人教B版高中数学必修第三册课后习题 复习课 第1课时 三角函数

复习课
第1课时三角函数课后训练巩固提升
1.计算cos(-780°)的值是( )
A.-√3
2B.-1
2
C.1
2
D.√3
2
780°)=cos780°=cos(360°×2+60°)=cos60°=1
2
,故选C.
2.已知2sin(x+π
2
)=1,则cos(x+π)=()
A.1
2B.-1
2
C.√3
2
D.-√3
2
(x+π
2)=1,即cosx=1
2
,cos(x+π)=-cosx=-1
2
.
3.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω等于( )
A.5
B.4
C.3
D.2
由题中图象可知1
2
T=π
4
,T=π
2
,ω=
2πT
=
2π
π2
=4,故B 正确.
4.若函数y=f(x)具有如下三个性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=π
3
对称;③在区间[-π
6
,π
3
]上是增函数,则f(x)可能是( )
A.y=sin (x 2+π6)
B.y=sin (2x -π
6)
C.y=cos (2x +π
3
)
D.y=cos (2x -π
6
)
T=π,排除A.由②得函数在x=π3
处取得最值,排除D.又当x ∈[-π
6
,π
3
]时,2x-π
6
∈[-π2,π
2
],2x+π
3
∈[0,π],故B 正确.
5.(多选题)下列说法错误的是( )
A.函数y=cos x 的图象向右平移π2个单位得到函数y=sin x 的图象
B.函数y=sin x 的图象向右平移π
2个单位得到函数y=cos x 的图象 C.当φ<0时,函数y=sin x 的图象向左平移|φ|个单位可得函数y=sin(x+φ)的图象
D.函数y=sin (2x +π
3)的图象是由函数y=sin 2x 的图象向左平移π
3个单位
得到的
选项,y=cosx 的图象向右平移π2个单位,得y=cos (x -π
2)=sinx 的图
象,故A 正确;B 选项,y=sinx 的图象向右平移π
2个单位,得
y=sin (x -π
2)=-cosx 的图象,故B 错误;C 选项,y=sinx 的图象向左平移|φ|
个单位,得y=sin(x+|φ|)=sin(x -φ)的图象,故C 错误;D 选项,y=sin2x 的图象应向左平移π
6个单位,得y=sin [2(x +π
6)]=sin (2x +π
3)的图象,故D
错误.
6.函数y=lg (
√2
2
-sinx)的定义域是 .
y=lg(√22
-sinx)有意义,则√22
-sinx>0, 所以sinx<√22
,
所以角x 终边所在的区域如图阴影部分所示, 所以2kπ-5π
4
<x<2kπ+π
4
,k ∈Z.
所以原函数的定义域是 {x |2kπ-5π4
<x <2kπ+π
4
,k ∈Z}.
|2kπ-5π4
<x<2kπ+π
4,k ∈Z}
7.已知函数f(x)=2sin (x +π
3),x ∈(0,π
3
),则f(x)的值域为 .
x ∈(0,π3),∴x+π3∈(π3
,
2π3
).
根据函数f(x)的单调性,计算f(0)=2sin π
3=√3,f (π
3)=2sin 2π
3=
√3,f (π
6)=2sin π
2=2, ∴f(x)∈(√3,2].
√3,2]
8.函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω>0,0<φ<π)的图象的一段如图所示,则它的解析式为 ; 周期T= .
A=2
3
,T=2[-π12
−(-7π12
)]=π,
∴ω=2ππ=2.由五点作图知-π12×2+φ=π2
, ∴φ=2π
3,∴y=2
3sin (2x +
2π3
).
y=2
3
sin (2x +2π3
) π
9.已知0<α<π2,sin α=45
. (1)求tan α的值; (2)求
sin (α+π)-2cos(π2
+α)-sin (-α)+cos (π+α)
的值.
因为0<α<π2
,sinα=4
5
,
所以cosα=35
,故tanα=4
3
.
(2)
sin (α+π)-2cos(π2
+α)-sin (-α)+cos (π+α)
=
-sinα+2sinαsinα-cosα
=
sinαsinα-cosα
=
tanαtanα-1
=4.
10.(1)已知角α的终边经过点P(4,-3),求2sin α+cos α的值; (2)已知角α的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),求2sin α+cos α的值; (3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4,求2sin α+cos α的值.
∵角α的终边过点P(4,-3),
∴r=√42+(-3)2
=5,x=4,y=-3,
∴sinα=y r
=-35
,cosα=x r
=4
5
,
∴2sinα+cosα=2×(-35)+45=-2
5
.
(2)∵角α的终边过点P(4a,-3a)(a≠0),
∴r=√(4a )2+(-3a )2
=5|a|,x=4a,y=-3a.
当a>0时,r=5a,sinα=y r
=-35
,cosα=x r
=45
,∴2sinα+cosα=-2
5
;
当a<0时,r=-5a,∴sinα=y r
=3
5
,
cosα=x r
=-45
,∴2sinα+cosα=2
5
.
综上,2sinα+cosα=-25
或2
5
.
