 22，则a 2.
由椭圆C与圆M ：x
1
2y2
1
2
的公共弦长为2，
其长度等于圆M的直径，
可得椭圆C
2
经过点1,
2
，
1
2
x2 2y21.
所以椭圆C的方程为
（2）证明：设A x,y ，E x,y
1122，则B x,y，D x,0.
111
因为点A，E
x 22y22,都在椭圆上，所以
x2y 2,
所以x x
12
x x 2y
y
121
2
y y
01
2
，
即又y y x x
1212.
x x2y y
1212
AB EB DB AD AE AB 0，
所以k
AB k AE 1
，
即y y y
112
1x x x
112
，
所以y x x
112
x2y y
112
1
所以y2y y
12 x x x 112
又k
BE k
BD
y y y y y y y
12112120
x x2x x x x x
1211212
，
所以k
BE k
BD
，
所以B，D，E三点共线.
21．（1）解：f
x
的定义域为0,，
f
x 2m x 2m
1
x x
.
①当m 0时，f x0，故f x 在
0,内单调递减，f
x
无极值；
②当m 0时，令f x
，得0x 2m；
令f
x 0
，得x 2m
C11
22
22
uuur uu r uuur uuu r uuur uuur 1
.
无极小值.故f x在x2m处取得极大值，且极大值为 f 2m2ml n 2m2m，f
x
3e x 36m
（2）当x 0时，g x 3f x 0 3 03e x 3x26m x 30.
x2x
设函数u x 3e x 3x26mx 3，
则u x 3e x 2x 2m.记
v x e
x 2x 2m，
则v x e x
2
.
当x变化时，v x，
v x
的变化情况如下表：
由上表可知v x v l n2，
而v
l n 3 e ln22ln22m 22ln22m 2m l n2 1
，
由m 1，知m ln21，
所以所以v l n20，
v x0，即
u
x
.
所以u x 在
0,
内为单调递增函数.
所以当x 0时，u
x u 0
.
即当m 1且x 0时，3e x 3x26mx 30.
所以当m 1且x 0时，总有g x3f x
.
22．解：（1）由4cos 得24cos ，
所以x2y24x 0，
所以圆C的直角坐标方程为(x 2)2y24.
将直线l的参数方程代入圆C:(x 2)2y24，并整理得t222t 0，解得t 0，t 22
12
.
所以直线l被圆C截得的弦长为|t t |22
12
.（2）直线l的普通方程为x y 40.
圆C的参数方程为x 22cos ,
y 2sin ,
（为参数），
可设圆C上的动点P(22cos ,2sin )，
则点P到直线l的距离d |22cos 2sin 4|
2
|2cos()2|
4
.
当cos()
1
4
时，d取最大值，且d的最大值为22，
所以S
ABP 1
22(22)222
2
，
即ABP的面积的最大值为22.
23. 解：（1）
3x,x 1,
1 f (x)2x,1x ,
2
1
3x,x .
2
根据函数f(x)的单调性可知，
当
113 x 时，f(x)f( )
222
.
所以函数f(x)的值域
3
M [,
)
2
.
（2）因为a M，所以a 3
2
，所以
3
01
2a
.
又|a 1||a 1|a 1a 12a 3，
所以|a 1||a 1|
3 2a
37
2a 2a 24a27a 3
2a
a 14
a3
2a
由
3
a ，知a 10，4a 30
2
，
所以(a 1)(4a 3)
2a
0，
所以所以
37
2a，
2a2
|a 1||a 1|
37
2a
2a2
.
min。