【中大】高等数学习题及详细解答

1. 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：
(1) y =e x 与直线x =0及y =e; (2) y =x 3与y =2x ;
(3) y =x 2,4y =x 3; (4) y =x 2与直线y =x 及y =2x ;
解 (1)可求得y =e x 与y =e 的交点坐标(1,e), y =e x 与x =0的交点为(0,1),它们所围成的图形如图6-1中阴影部分,其面积
e
e
e
111
d ln d (ln )1S x y y y y y y =
==-=⎰⎰
图6-1 图6-2
(2)解方程组32y x y x ⎧=⎨=⎩得022
,,,02222
x x x y y y ⎧⎧==-=⎧⎪⎪⎨⎨⎨==-=⎩⎪⎪⎩⎩ 即三次抛物线3
y x =和直线2y x =的交点坐标分别为(0,0),(2,22),(2,22)--,它们
所围成的图形的面积
20
33422422
201
1(2)d (2)d ()()
24
4
S x x x x x x x x x x --
=-+-=-+-=⎰
⎰.
(3)解方程2
3
4y x
y x
⎧=⎪⎨=⎪⎩得两曲线的交点为(0,0),(4,16),所求面积为 423344
0011116()d ()|43163
S x x x x x =-=-=⎰.
图6-3 图6-4
(4)可求得2
y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1);2
y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4); y =x 与y =2x 的交点为(0,0),它们所围图形如图6-4中阴影所示,其面积为:
12
11
2
20
1
2231
20
1
(2)d (2)d d
(2)d 117()23
6
S x x x x
x x x x x x x
x x x =-+-=+-=+-=⎰⎰⎰⎰
2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：
(1) y =e x ,x =0,y =0,x =1,绕y 轴； (2) y =x 3,x =2,x 轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) y =x 2,x =y 2，绕y 轴；
解 (1)如图6-9所求旋转体的体积为矩形OABD ,与曲边梯形CBD 绕y 轴旋转所成的几何体体积之差,可求得y =e x 与x =1的交点为(1,e), y =e x 与y 轴的交点为(0,1),所以,所求旋转体的体积.
2
2
21
11(ln )(ln )2(ln )22
(1)2(ln )e
e
e
11e
e
1πe πd πe πd πe πe ππe e π.d y V y y y y y y y y y ⎡⎤
=⋅⋅-=--⎣
⎦
⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦
⎰⎰⎰
7
2
2
2
6
2
00128(2)7
π
πd πd π7
x x V y x x x ===⋅=
⎰⎰ 25
8
8
2
2
83
3
0036428323255
π
ππd ππd ππy V x y y y y =⨯⨯-=-=-⋅⋅=
⎰⎰.
图6-5 图6-6
(3)解方程组2
2
y x
x y
⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点(0,0),(1,1),所求旋转体的体积 251
1
4
100031025πd πd ππx x x V x x x x ⎛⎫=-=⋅=- ⎪⎝⎭
⎰⎰.
图6-8
图6-7
3、.求二曲线θsin =r 与θcos 3=r 所围公共部分的面积
解： 当θ等于0和3
π
时，两曲线相交，所围公共部分的 面积为
4
3
24π5d θθcos 321d θθsin 212π
3π23π
02-
=+=⎰⎰A .
4、 设有一截锥体, 其高为h , 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B , 求这截锥体的体积.
解 建立坐标系如图. 过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面, 则平面与截锥体的截面为椭圆, 易得其长短半轴分别为
y h a A A --, y h
b B B --.
截面的面积为π
)()(y h
b B B y h a A A --⋅--
.
于是截锥体的体积为
]
)(2[6
1)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h
+++=--⋅--=⎰ππ
x
y
O
3
πθ=
5、计算曲线x y ln =相对应于3=x 到8=x 的一段曲线弧长.
解：由弧长的公式得:
23
ln 211d 1d 11d 1832
83
283
2
+=+=+='+=⎰⎰
⎰
x x x x x
x y s .
6、求阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)相应于θ 从0到2π 一段的弧长. 解: 弧长元素为
θθθθd a d a a ds 22221+=+=.
于是所求弧长为
⎰+=π
θθ2021d a s )]412ln(412[2
22ππππ++++=a .
7、求星形线33
cos sin x a t
y a t ⎧=⎨=⎩
的全长. 解：由弧长的参数方程公式得:
446s t a θ===.
1、 电量为+q 的点电荷位于r 轴的坐标原点O 处它所产生的电场力使r 轴上的一个单位正电荷从r =a 处移动到r =b (a <b )处求电场力对单位正电荷所作的功.
提示: 由物理学知道, 在电量为+q 的点电荷所产生的电场中, 距离点电荷r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为2
r q
k
F = (k 是常数). 解: 在r 轴上, 当单位正电荷从r 移动到r +dr 时, 电场力对它所作的功近似为dr r q
k
2
,
即功元素为dr r q
k
dW 2
=. 图6-9 于是所求的功为
dr r
kq W b a
2
⎰=b a r kq ]1[-=)11(b a kq -=.
2、设把一金属杆的长度由a 拉长到x a +时，所需的力等于a
kx
，其中k 为常数，试求将该金属杆由长度a 拉长到b 所作的功.
解：由于金属杆拉长所需的力f 与拉长的长度成正比x ，且a
kx
f =
，其中k 为常数。