(3)当点P 在第一象限时,sinα=35
,cosα=4
5
,2sinα+cosα=2;当点P 在第
二象限时,sinα=35
,cosα=-45
,2sinα+cosα=2
5
;当点P 在第三象限
时,sinα=-35,cosα=-4
5
,2sinα+cosα=-2;当点P 在第四象限
时,sinα=-35
,cosα=45
,2sinα+cosα=-2
5
.
1.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y=cos (2x +π
2)
B.y=sin (2x +π
2)
C.y=sin 2x+cos 2x
D.y=sin x+cos x
(2x +π2)=-sin2x,最小正周期T=2π
2=π,且为奇函数,其图象
关于原点对称,故A 正确;y=sin (2x +π
2)=cos2x,最小正周期为π,且为偶
函数,其图象关于y 轴对称,故B 不正确;C,D 均为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故C,D 不正确.
2.已知tan α=-√3,π
2<α<π,那么cos α-sin α的值是
( )
A.-
1+√32
B.
-1+√32
C.
1-√32
D.
1+√32
∵π2
<α<π,∴cosα<0,sinα>0,∴
cosα-sinα=-√(cosα-sinα)2
=-√1-2sinαcosα
sin 2α+cos 2α
=
-√1-
2tanα
tan 2α+1
=-√4+2√34
=-1+√32
.
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π
3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A.f(2)<f(-2)<f(0)
B.f(0)<f(2)<f(-2)
C.f(-2)<f(0)<f(2)
D.f(2)<f(0)<f(-2)
f(x)的最小正周期为π,∴f(-2)=f(π-2). 又当x=2π
3
时,f(x)取得最小值,故当x=π
6
时,f(x)取得最大值,[π
6
,
2π3
]是函数
f(x)的一个单调递减区间.∵π6
<π-2<2<2π3
,∴f(π-2)>f(2),即
f(-2)>f(2).再比较0,π-2与对称轴x=π6
距离的大小. ∵|π-2-π
6
|−|0-π
6
|=
5π6
-2-π6
=
2π3
-2>0,∴f(0)>f(π-2),即f(0)>f(-2).
综上,f(0)>f(-2)>f(2).故选A.
4.(多选题)已知函数y=2sin x 的定义域为[a,b],值域为[-2,1],则b-a 的值可能是( ) A.5π
6
B.π
C.7π
6
D.2π
y=2sinx 在R 上有-2≤y≤2,函数的周期T=2π,值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域[a,b]小于一个周期.结合图象(图略)知ABC 正确.
5.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π
2
≤φ<π
2
)图象上每一点的横坐标变为
原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π
6
个单位得到y=sin x 的图象,则
f (π
6)= ;函数f(x)的单调递增区间是 . 解析 ∵函数y=sinx 的图象
得函数y=sin (x +π
6
)的图象
得函数y=sin (1
2x +π
6)的图象,则有f(x)=sin (1
2x +π
6
),
∴f (π
6)=sin (1
2×π
6+π
6)=sin π
4
=
√2
2
. 令2kπ-π2
≤12
x+π6
≤2kπ+π2
,k ∈Z,得4kπ-4π3
≤x≤4kπ+2π3
,k ∈Z.
[4kπ-
4π3
,4kπ+
2π3
](k ∈Z)
6.给出下列四个说法:
①函数y=|sin (2x -π
12)|的最小正周期是π
2;②直线x=7π
12是函数y=2sin 3x-π
4
图象的一条对称轴;③若sin α+cos α=-15
,且α为第二象限角,则tan α=-3
4;④函数y=cos(2-3x)在区间
23
,3内单调递减,其中正确的
是 .(填序号)
解析 对于①,函数y=sin (2x -π
12)的最小正周期是π,故①正确.对于②,
当x=7π
12
时,2sin 3×
7π12
−
π4
=2sin 3π
2
=-2,故②正确.对于③,由
(sinα+cosα)2=125
,得2sinαcosα=-2425
,因为α为第二象限角,所以sinα-cosα=√1-2sinαcosα=7
5
,所以sinα=3
5
,cosα=-4
5
,∴tanα=-3
4
,故
③正确.对于④,函数y=cos(2-3x)的最小正周期为2π3
,而区间(2
3
,3)的长
度73
>
2π3
,显然④错误.
7.已知f(x)=sin (2x +π
6)+3
2
,x ∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin 2x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得到?
(1)T=2π
2
=π,由2kπ-π
2
≤2x+π
6
≤2kπ+π
2
(k ∈Z),知
kπ-π3
≤x≤kπ+π
6
(k ∈Z).
所以所求函数的最小正周期为π,所求的函数的单调递增区间为[kπ-π
3
,kπ+π
6
](k ∈Z).
(2)变换情况如下:
y=sin2x 的图象
y=sin [2(x +
π
12
)]的图象
y=sin (2x +π
6)+3
2
的图象.
8.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220√3sin 100πt+π
6来表示.求: (1)开始时的电压;
(2)电压值重复出现一次的时间间隔;
(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间.
开始时的电压,即当t=0时电压E 的值; (2)电压值每周期重复出现一次; (3)电压的最大值可由关系式求出.
当t=0s 时,E=220√3sin π
6=110√3(V),即开始时的电压为110√3V.
(2)T=
2π100π
=
1
50
=0.02s,即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02s.
(3)电压的最大值为220√3V,令100πt+π6
=π2
,解得t=1300
,即t=
1
300
s 时第
一次取得这个最大值.。