2016-2017学年高中数学新课标必修5同步学案：2.2(第1课时)等差数列的相关概念 含答案

2.2第一课时 等差数列的相关概念
一、课前准备
1。

课时目标：通过实例理解等差数列的概念,通过生活中的实例抽象出等差数列模型，让学生认识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型.同时经历由发现几个具体数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程。

探索并掌握等差数列的通项公式，又根据等差数列的概念，通过归纳或迭加或迭代的方式探索等差数列的通项公式.通过与一次函数的图像类比，探索等差数列的通项公式的图象特征与一次函数之间的联系.
通过对等差数列的研究，让学生明确等差数列与一般数列的内在联系,渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系世界，激发学生的学习兴趣. 2。

基础预探 1.等差数列的定义
如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的差都等于
______
，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,
通常用字母______表示。

1。

等差数列{}n
a 的首项为1
a ，公差为d ，那么它的通项公式是n
a
______。

2.如果三个数______组成等差数列,那么A 叫做,x y 的等差数列中项，满足______。

3。

若数列
{}
n a 是等差数列,首项为
1
a ，公差为
d
，则
11()(1)()n a f n a n d nd a d ==+-=+-,点(,)n n a 散落在直线______上。

二、基础知识习题化 1。

已知等差数列{}n
a 中，4
88,4a
a ==，则其通项公式n a =______.
2. 数列{}n
a 的通项公式25n
a
n =+,则此数列(）.
A 。

是公差为2的等差数列
B 。

是公差为5的等差数列
C 。

是首项为5的等差数列
D 。

是公差为n 的等差数列 3。

（1）求等差数列 8,5，2，的第20项；
(2）401-是不是等差数列5,9,13,---的项？如果是，是第几项？ 三、学法引领
（1）
搞清等差数列的定义,及等差数列求通项的方法一般先求1
a ,再求
公差d ，数列1(1)n
a
a n d =+-是关于n 的一次函数。

（2）
如果知道三个数成等差数列的和一般可以设为,,a d a a d -+,四个数成等差数列可以设为3,,,3a d a d a d a d --++的形式,但是此时公差不是d ,而是2d ，对于等差数列求通项一般是列方程组通过解方程求出1
,a d 再求数列的通项。

（3）
对于证明数列是等差数列一般先求数列的通项，再利用定义证明1
n n a
a +-常数或利用等差数列的中项公式证明12n n n a a a -=+（2n ≥）
四、典型例题
题型1 求数列的通项
例1
已知数列{}n
a 为等差数列，且5
11,a
=，85a =,求n a .
思路导析：利用的等差数列的通项公式首先求出首项1
a 与公差d . 解：设数列{}n
a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及已知条件,得
111
411,19,
75, 2.a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨
⎨+==-⎩⎩ ()()1912n a n =+-⨯-，即221n a n =-+.
规律总结：熟记等差数列的通项公式的利用解方程求出首项与公差,注意数列的通项n
a 的一次函数或常数项。

变式训练
1。

已知等差数列{}n
a 中，5
2020,35a
a =-=-,写出数列的通项公式及100a 。

等差数列的通项公式及其应用 例2 已知等差数列{}n
a 中，15
6133,217a
a ==,试判断153是不是这个数列
中的项，如果是,是第几项?
思路导析：应先求数列通项n
a ，再判断。

设数列{}n
a 的公差为d ,
156133,217,a a ==
()(
)1111513323,,611217 4.a d a a d d +-=⎧=-⎧⎪∴⇒⎨⎨+-==⎪⎩⎩
()2314427n a n n ∴=-+-⨯=-。

令153n
a
=，则42715345n n -=⇒=，
∴153是这个数列的第45项.
规律总结：可以考虑利用方程思想求出1
a 与d ,解出通项n
a ，把153代
入解出n 为整数，说明是其中的项,否则不是。

变式训练2。

400-是不是等差数列5,9,13,
---项？如果是，是第几项？
题型3三 两个等差数列求公共项
例3 两个等差数列5，8，11和3，
7,11,都有100项,那么它们共有多少相同的项?
思路导析：对于两个等差数列先写出两个数列的某些项，再求数列的通项。

解：设已知两数列的所有相同的项构成一新的数列为{}n
c ，1
11c
=，两
数列5，8，11的通项公式为32n
a
n =+,数列3,7，11，的通项公式为
41n b n =-，
所以数列{}n
c 为等差数列，且12,121n
d c
n =∴=-.
又
1001001302,399,121302,25
4
n a b c n n ==∴=-≤∴≤，即可见已知两数列共有25个
相同的项.
规律总结：两个等差数列求公共项仍然组成一等差数列，公差是两等差数列的公差的最小公倍，首项是两等差数列第一次相等的项，要写出数列的通项再求公共项. 变式训练
3。