选择金属杆拉长的长度x 为积分变量，其取值范围为[]a b -,0，对于任意[]a b x -∈,0，在拉长的长度区间[]x x x d ,+上，功元素为x a
kx
x f W d d d =
=，于是 a
a b k x a k x x a k x a kx W a
b a b a
b 2)(2d d 2
200
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===---⎰⎰。

3. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以
2
3)(cx
t x v ='=, 阻力
4
229t kc kv f -=-=. 而32)(c
x t =, 所以
3432342
9)(9)(x kc c
x kc x f -=-=. 功元素dW =-f (x )dx , 所求之功为 37
320
3
4320
3
4320
7
2799)]([a kc dx x kc
dx x kc dx x f W a a
a ===-=⎰
⎰⎰
4. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推移到点b 处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功.
解: 取坐标系如图, 活塞的位置可以用坐标x 来表示. 由物理学知道, 一定量的气体在等温条件下, 压强p 与体积V 的乘积是常数k , 即
pV =k 或V
k p =.
解: 在点x 处, 因为V =xS , 所以作在活塞上的力为
x
k S xS k S p F =⋅=⋅=.
当活塞从x 移动到x +dx 时, 变力所作的功近似为dx x
k ,
即功元素为dx x k dW =. 图6-10
于是所求的功为
dx x k W b a ⎰=b a x k ][ln =a
b k ln =.
5. 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm , 试求它每面所 受的压力.
解 建立坐标系如图. 腰AC 的方程为x y 3
2=
, 压力元素为
dx x x dx x x dP )3(3
4322)3(+=⋅⋅⋅+=,
所求压力为
168)2
331(34)3(346
0236
0=+=+=⎰x x dx x x P (克)=1.65(牛).
6. 边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成α 角斜沉于液体内, 长边平行于液面而位于深h 处, 设a >b , 液体的比重为ρ, 试求薄板每面所受的压力.
解 在水面上建立x 轴, 使长边与x 轴在同一垂面上, 长边的上端点与原点对应. 长边在x 轴上的投影区间为[0, b cos α], 在x 处x 轴到薄板的距离为h +x tan α. 压力元素为
dx x h ga
dx a x h g dP )tan (cos cos )tan (αα
ρααρ+=⋅⋅+⋅=,
薄板各面所受到的压力为
测试题A
一、选择题答案
1．A 2．D 3． C 4．C 5．C 6. D 7.D 8.D 9、B 10、B 二、填空题：
1、3
2；
()(
)
3
2311212
0232
22
2
=⎪⎭⎫
⎝⎛+-=+-=-⎰⎰x x x dx x x dx x
2、
4
1 ； 两边求导：1)2(22
=-x xf ，令 2=x 得41)2(=f
3、0； 0sin 2cos 2]cos 1)
13(sin 2[00224===++++⋅⎰⎰-πππ
πx xdx dx x x
x x x 4、C x f +)( ， )]2()2([2
1
a f
b f -；
⎰=
dx x f )('C x f +)(
⎰⎰
-==='b a b
a
b
a
a f
b f u f du u f x u dx x f 2222)]2()2([2
1|)(2121)(2)2(令。

