中考数学含答案

13.3.2 等边三角形
一、单选题
1．如图，Rt△ABC 中，△C ＝90°，△B ＝30°，△BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，CD BD 的长是（ ）
A ．2
B ．
C ．3
D ．2．如图，//,AB CD AC
E 为等边三角形，40DCE ∠=︒，则EAB ∠等于（ ）
A ．40︒
B ．30
C ．20︒
D ．15︒
3．下列说法错误的是（ ）
A ．有两边相等的三角形是等腰三角形
B ．直角三角形不可能是等腰三角形
C ．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D ．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
4．如图，点B 是线段AC 上任意一点（点B 与点A ，C 不重合），分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE ，AE 与BD 相交于点G 、CD 与BE 相交于点F ，
AE 与CD 相交于点H ，
连HB ，则下列结论：△AE CD =；△120AHC ∠=︒；△HB 平分AHC ∠；△CH EH BH =+．其中正确的结论有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．如图，过边长为3的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交边AC 于点D ，则DE 的长为（ ）
A ．13
B ．1
2 C ．32 D ．2
6．下列所叙述的三角形一定全等的是（ ）
A ．边长相等的两个正三角形
B ．腰相等的两个等腰三角形
C ．含有30°角的两个直角三角形
D ．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形
7．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
8．如图，ABC 为等边三角形，BO 为中线，延长BA 至D ，使AD AO =，则DOB ∠的度数为（ ）
A ．105︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．150︒
9．如图，△ABC 是等边三角形，AD=AE ，BD=CE ，则△ACE 的度数是（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．70°
10．如图，在边长为9的等边△ABC 中，CD △AB 于点D ，点E 、F 分别是边AB 、AC 上的两个点，且AE=CF=4cm ，在CD 上有一动点P ，则PE +PF 的最小值是（ ）
A ．4
B ．4.5
C ．5
D ．8
11．如图，ABC 是等边三角形，D 是线段BC 上一点（不与点,B C 重合），连接AD ，点,E F 分别在线段,AB AC 的延长线上，且DE DF AD ==，点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是（ ）
A ．不变
B ．一直变小
C ．先变大后变小
D ．先变小后变大 12．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（ ）
A ．(2020,1-
B ．(2020,1--
C ．(2019,1-+
D ．(2019,1-- 13．如图，ABC ∆是等边三角形，AD 是BC 上的高，//D
E AC ，图中与BD （BD 除外）相等的线段共有（ ）条
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
14．以下说法正确的是（ ）
A ．三角形中 30°的对边等于最长边的一半
B ．若a + b = 3，ab = 2，则a - b = 1
C ．到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个
D ．等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线 15．如图，ABC ∆和CD
E ∆都是等边三角形，且62EBD ∠=，则AEB ∠的度数是（ ）
A ．124
B ．122
C ．120
D ．118
二、填空题
16．如图，在△ABC 中，△B ＝30°，AC =
边AB 的垂直平分线分别交AB 和BC 与点E ，
D ，且AD 平分△BAC 则D
E 的长度为____．
17．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，△BCD 的周长为13，△ABC 的周长是19，若△ACD ＝60°，则AD ＝___．
18．如图，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，AD =CE ，连接BD ，AE ，点M 、N 分别在线段BE 、BD 上，满足BM =BN ，MN =ME ，若△DBC ：△BEN =8：7，则△AEN 的度数为_______．
19．如图是一个正方形和两个等边三角形，若△3=80°，则△1+△2=____________
20．如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的两个动点，且总使AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG △CD 于点G ，则△F AG ＝_____°．
三、解答题
21．如图，ABC 和BDE 是等边三角形，连接AD 、CE ．求证：ABD △△CBE △．