两个等差数列2,6,10,14,, 3,6,9,12
,都有1000项,它们相同的项有多
少？
题型四 证明数列是等差数列 例4 已知数列{}n
a 的通项公式为()2,n
a
pn qn p q R =+∈常数，
（1） 当p q 和满足什么条件时,数列{}n
a 是等差数列？
（2）
求证：对任意的实数p q 和，数列{}1
n n a
a +-都是等差数列。

思路分析：对于判断数列是否为等差数列一般利用定义进行判断 解：（1）设数列{}n
a 是等差数列,则
()()()2
21112n n a a p n q n pn qn pn p q +⎡⎤-=+++-+=++⎣⎦。

若2pn p q ++是一个与n 无关的常数,则20p =，即0p =，所以当0p =时，数列{}n
a 是等差数列.
（2）
()()()2
21112n n a a p n q n pn qn pn p q +⎡⎤-=+++-+=++⎣⎦
,
()2121n n a a p n p q ++∴-=+++,
()211()2n n n n a a a a p +++∴---=,
所以对任意的实数p q 和,数列{}1
n n a a +-都是等差数列。

规律总结：判断数列是等差数列就是利用等差数列的定义进行判断,
如果是等差数列满足1
n n a a +-是常数，就是让含有n 的系数为零求出满
足的条件。

变式训练
4。

已知数列{}n
a 满足14a
=，144(1)n n a n a -=-
>记1
2
n n b a =
-，求证：数列{}n b 是等差数列。

五、随堂练习
1.
在数列{}n
a 中，+1
2=21n n a
a +，则101a 等于（)
A 。

49 B.50 C 。

51 D.52
2。

首项为24-的等差数列,从第10项起是正数，则公差d 的取值范围是（） A 。

8
3
d >
B 。

3d <
C .
8
33
d ≤< D 。

8
33
d <≤ .
3。

已知一个等差数列的第8,9，10项分别为1,1,23b b b -++，则通项公式n a =（）。

A 。

25n -
B.
29n - C 。

213n - D 。

217n -
4。

已知数列{}n
a 满足22+1
=4n n a
a +，且11,0n a a =>,则_____n a =.
5。

在数列 {}n
a 中，已知1
2211,5,,n n n a
a a a a ++===-则2011a 等于（）
Ａ．１ Ｂ．４ Ｃ．1- Ｄ．4-
6。

已知,,a b c 依次成等差数列，它们的和为33，又()()()lg 1,lg 5,lg 6a b c ---也错等差数列，求,,a b c 。

六、课后作业
1。

下列命题中正确的是()
A 。

若{}n a 的等差数列，则{}2
n
a 也是等差数列
B 。

若{}n
a 的等差数列，则2
{}n
a 也是等差数列
C 。

若存在正整数n 使得+1
+22n n n a
a a =+，则{}n a 一定是等差数列
D 。

若{}n
a 的等差数列，则对于任意正整数n ，都有2+1
+2n n n a
a a =+
2。

数列{}n a 中，3
72,1a a ==，且数列11n a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
是等差数列,则11a =（)。

A 。

25
-
B 。

12
C 。

23
D 。

5
3。

在m 和k 之间插入x 个数，使它们成等差数列，则公差_____d =。

4.已知()2
12f x x
x +=-，则等差数列{}n a 中,()()1231
1,,2
a f x a a f x =-=-=，则通项______n a =。

5。

（1）求等差数列3、7、11的第4项与第10项。

(2）100是不是等差数列的2，9,16，
项，如果是第n 项？如果不
是，请说明理由？
(3）20-是不是等差数列1
0,3,72
--，的项,如果不是,请说明理由？
6。

一个等差数列的首项为1
25,公差0d >，从第10项起每一项都比1
大，求公差d 的范围。

参考答案
二. 基础预探
1.【第二，常数,d 】
2. 【1+n-1n
a
a =（）d 】
3。

【,,x A y ,2A x y =+】 4. 【1
()y xd a d =+-】
二、基础知识习题化
1。

答案： 12n -
解析：111
3811
,741a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩1(1)12n a a n d n ∴=+-=-.
2。

解析：【A 】1
2n n d a
a +=-=
3. 解:（1）由题意可知：1
8,58253a d ==-=-=-，
∴该数列通项公式为()()813n a n =+-⨯-，即()1131n a n n =-≥。

