高三数学一轮复习课时作业3：§11.3 变量间的相关关系、统计案例

§11.3 变量间的相关关系、统计案例
A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)
1．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^
＝－10x ＋200 B.y ^
＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200 D.y ^
＝10x －200
答案 A
解析 由题意知回归方程斜率应为负，故排除B ，D ， 又销售量应为正值，故C 不正确，故选A.
2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
以下结论正确的是( )
A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案 A
解析 根据独立性检验的定义，由K 2≈7.8>6.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选A.
3．(2014·重庆)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.y ^
＝0.4x ＋2.3 B.y ^
＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^
＝－0.3x ＋4.4
答案 A
解析 因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D.
因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排除B ，故选A.
4．相关变量x 、y 的样本数据如下表：
经回归分析可得y 与x 线性相关，并由最小二乘法求得线性回归方程为y ^
＝1.1x ＋a ^
，则a ^
等于( )
A ．0.1
B ．0.2
C ．0.3
D ．0.4 答案 C
解析 由题意，x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，
y ＝2＋2＋3＋5＋65
＝3.6，
∵线性回归方程为y ^
＝1.1x ＋a ^
，∴3.6＝1.1×3＋a ^
， ∴a ^
＝0.3.
5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元
答案 B
解析 ∵x ＝4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋54
4＝42，
又y ^
＝b ^
x ＋a ^
必过(x ，y )，
∴42＝7
2×9.4＋a ^ ，∴a ^ ＝9.1.
∴线性回归方程为y ^
＝9.4x ＋9.1.
∴当x ＝6时，y ^
＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 6．以下四个命题，其中正确的序号是________．
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 ；
③在线性回归方程y ^
＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^
平均增加0.2个单位；
④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 答案 ②③
解析 ①是系统抽样；对于④，随机变量K 2的观测值k 越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小．
7．某班班主任对全班30名男生进行了“认为作业量多少”的调查，数据如下表：
过________． 答案 0.050
解析 计算得K 2的观测值为k ＝30×(12×8－2×8)2
14×16×20×10≈4.286>3.841，则推断犯错误的概率不
超过0.050.
8．已知x ，y 之间的一组数据如下表：
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2x －1；③y ＝85x －25；④y ＝3
2x .则根
据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是________(填序号)． 答案 ③
解析 由题意知x ＝4，y ＝6，
∴b ^
＝
∑i ＝1
5
x i y i －5x y
∑i ＝1
5
x 2i －5x
2
＝8
5
， ∴a ^＝y －b ^ x ＝－25，∴y ^＝85x －2
5
，∴填③.
9．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在『29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表： 甲厂：
(1)(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？
附
解 (1)甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为
360
500×100%＝72%；
乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为320
500×100%
＝64%.
(2)完成的2×2列联表如下：
由表中数据计算得K 2k ＝1 000×(360×180－320×140)2500×500×680×320
≈7.35>6.635，
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
10．(2013·重庆)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝1
10
x i ＝80，∑i ＝110
y i ＝20，∑i ＝1
10
x i y i ＝184，∑i ＝1
10
x 2i ＝720.
(1)求家庭的月储蓄y ^
对月收入x 的线性回归方程y ^ ＝b ^
x ＋a ^
； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1
n x i ＝80
10
＝8，
y ＝1n ∑i ＝1
n y i ＝20
10
＝2，
又∑i ＝1
n
x 2i －n x 2＝720－10×82
＝80， ∑i ＝1
n
x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，
由此得b ^ ＝24
80
＝0.3，
a ^ ＝y －
b ^
x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^
＝0.3x －0.4.
(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^
＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^
＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)
11．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程y ^
＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^ 必过(x ，y )；
④有一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系． 其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
答案 B
解析 一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x 的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程y ^
＝3
－5x ，当x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
必过点(x ，y )，③正确；因为K 2＝13.079>10.828，故有99.9%的把握确认这两个变量有关系，④正确．故选B. 12．(2013·福建)已知x 与y 之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归方程y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( ) A.b ^
>b ′，a ^
>a ′ B.b ^ >b ′，a ^
<a ′ C.b ^
<b ′，a ^
>a ′ D.b ^
<b ′，a ^
<a ′
答案 C
解析 b ′＝2，a ′＝－2，由公式b ^
＝
∑i ＝1
6
x i y i －6x y
∑i ＝1
6
x 2i －x
2
求得．
b ^ ＝57，a ^ ＝y －b ^ x ＝136－57×72＝－13
，
∴b ^ <b ′，a ^
>a ′.故选C.
13．在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：
) A ．200 B ．720 C ．100 D ．180 答案 B
解析 计算K 2＝(1 180＋m )×(200m －180×800)2
380×(800＋m )×(180＋m )×1 000
当m ＝200时，
K 2＝(1 180＋200)×(200×200－180×800)2
380×(800＋200)×(180＋200)×1 000
≈103.37>3.841，此时两个分类变量x 和y 有关系； 当m ＝720时，
K 2＝(1 180＋720)×(200×720－180×800)2
380×(800＋720)×(180＋720)×1 000
＝0
由K 2≤3.841知此时两个分类变量x 和y 没有任何关系， 则m 的可能值是720.
14．某小卖部销售一品牌饮料的零售价x (元/瓶)与销售量y (瓶)的关系统计如下：
已知关系符合线性回归方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x .当单价为4.2元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为________瓶． 答案 26
解析 依题意可得x ＝7
2
，y ＝40，b ^＝－20，
由a ^＝y －b ^ x 可得a ^
＝110，
所以y ^
＝－20x ＋110，当x ＝4.2时y ^
＝26.
15．(2013·福建)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：『50,60)，『60,70)，『70,80)，『80,90)，『90,100』分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
解(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；
25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
故所求的概率P＝7
10.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
所以得K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
＝100×(15×25－15×45)2
60×40×30×70
＝25
14≈1.79.
因为1.79<2.706.
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.。