22．如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过点C作//
CE AB，且AE△CE．解答下列问题：
（1）△CAE=△ABD成立吗？请说明理由；
（2）还有哪些结论？（写出一个即可）
23．如图，在等边ABC中，高线BD和高线CE相交于点O．
△≌△；
（1）求证：ABD ACE
△的形状，并说明理由．
（2）连接DE，判断CDE
24．如图，ABC和ADE都是等边三角形，BE和CD交于点F，ADE绕点A旋转．
（1）如图1所示，求证：BAE CAD
△≌△；（2）如图2所示，求证：AF平分BFD
．
参考答案
1．B
解：△90C ∠=︒，30B ∠=︒
△60CAB ∠=︒
△CAB ∠的平分线AD 交BC 于点D △1302
CAD BAD CAB ∠=∠=∠=︒ △DAB B ∠=∠
△BD AD =
△CD =
△2BD AD CD ===故选：B
2．C
解：ACE 为等边三角形，
60ECA EAC ∴∠=∠=︒，
//AB CD ，
180DCA BAC ∴∠+∠=︒，
180DCE ECA EAC EAB ∴∠+∠+∠+∠=︒，
40DCE ，
406060180EAB ∴︒+︒+︒+∠=︒，
解得20EAB ∠=︒，
故选：C ．
3．B
解：A.有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A 选项正确；
B.等腰直角三角形就是等腰三角形，故B 选项错误；
C.有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确；
D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确．
故选B ．
4．A
解：,ABD BCE 为等边三角形，
,60,60BA BD ABD BC BE CE CBE ∴=∠=︒==∠=︒，，
,ABD DBE CBE DBE ∴∠+∠=∠+∠ 即,ABE DBC ∠=∠
(),ABE DBC SAS ∴≌
,AE DC ∴= 故△符合题意；
,ABE DBC ≌
,EAB CDB ∴∠=∠
,DGH AGB ∠=∠
180,180,DHG CDB DGH ABD EAB AGB ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠
60DHG ABD ∴∠=∠=︒，
120AHC ∴∠=︒，
故△符合题意； 如图，过B 作BM AE ⊥交AE 于,M 过B 作BN DC ⊥交DC 于,N
,ABE DBC ≌,AE DC 为对应边，
,BM BN ∴=
HB ∴平分,AHC ∠ 故△符合题意；
如图，在CH 上截取,HK HE = 连接,EK
60,EHK AHD ∠=∠=︒
EHK ∴为等边三角形，
,60,EK EH HEK ∴=∠=︒
60,60,HEK HEB FEK BEC FEK KEC ∠=︒=∠+∠∠=︒=∠+∠
,HEB KEC ∴∠=∠
,BE CE =
(),EHB EKC SAS ∴≌
,HB KC ∴=
.CH CK HK BH EH ∴=+=+ 故△符合题意；
综上：△△△△都符合题意，
故选：.A
5．C
解：过P 作//PF BC 交AC 于F ，
//PF BC ，ABC ∆是等边三角形，
PFD QCD ∴∠=∠，60APF B ∠=∠=︒，60AFP ACB ∠=∠=︒，60A ∠=︒，
APF ∴∆是等边三角形，
AP PF AF ∴==，
PE AC ⊥，
AE EF ∴=，
AP PF =，AP CQ =，
PF CQ ∴=，
在PFD ∆和QCD ∆中
PFD QCD PDF CDQ PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， PFD QCD ∴∆≅∆，
FD CD ∴=，
AE EF =，
EF FD AE CD ∴+=+，
12
AE CD DE AC ∴+==， 3AC =，
32
DE ∴=， 故选：C ．
6．A
解：A 、边长相等的两个正三角形，利用SSS 可得一定全等，选项符合题意； B 、腰相等的两个等腰三角形，没有指明角相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
C 、含有30°角的两个直角三角形，因为没有指明边相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
D 、两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，选项不符合题意； 故选A ．
7．C
解：连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，
△2OD =，4OE =，
△6DE OD OE =+=，
在Rt△CDE 中，30C ∠=︒，
△212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒，
△D 为AC 的中点，DE AC ⊥，
△OA OC =，
△OA OB =，
△OB OC =，
△OF BC ⊥， △12
CF BF BC ==， 在Rt△OEF 中，
△60OEF ∠=︒，
△9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒， △122
EF OE ==， △10CF CE EF =-=，
△8BE BC CE =-=；
故答案选C ．
8．B
解：△△ABC 为等边三角形，BO 为中线，
△△BOA＝90°，△BAC＝60°
△△CAD＝180°﹣△BAC＝180°﹣60°＝120°，△AD＝AO，
△△ADO=△AOD=30°，
△△BOD＝△BOA+△AOD＝90°+30°＝120°，故选：B．
9．C
解：△△ABC是等边三角形，
△AB=AC=BC，△B=60°，