当20n =时,20
1132049a
=-⨯=-。

（2）由题意可知：1
5,8,9(5)13(9)4a
d =-=---=---=-,
∴该数列通项公式为()54141n a n n =---=--。

令40141n -=--，得100n =.
∴401-是这个数列的第100项。

变式训练 1。

解：
()11n a a n d =+-,得
11
420,1935,a d a d +=-⎧⎨
+=-⎩解得116,1.a d =-⎧⎨=-⎩ 则()()161115n
a
n n =-+-⨯-=--，
10015100115a ∴=--=-。

2。

解：由题意知：()1
5,954a d =-=---=-，
所以通项公式为()54141n
a
n n =---=--。

令40041n -=--，得3994
n =,不是整数, 所以400-不是数列中的项. 3。

解：设2,6,10,14,的首项为1
2,4a
d ==，所以通项2(1)442n a n n =+-=-，
3,6,9,12
的首项为1
3,3b d ==,所以通项为3+n-1n
b =⨯（）3=3n ,那么公共项组成
的数列为首项是6,公差为12 的等差数列,即6(1)12126n
n n =+-=-c
，两数
列的最小项为3000，所以1263000n -≤,解得250n ≤,共有250项。

4. 证明：11211111
42222(2)2
(4)2n n n n n n n n
a b
b a a a a a ++--=
-=-==------，所以数列 {}n b 是等差数列。

五、随堂练习 1. 【D 】解:+111011113,2,2(1),52.2222
n n n
a
a a a n n a -===+-⨯=+= 2。

【D 】从第10项起为正数,满足9103
024(91)0838
024+-033d a d d a d d ≤⎧≤-+-≤⎧⎧⎪
⇒⇒⇒<≤⎨⎨⎨>->>⎩⎩⎪⎩
（101） 3。

解析：D 解：
2(1)1230
b b b b +=-++⇒=，所以第8，9,10项分别为
1,1,3
-即
81172115a a a =+⨯=-⇒=-,所以15(1)2217n a n n =-+-⨯=-,所以选
D 。

4。

解析:由已知条件2
2+1
=4n n a
a +，即22+14n n a a -=，知数列{}2n a 是公差为
4的等
差数列，()2211443n
a
a n n =+-⨯=-。

0,n n a a >∴=
5。

解析：Ａ
12345671,5,4,1,5,514,1a a a a a a a ====-=-=-+=-=，
周期为６，所以2011
11a
a ==．
6. 解:,,a b c 依次为,,x d x x d -+，则有()()33,11x d x x d x -+++=∴=. 又()()()2lg 5lg 1lg 6b a c -=-+-.
()()()2
lg 115lg 111lg 116d d ∴-=--⋅+-。

()()36105d d ∴=-+，即25140d d --=, ()()720,72d d d d ∴-+=∴==-或.
,,a b c ∴依次为
4，11,18或13，11,9。

课后作业
1。

解析:D 有等差数列的定义。

所以选D 。

2.解：设1
1
n
n b
a =
+，则3711,32b b ==.
11n a ⎧⎫⎨⎬
+⎩⎭
是等差数列，可求得公差1
24d =。

()1172
1173b b d ∴=+-=
,即11111112
a b =-=， 故选B.
3。

答案：1
k m x -+解：m 是首项,k 是第2x +项，所以(1)(1)
k m
k m x d d x -=++⇒=
+。

4. 解：设()2
2212,1,1()(1)2(1)()43f x x x x t x t f t t t f x x x +=-+==-⇒=---⇒=-+
所以2
1(1)()5602f x f x x
x x -=-+⇒-+=⇒=或3x =
当2x =时，11
(1)()(1)22
n
a
n n =--=-- 当3x =时，1131(1)222
n a n n =-+-=-。

5. 解:（1)由1
3a
=,7344d n =-==,得()434115a =+-=，
10n =时，得()103101439a =+-⋅=。

(2）由题意知，()1
2,927,21775n a
d a n n ==-=∴=+-⨯=-，
令75100n -=，得15n =，所以100是这个数列的第5项. （3)由题意可知,1177
0,3,222
n
n a
d a ==-∴=-+. 令772022
n -+=-，解得477n =.
772022
n -+=-没有正整数解，所以20-不是这个数列的中项。

6。

解：
0d >，设等差数列为{}n a ,则有12391011
a a a a a a <<<
<<<，
由题意得1011123911a a a a a a <<<⎧⎨<<<<≤⎩，即()()1091
1011
1,8325
,1,17525911
25
d a d a d ⎧+->⎪>⎧⎪⇒⇒<≤⎨⎨≤⎩⎪+-≤⎪⎩。