北师大版八年级数学下册第一章《直角三角形(4)》公开课课件
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•7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/242021/10/24October 24, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/242021/10/242021/10/242021/10/24
问题探究
不必再证全等
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（ 角边的的平距分离线相上等的。点到角的两）
B种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021 5:51:12 AM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021
问题. 将上题中的两条内角平分线改为
两条外角平分线，这时结论会有变化 吗？
N
A O
M
B
CP
已知：如图，在△ABC中，∠C=90度，点D
在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC。求∠B
的度数
A
E C
D
B
例 已知：如图 DB⊥AB，DC⊥AC，
B，C分别为垂足，DB=DC。
B
求证：DA平分∠BDC
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
强化巩固
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。
)
B
（×） A
D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。
)
A
（×）
B
D
C
证明：连接BC ∵ DB⊥AB，DC⊥AC，
1
3
A2
4D
DB=DC
C
∴ DA平分∠BAC（到一个角的两边的距离相等的 ∴∠1=∠2 点， 在这个角的平分线上）
∵∠B=∠C=90° ∴∠3=90°－∠1
∠4=90°－∠2 ∴ ∠3=∠4 ∴ DA平分∠BDC
小结：
（1）角平分线的性质定理及其逆定理及作用；
求证：PD=PE
D
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）O
P
C
∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义） E
在△PDO和△PEO中 ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
B 几何符号语言表示
∵ OP平分∠AOB 且PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE
北师大版九年级上册
第一章 证明(二)
直角三角形全等的判定(2)
问题探究
回忆角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边 的距离相等。 思考
如何证明这个定理? 先分析它的条件和结论是什么?
定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 已知：如图，OC是的∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 A
（2）用这两个定理，一定要具备两个垂直距离 （即点到直线的距离），证明过程中要直接应 用这两个定理，而不要去寻找全等三角形（这 样做实际是重新证了一次定理）。
（3）怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点。
A
P
B
C
通过本堂课的学习 我学会了… …
我体会到… … 我感到困惑的是… …
O
E
B
∴∠ODP=∠OEP=90°
∵在Rt△ODP和Rt△OEP中
几何符号语言表示：
∵PD⊥OA，PE⊥OB， OP=OP
且PD=PE
PD=PE
∴OP平分∠AOB ∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL）
∴∠DOP=∠EOP
∴OP平分∠AOB
练习：
1. 如图，△ABC中，∠C=90°，D 在AC
上，DE⊥AB与E，且 DE=DC， ∠CBD=2∠A， 则∠A=＿＿1＿8°＿＿。
不相等，那么这两个角对应的边也不相等”对 吗？ 用自己的语言说说看
问题. 如图△ABC的角的平分线BE、CF
相交于点O，观察交点O到这个三角形三
边的距离，你有哪些发现？你能证明你 的发现吗？
A
M
F
O
N E
B
C
P
A
M
N
O
B
C
P
结论
（1）三角形两角平分线的交点到三边的距离相等。 （2）点O也在∠BAC的角平分线上。 （3）定理：三角形三条角平分线交于一点。
C D
A C
P
B
E
A O
DB
2. 如图，在CD上找一点P，使它到OA， OB的距离相等，则P点的位置在哪里？
若要使点P也要到C、D的距离也相等， 点P的位置在哪里？
“如果一个点到角的两边的距离不相 等，那么这个点不在角平分线上。”
你认为这个结论正确吗？ 如果正确，你能证明它吗？
练习：你认为“在一个三角形中，如果两个角
它的逆命题是什么? 到角两边距离相等的点在这个角的平 分线上。
思考
如何证明这个命题? 先分析它的条件和结论是什么?
命题：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
A 已知：如图. PD⊥OA于D，PE⊥OB与E，
且PD=PE
D
求证：点P在∠AOBA的平分线上
P
证明：连接OP并延长(或作射线OP)
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
问题探究
不必再证全等
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（ 角边的的平距分离线相上等的。点到角的两）
B种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021 5:51:12 AM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021
问题. 将上题中的两条内角平分线改为
两条外角平分线，这时结论会有变化 吗？
N
A O
M
B
CP
已知：如图，在△ABC中，∠C=90度，点D
在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC。求∠B
的度数
A
E C
D
B
例 已知：如图 DB⊥AB，DC⊥AC，
B，C分别为垂足，DB=DC。
B
求证：DA平分∠BDC
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
强化巩固
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。
)
B
（×） A
D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。
)
A
（×）
B
D
C
证明：连接BC ∵ DB⊥AB，DC⊥AC，
1
3
A2
4D
DB=DC
C
∴ DA平分∠BAC（到一个角的两边的距离相等的 ∴∠1=∠2 点， 在这个角的平分线上）
∵∠B=∠C=90° ∴∠3=90°－∠1
∠4=90°－∠2 ∴ ∠3=∠4 ∴ DA平分∠BDC
小结：
（1）角平分线的性质定理及其逆定理及作用；
求证：PD=PE
D
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）O
P
C
∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义） E
在△PDO和△PEO中 ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
B 几何符号语言表示
∵ OP平分∠AOB 且PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE
北师大版九年级上册
第一章 证明(二)
直角三角形全等的判定(2)
问题探究
回忆角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边 的距离相等。 思考
如何证明这个定理? 先分析它的条件和结论是什么?
定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 已知：如图，OC是的∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 A
（2）用这两个定理，一定要具备两个垂直距离 （即点到直线的距离），证明过程中要直接应 用这两个定理，而不要去寻找全等三角形（这 样做实际是重新证了一次定理）。
（3）怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点。
A
P
B
C
通过本堂课的学习 我学会了… …
我体会到… … 我感到困惑的是… …
O
E
B
∴∠ODP=∠OEP=90°
∵在Rt△ODP和Rt△OEP中
几何符号语言表示：
∵PD⊥OA，PE⊥OB， OP=OP
且PD=PE
PD=PE
∴OP平分∠AOB ∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL）
∴∠DOP=∠EOP
∴OP平分∠AOB
练习：
1. 如图，△ABC中，∠C=90°，D 在AC
上，DE⊥AB与E，且 DE=DC， ∠CBD=2∠A， 则∠A=＿＿1＿8°＿＿。
不相等，那么这两个角对应的边也不相等”对 吗？ 用自己的语言说说看
问题. 如图△ABC的角的平分线BE、CF
相交于点O，观察交点O到这个三角形三
边的距离，你有哪些发现？你能证明你 的发现吗？
A
M
F
O
N E
B
C
P
A
M
N
O
B
C
P
结论
（1）三角形两角平分线的交点到三边的距离相等。 （2）点O也在∠BAC的角平分线上。 （3）定理：三角形三条角平分线交于一点。
C D
A C
P
B
E
A O
DB
2. 如图，在CD上找一点P，使它到OA， OB的距离相等，则P点的位置在哪里？
若要使点P也要到C、D的距离也相等， 点P的位置在哪里？
“如果一个点到角的两边的距离不相 等，那么这个点不在角平分线上。”
你认为这个结论正确吗？ 如果正确，你能证明它吗？
练习：你认为“在一个三角形中，如果两个角
它的逆命题是什么? 到角两边距离相等的点在这个角的平 分线上。
思考
如何证明这个命题? 先分析它的条件和结论是什么?
命题：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
A 已知：如图. PD⊥OA于D，PE⊥OB与E，
且PD=PE
D
求证：点P在∠AOBA的平分线上
P
证明：连接OP并延长(或作射线OP)
∵ PD⊥OA，PE⊥OB