2020年福建省厦门市高考数学质检试卷2(二)(5月份) (含答案解析)

2020年福建省厦门市高考数学质检试卷2（二）（5月份）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合A={x|x<0}，集合B={x|(x+1)(x−2)<0}，则A∪B等于()
A. (−1,0)
B. (−∞,2)
C. (−1,2)
D. (−∞,0)
2.复数z=4+3i
1+2i
的虚部为()
A. i
B. −i
C. 1
D. −1
3.过点(3,2)的双曲线C的渐近线方程为x±y=0，则C的方程为()
A. x2−y2=1
B. x2−y2=5
C. y2−x2=1
D. y2−x2=5
4.从编号为001，002，…，400的400个产品中用系统抽样的方法抽取一个容量为16样本，已知
样本中最小的编号为007，则样本中最大的编号应该为()
A. 382
B. 483
C. 482
D. 483
5.函数在[−π
2,π
2
]上的图象为()
A. B.
C. D.
6.箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸
出2个小球，则摸到1号球的概率为()
A. 1
5B. 2
5
C. 8
25
D. 9
25
7.若，，则a，b满足的关系为( )
A. a>1,b>1
B. 0<a<1,b>1
C. a>1,0<b<1
D. 0<a<1,0<b<1
8.α,β∈(0,π
2)，且α，β的终边关于直线y=x对称，若sinα=3
5
，则sinβ=()
A. 3
5B. 4
5
C. 7√2
10
D. 3√3+4√2
10
9.已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=8x的焦点，过F作直线l与C交于A，B两点．若|AB|=10，
则△OAB重心的横坐标为()
A. 43
B. 2
C. 83
D. 3
10. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”
意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？( )
A. 531
B. 1031
C. 9
D. 10
11. 如图，在三棱锥O −ABC 中，OA =OB =OC =1，∠AOB =90°，OC ⊥平面AOB ，D 为AB 中
点，则OD 与平面OBC 所成的角为( )
A. π4
B. π3
C. π2
D. 3π4
12. 已知函数
f(x)=(x −3)e 2x ，则( ) A. f(x)在x =3处取得极小值
B. f(x)没有极值
C. f(x)在x =52处取得极小值
D. f(x)在x =5
2处取得极大值 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知|a ⃗ |=2，e ⃗ 为单位向量，当向量a ⃗ ，e ⃗ 的夹角为2π3时，a ⃗ +e ⃗ 在a ⃗ 上的投影为______ ． 14. 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．三人作出如下预测：
甲说：我不是第三名；
乙说：我是第三名；
丙说：我不是第一名．
若甲、乙、丙三人的预测结果有且只有一个正确，则可判断获得第一名的是________． 15. 从4名男生、3名女生中任选3人参加一次公益活动，其中男生、女生均不少于1人的选法有中
______ .(用数字作答)
16.如图，在平面四边形ABCD中，△ACD的面积为√3，AB=2，BC=
√3−1，∠ABC=120°，∠BCD=135°，则AD=______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知首项都是2的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0,n∈N∗)满足a n b n+1−a n+1b n+3b n+1b n=0．
}为等差数列．
(1)求证：数列{a n
b n
(2)若b n=2n，求数列{a n}的前n项和S n．
18.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=2，AC=AD=DE=4，F为CD的中点．
(Ⅰ)求证：AF//平面BCE；
(Ⅱ)若∠CAD=60°，求二面角F−BE−D的余弦值．
19.已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相
同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；
摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．
(1)求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；
(2)若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．
20.已知椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B，它的右焦点是F(1,0).椭圆上一动点
P(x0,y0)(不是顶点)满足k PA⋅k PB=−1
2
．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点P且与椭圆相切的直线为m，直线m与椭圆的右准线l交于点Q，试证明∠PFQ为定
值．
21. 已知函数f(x)=2x 2+alnx(a ∈R)．
⑴讨论函数f(x)的单调性；
⑴若g(x)=f(x)−4x +2存在两个极值点，且x 0是函数g(x)的极小值点，求证：g(x 0)>12−ln2
22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方
程为ρ=4cosθ，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2，两线交于A ，B 两点．
(1)求A ，B 两点的极坐标；
(2)P 为曲线C 2：{x =2cosφy =sinφ(φ为参数)上的动点，求△PAB 的面积的最小值．
23. 已知函数f(x)=｜x −1｜−｜x +a ｜，a ∈R ．
(1)若a =2，解不等式f(x)≥1；
(2)若x∈(2,4)时，｜f(x)｜<｜2x+a−1｜，求a的取值范围．
-------- 答案与解析 --------1.答案：B
解析：解：B={x|(x+1)(x−2)<0}，即B={x|−1<x<2}，
又A={x|x<0}，
∴A∪B=(−∞,2)，
故选：B．
本题主要考查集合的并集，是基础题．
解出集合B，然后根据并集的定义求解即可．
2.答案：D
解析：
【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．
【解答】
解：z=4+3i
1+2i =(4+3i)(1−2i)
(1+2i)(1−2i)
=10−5i
5
=2−i，
则复数z=4+3i
1+2i
的虚部为：−1．
故选D．
3.答案：B
解析：
【分析】
本题考查双曲线的标准方程的求法，考查了双曲线的性质，属于基础题.根据条件可求出a=b，故可设C的方程为x2−y2=λ，将点(3,2)代入求出λ的值，即可求出答案．
【解答】
解：∵双曲线C的渐近线方程为x±y=0，
∴a=b，
设C的方程为x2−y2=λ，
又∵点(3,2)在双曲线C上，
则解得λ=5，
故C的方程x2−y2=5，。