5． 8
6、2ln 2
1
+， 2121
20
1
0111
d d ln ln 222
x S x x x x
x =+=
+=
+⎰⎰ 7、π3
pa ， ππππ
300
22
|2pa px pxdx dx y V a
a
a
x ====⎰
⎰
8、])1()1[(3
22
3
23
a b +-+；21
x y =', 从而弧长元素
dx x dx y ds +='+=112.
因此, 所求弧长为])1()1[(3
223
23
a b +-+=
b a b
a x dx x s ])1(32[123+=+=⎰])1()1[(3223
23a b +-+=. 9、 ).21(33
+ ⎰-303/2)1(x dx ⎰
⎰-+
-=313
/2103/2)1()1(x dx x dx ⎰
-1
03/2)1(x dx 1
3
/1)1(3/211--=x 3=，
⎰
-3
1
3/2)1(x dx 3
1
3/1)1(3/211--=x ,233
⋅=
∴
⎰
-3
03/2)
1(x dx
).21(33+= 10、
4
2
π； 被积函数有两个可疑的瑕点:0=x 和.1=x
因为1)
1(arcsin lim 0
=-+
→x x x x 所以, 1=x 是被积函数的唯一瑕点.从而
⎰
-1
)
1(arcsin dx x x x ⎰
-=
1
)
1(arcsin dx x x x 10
2
)
(arcsin x =.4
2
π=
三、解答题
1、求下列极限：
（1）)21(
lim 22222n n n
n n n n n ++++++∞
→Λ； （2）∑=∞→+n
k n
k n k
n ne
n e
1
2lim
（3）x
t t x
x ⎰
+→0
20
d 1lim
； （4）2
cos 1
d lim
2
x t
e x
t x ⎰
→
1、解：（1）)21(
lim 2
2222n n n
n n n n n ++++++∞
→Λ ))(11)2(11)1(11(1lim
222n
n n n n n ++++++∞→=
Λ 4
01arctan d 11
)
(111lim 1021
2π==+=+∞→=⎰∑=x x x n
k n n n
k 。

（2）原式∑
=∞
→+=n
k n
k n k n n
e
e
1
211lim
11
200d arctan arctan 14x x x e x e e e π===-
+⎰。

（3）x
t t x
x ⎰+→0
20
d 1lim
111lim 0
2
=+→=x x 。

（4）2
cos 12lim
0x x dt t e x ⎰→e x x x e x x x e x x 21sin 2cos lim 212)sin (2cos lim 00-=⋅-=-=→→。

2、求t t x G x d sin )(3
11
3⎰
+=
的导函数)(x G '。

解：3
32
3
3
3)1sin(3)1()1sin()(x x x x x G +='++='。

3、求下列积分：
（1）⎰-+2
2d 1
x e e x
x
； 解：⎰-+2
2d 1x e e x x )1ln()1ln(2
2)1ln(1)1(d 2
222+-+=-+=++=--⎰e e e e e x x x。

（2） 2
1d x x -⎰；
解：212
1
1d (1)d (1)d x x x x x x -=-+-⎰⎰⎰
12
2201
11
()()122x x x x =-+-=。

（3）x x d )1ln(1
e 0⎰
-+；
解：u u
u u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e 1e 1e 11
e 0
⎰⎰⎰
-==+-=11e e e e
1=+-=-u 。

（4
）0
π⎰。

解：2
20
2
1cos 22cos 2cos 2cos 22xdx xdx xdx xdx π
π
π
π
π+==-=⎰
⎰
⎰⎰
4．有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m . 求闸门上所受的水压力.
解 建立x 轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为 xdx dx x dP 221=⋅⋅=, 闸门上所受的水压力为
2125
225
2
===⎰x xdx P (吨)=205. 8(kN).
四、应用题：设一锥形贮水池, 深15m , 口径20m , 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？ 解 在水深x 处, 水平截面半径为x r 3
210-
=, 功元素为
dx x x dx r x dW 22)3210(-=⋅=ππ,
所求功为 ⎰-=1502)3
210(dx x x W
π
⎰+-=15
032)9
440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).
五、证明题：
2d 123
12≤+≤
-⎰-x x x
；
证明：设1
)(2+=x x
x f ，先)(x f 求在]3,1[-上的最大、最小值。

