2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷1文科数学第20题解析

2020年 全国卷1文科数学第20题的解析
已知函数()(2)x
f x e a x =-+.
（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。

解析：
（1） 单调性，常规题，当a=1时，确定函数的单调性，一次求导或多次求导。

（2） 零点，已知零点数，求参数范围，有一定难度。

导数问题，通常可以采用五种方法：分离参数法，综合法，数形结合法，必要性充分性结合法，分类讨论法。

这里介绍了前三种方法。

后两种方法，很少单独使用，如本例综合法中就采用了先必要条件，然后充分条件的方式，来排除不合题意的情况。

再如数形结合法中，就结合了分类讨论法。

解：
（1）a=1时，()(2)x f x e x =-+，'()1x f x e =- ，
当x ∈（-∞，0）时，f ’(x)＜0；当x ∈(0,+∞)时，f ’(x)＞0。

∴ f(x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。

（2）
解法一：分离参数法 '()x f x e a =-
当a ≤0时，f ’(x)≥0，f(x)单调递增，最多只能有一个零点，所以不合题意。

当a ＞0时，采用分离参数法。

不过，由于x+2在分母时，必须讨论必须以-2为界进行考察，不太方便。

所以，换一种方式分离参数。

f(x)有两个零点，等价于12()x x g x a e +=
- 有两个零点。

则1'()x x g x e
+=
当x ∈(-∞，-1)时，g ’(x)＜0；当x ∈(-1,+∞)时，g ’(x)＞0。

所以g(x)min=g （-1）=1e a
- 。

要g(x)有两个零点，必须满足g(x)min<0，即 1a e >。

下面证明1a e
>时，有两个零点。

在（-∞，-1）上，g(-2)=10a
> ，所以其在有一个零点。

在（-1，+∞）上，由（1）可知21x e x --≥-，即 1x e x ≥+
所以 2
2
22(2)()(1)24x x x x e e +=≥+= 所以当x ＞0时，2121214()(2)2
4
x x x g x x a e a a x ++=->-=-++ 当x 同时满足x ＞4a-2时，g(x)＞0，
所以在（-1，+∞）有一个零点。

综上，g(x)有两个零点的条件是是a ∈1(,)e +∞ ，
所以f(x)有两个零点时，a ∈1(,)e
+∞。

解法二：综合法 ()(2)x f x e a x =-+
'()x f x e a =-
若a ≤0，则f ’(x)≥0，f(x)单调递增，最多只能有一个零点，所以不合题意。

若a ＞0时，可采用综合法。

当x ∈（-∞，lna ），f ’(x)＜0；当x ∈(lna,+∞)时，f ’(x)＞0。

所以 f(x)min=f(lna)=﹣a(lna+1)
若f(x)有两个零点，必须满足f(x)min ＜0，即1a e >。

下面证明1a e
>时，f(x)有两个零点。

在（-∞，lna ）上，2(2)0f e --=> ，所以f(x)在其上有一个零点。

在（lna ，+∞）上，由（1）可得1x e x ≥+ ，所以 2
2
22(2)()(1)24x x x x e e +=≥+= 所以 2(2)2()(2)(2)()44
x x f x a x x a ++>-+=+- 所以 当x ＞0且x ＞4a-2且x ＞lna 时，f(x)＞0。

所以 f(x)在（lna ，+∞）有一个零点。

综上，f(x)有两个零点的条件是a ∈1(,)e
+∞。

解法三：分离函数法（数形结合法）
函数()(2)x f x e a x =-+有两个零点，也就是说指数函数x y e =图象 与 一次函数y=a(x+2)图象有两个交点。

直线l ：y=a （x+2）表示经过点（-2,0）。

两个函数的图象如下图所示：
虚线为过（-2,0）点的切线，直线l 是经过（-2,0）的直线系。

确定指数函数过（-2,0）的切线，此时，直线l 与曲线（指数函数图象）有一个交点。

x y e = 上的点设为（00,x x e ），那么在x=x0处的斜率就是0x e ，所以过该点的切线方程
为000()x x y e e x x -=- 。

当该切线经过（-2,0）点时，则有000(2)x x e
e x -=--，解得01x =- ，此时斜率11e e -= 。

当a=1e
时，直线l 与曲线C 相切，只有一个交点，直线l 是曲线C 的切线。

当1a e
> 时，直线l 与曲线C 相交，有两个交点，直线l 是曲线C 的割线。

当10a e
≤<时，直线l 与曲线C 没有交点。

当a ＜0时，有一个交点。

综上，f(x)有两个零点的条件是a ∈1(,)e
+∞。

再看2020年新高考1卷（山东考卷）第21题
已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+
（1）.当a=e 时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围城的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围。

解析：
（1） 求切线，进而求与坐标轴围成的面积，常规题目，按部就班就好。

（2） 恒成立，求恒成立情况下的参数取值范围，属常规题目。

但这里与其他的题目不一
样。

参数a 所处的位置多处，参数与对数相结合，不能通过一系列计算求得a 的范围。

这时，我们采用必要性充分性相结合的方式处理，或者采用分类讨论法处理。

解：
（1）当x=e 时，()ln 1x f x e x =-+ ，f(1)=e+1。

1'()x f x e x
=- ，f ’(1)=e-1。

所以过点(1,f(1))的切线方程为y-（e+1）=（e-1）（x-1），即y=（e-1）x+2。

当x=0时，y=2；当y=0时，21x e =
-
所以 切线与两坐标轴围城的三角形面积是122|2|||211
e e ⋅⋅=-- （2）()1
f x ≥恒成立，即1e ln ln 1x a x a --+≥恒成立。

解法一：必要性充分性结合法
f(x)的定义域是（0，+∞），所以f(1)≥1，即 a+lna ≥1。

令g(a)=a+lna ，则1'()10g a a =+
> ，即g(a)单调递增。

又g(1)=1，所以a ≥1。

即a ≥1是f(x)≥1的必要条件。

下证a ≥1是f(x)≥1的充分条件。

当a ≥1时，11()e ln ln ln x x f x a x a e x --=-+≥-
令1()ln x h x e x -=- ，11'()x h x e x
-=- ，显然h ’(x)是单调增函数。

h ’(1)=0，所以 x ∈（0,1），h ’(x)<0；x ∈(1,+∞)，h ’(x)＞0
所以 h(x)≥h(1)=1。

所以f(x)≥1。

综上，若f(x)≥1，则a ∈ [1,+∞)。

解法二：分类讨论法
()1f x ≥恒成立，即1e ln ln 1x a x a --+≥恒成立。

ln a 显然可以分成01a << 和1a ≥ 两种情况讨论。

1） 当01a <<时，f(1)=a+lna<a<1，因此不合题意。

2） 当a ≥1时，11()e ln ln ln x x f x a x a e x --=-+≥-
下面的解题步骤同解法一，略。

综上，若f(x)≥1，则a ∈ [1,+∞)。

注：这里，必要性充分性结合法、分类讨论法，都作为独立的方法进行应用。