高考数学一轮复习随堂演练：8.1直线的倾斜角与斜率.doc

8.1 直线的倾斜角与斜率
一、选择题
1．若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是( ) A ．－13 B ．－3 C.1
3
D ．3
解析：设P (a ，b )为l 上任一点，经过如上平移后，点P 到达点Q (a －3，b ＋1)， 此时直线PQ 与l 重合．故l 的斜率k ＝k PQ ＝(b ＋1)－b (a －3)－a
＝－1
3.
答案：A 2．下列四个命题：
①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角； ②直线l 的倾斜角的取值范围是第一象限角或第二象限角； ③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1
x 2－x 1
； ④与x 轴垂直的直线斜率为0. 其中正确命题的个数是( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个 答案：D
3．直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋d ＝0，则am
bn ＝－1是直线l 1⊥l 2的( ) A ．充要条件
B ．既不充分也不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．充分不必要条件
答案：D
4．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎭⎫
π4，π2 C.⎣⎡⎦⎤
π4，3π4
D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π4，3π4
解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π
2；
当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1
cos θ
.
∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤
π2，3π4. 由上知，倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C.
答案：C 二、填空题
5．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围为 __________． 解析：k ＝tan α＝a －1
2＋a
<0，∴－2<a <1. 答案：(－2,1)
6．已知点A (－2,4)、B (4,2)，直线l 过点P (0，－2)与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________． 解析：数形结合法．由k PA ＝－3，k PB ＝1，
如图得直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 答案：k ≥1或k ≤－3
7．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为锐角，则实数a 的取值范围是________． 解析：由条件知直线的斜率存在，由公式得k ＝a －1
a ＋2，
因为倾斜角为锐角，所以k >0，解得a >1或a <－2 所以a 的取值范围是{a |a >1或a <－2}． 答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞) 三、解答题
8．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得： (1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合． 解答：(1)由已知1×3≠m (m －2)，即m 2－2m －3≠0， 解得m ≠－1且m ≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交． (2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝1
2时，l 1⊥l 2.
(3)当1
m －2＝m 3≠62m
，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4)当
1
m －2＝m 3＝62m
，即m ＝3时，l 1与l 2重合． 9．已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求： (1)直线AB 的斜率k ； (2)求直线AB 的方程； (3)已知实数m ∈⎣⎡⎦
⎤－
33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的范围．
解答：(1)当m ＝－1时，直线AB 的斜率不存在；当m ≠－1时，k ＝
1m ＋1
. (2)当m ＝－1时，AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，AB 的方程为 y －2＝1
m ＋1
(x ＋1)．
(3)①当m ＝－1时，α＝π
2；②当m ≠－1时，
∵k ＝
1m ＋1∈(－∞，－3]∪⎣⎡⎭
⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3. 综合①②，知直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤
π6，2π3.
10．已知过原点O 的一直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A ，B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C ，D 两点．
(1)证明：C ，D 和原点O 在同一直线上； (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标． 解答：(1)证明：设A (x 1，log 8x 1)，B (x 2，log 8x 2) 则C (x 1，log 2x 1)，D (x 2，log 2x 2) 由已知条件k OA ＝k OB ，
则log 8x 1x 1＝log 8x 2x 2，即log 2x 1x 1＝log 2x 2
x 2
①
∴k OC ＝k OD ，因此C 、D 、O 在同一直线上．
(2)由BC ∥x 轴知：log 2x 1＝log 8x 2，则x 2＝x 31代入①式解得：x 1＝3， ∴A 点坐标为(3，log 83)．
1．若直线l ：y ＝k x －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[π6，π
3)
B ．(π6，π2)
C ．(π3，π
2
)
D ．[π6，π2
]
解析：如右图，直线l ：y ＝k x －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，
∴k PA ＝
33，则直线PA 的倾斜角为π
6
，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2. 答案： B
2．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0，x －y ≥0，
2x －y －2≥0，则z ＝y －1
x ＋1
的取值范围是( )
A.⎝⎛⎦⎤－1，1
3 B.⎝⎛⎦⎤－12，1
3 C.⎝⎛⎭
⎫－1
2，＋∞ D.⎣⎡⎭
⎫－1
2，1 解析：不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0，x －y ≥0，
2x －y －2≥0，
表示的平面区域如图所示，其中z ＝
y －1
x ＋1
可看作是区域中的点(x ，y )与定点M (－1,1)两点连线的斜率．M (－1，1)与N (1,0)连线的斜率为 k MN ＝
1－0－1－1
＝－12，过M 点与直线x －y ＝0平行直线l 的斜率为1，则－1
2≤z ＜1.
答案：D。