,)
1()
1)(1()1(21)(2
22222++-=+-+='x x x x x x x f 由0)(='x f 得)3,1(-内驻点1=x ， 由3.0)3(,5.0)1(,5.0)1(==-=-f f f 知 ,21)(21≤≤-
x f 在]3,1[-上积分得2d 21d )(d )2
1
(2313131=≤≤-=-⎰⎰⎰---x x x f x 。

测试题B
一、选择题答案
1．D 2. D 3．B 4．B 5．B 6. B 7、B 8、A 9、C 10、C
二、填空题答案 1．0 2．54 3．2
4
2cos y x x e
- 4．)1(f 5、8 6．1> 7、0和1 8、⎰1
0sin x π 9、.232
a π 10、,3
3232dx x a dV ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=π
三、计算题
1．利用定积分的定义或性质求下面的极限：
（1
）1lim n
n x →∞⎰；
解：
1
1
1
1
n n x dx n ≤=
+⎰⎰ 1,2,n =L
令n →∞，有1
01n →+
，利用夹逼准则得1lim 0n n →∞=⎰ （2
）n 解：令n
n n n n n )12()1(1lim
-+∞→Λ)(lim n f n ∞
→=
}ln )12ln()1ln([ln 1
{lim )(ln lim n n n n n
n f n n --++++=∞
→∞
→Λ
]ln )12ln()1ln([ln 1
lim
n n n n n n
n --++++=∞→Λ )]1
1ln()11ln()01[ln(1lim n
n n n n -+
+++++=∞→Λ 12ln 2)1ln(1
-=+=⎰dx x
故n n n n n n )12()1(1lim
-+∞→Λe
4
=。

2．计算积分1
x ⎰.
解：I=
x x d 11
2
⎰
+⎰⎰⎰++++-=+-+=1021022
10222
1d d 1121d 011x
x
x x x x x x x x I x x dx x -++=++++-=⎰)21ln(20
1
)1ln(122
1
02 故I )]21ln(2[2
1
++=。

3．计算广义积分222
1
11
[
]d ln (1)x x x x --⎰. 解：原式=2
2222
22111111
lim []lim[]ln (1)ln (1)p p p p p dx dx dx x x x x x x ++→→-=---⎰⎰⎰ =21
1
11
11111
lim[]lim[(1)()]ln 1
ln 2ln 12ln 2
p
p p x x p p +
+
→→-+=-+-+=---。

四、应用题：1、设有一直径为20m 的半球形水池, 池内贮满水, 若要把水抽尽, 问至少作
多少功.
解 如图，选取区间微元],,[dx x x +相应该微元上的一层水的体积
x x x y V ∆-=∆≈∆)100(22ππ(3m ),抽出这层水需作的功为 x x x g x x x g W ∆-=⋅∆-≈∆)100()100(22πρρπ(焦)
其中1000=ρ( kg/3
m )是水的密度，)/(8.92
s m g =
是重力加速度. 故微元.)100(2
dx x x g dW -=πρ 所求功为 410
210
2104
)100()100(⨯=-=-=
⎰⎰
πρ
πρπρg
dx x x g dx x x g W
7
10693.72500⨯≈=g πρ(焦).
2、将直角边各为a 及a 2的直角三角形薄板垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力.
解 建立如图坐标系，取任一小区间],,[dx x x +面积微元,)(2dx x a - 压力微元 ,)(2)2(dx x a a x dP -⋅⋅+=γ 所求压力 .3
7)(2)2(3
a dx x a a x P a
γγ=-⋅⋅+=
⎰
五、证明题
证明：22041011
d 40120
x x x x <<
++⎰. 证明：当[10,20]x ∈时，24
4
4
24211
1221x x x x x x x x x
<++<⇒<<++，所以
22020202
421010101111
d d d 402120x x x x x x x x =<<=++⎰⎰⎰。