在△ABD和△ACE中，
AB AC AD AE BD EC
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
△△ABD△△ACE，
△△ACE=△B=60°，
故选：C．
10．C
解：作点E关于AD的对称点G，连接FG与CD的交点即为P点，如图：
△PG=PE，
此时PF+PE=PF+ PG有最小值，最小值为FG，
△△ABC是边长为9等边三角形，且CD△AB，AE=CF=4，
△AD=BD=1
2
AB=4.5，AF=AC-CF=9-4=5，△A=60︒，
△ED=GD= AD- AE=4.5-4=0.5，△AG=AE+ED+GD=5= AF，
△△AFG是等边三角形，
△FG= AF=5，
△PF+PE的最小值是5，
故选：C．
11．D
解：ABC是等边三角形，
60 ABC ACB BAC
∴∠=∠=∠=︒，
120
EBD DCF
∴∠=∠=︒，
DF AD
=，
CAD F
∴∠=∠，
又
60
60
BAD CAD BAC
CDF F ACB
∠+∠=∠=︒⎧
⎨
∠+∠=∠=︒
⎩
，BAD CDF
∴∠=∠，DE AD
=，
BAD E
∴∠=∠，
E CDF
∴∠=∠，
在BDE和CFD
△中，
EBD DCF
E CDF
DE FD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
()
BDE CFD AAS
∴≅，
BE CD
∴=，
则BED周长为BE BD DE CD BD AD BC AD
++=++=+，
在点D从B运动到C的过程中，BC长不变，AD长先变小后变大，其中当点D运动到BC 的中点位置时，AD最小，
∴在点D从B运动到C的过程中，BED周长的变化规律是先变小后变大，
故选：D．
12．D
解：△△ABC是等边三角形AB=3-1=2
△点C到x轴的距离为
1+21
=2
△C(2
，1
由题意可得:第1次变换后点C的坐标变为(2-1
，1)，即(1
，1
-，
第2次变换后点C的坐标变为(2-2
1)，即(0
，1+
第3次变换后点C的坐标变为(2-3，1)，即(-1，1
-
第n次变换后点C的坐标变为(2-n，1)(n为奇数)或(2-n，1+为偶数)，
△连续经过2021次变换后，等边ABC的顶点C的坐标为(-2019，1-，
故选：D．
13．D
解：△等边三角形ABC中，AD是BC上的高，AD△BC，
△ BD= DC
△DE//AC，
△△EDA=△DAC=30°
△△EDA=△DAE=30°
△ED=EA，
又DE//AC
△△EDB =△C=60°，
△△EDB =△B
△△EDB为等边三角形，DE= DB=BE，
△DE= DB=BE=EA=DC，
所以图中与BD（BD除外）相等的线段共有4条，
故选择D.
14．D
解：A、错误，正确的说法是：含30°的直角三角形中30°的对边等于最长边的一半；
B、错误，例如a =1，b=2，满足a +b = 3 ，ab = 2，但不满足a -b = 1；
C、错误，到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，在三角形内部的有一个，是三个内角角平分线的交点，在三角形的外部还有三个，是三角形的外角角平分线的交点；
D、正确，等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线，都在等腰三角形的底边的垂直平分线上，
故选：D．
15．B
解：如图：
△ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，
△AC=BC ，CE=CD ，△ACB=△ECD=60°， △△ACE+△BCE=△BCD+△BCE=60°， △△ACE=△BCD ，
△△ACE△△BCD ，
△△CAE=△CBD ，
即6062BAE EBC ︒-∠=︒-∠，
△60EBC ABE ∠=︒-∠，
△6062(60)BAE ABE ︒-∠=︒-︒-∠，
△58ABE BAE ∠+∠=︒，
△18058122AEB ∠=︒-︒=︒；
故选：B ．
16．1 解：直线DE 是线段AB 的垂直平分线， DB DA ∴=，AE BE =，30B DAB ∠=∠=︒， AD 平分BAC ∠，
260BAC DAB ∴∠=∠=︒
18090ACB B BAC ∴∠=︒-∠-∠=︒，
在Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，AC =
∴2AB AC ==
∴1
2AE BE AB ===
在Rt BED ∆中，30B ∠=︒，设DE x =， 22BD DE x ∴==， ∴
222(2)x x +=，
1DE =∴，
故答案为1．
17．6
解：△DE 是AC 的垂直平分线，
△DA ＝DC ，
△△ACD ＝60°，
△△ADC 为等边三角形，
△AD ＝AC ，
△△ABC 的周长是19，
△AB +BC +AC ＝19，
△△BCD 的周长为13，
△BD +DC +BC ＝BD +DA +BC ＝AB +BC ＝13， △AC ＝19﹣13＝6，
△AD ＝AC ＝6，
故答案为：6．
18．45°
解：△△ABC 为等边三角形，
△AB =AC =BC ，△BAC =△ABC =△C =60°， 在△ACE 和△BAD 中，
60CE AD C BAC CA AB ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
△△ACE △△BAD （SAS ），
△△CAE =△ABD ；
△△BGE =△ABD +△BAE =△EAC +△BAE =△BAC =60°， △△DBC ：△BEN =8：7，
设△DBC=8x ，△BEN =7x ，
△MN =ME ，
△△MNE =△BEN =7x ，
△△BMN =14x ，
△△BMN =△BNM =14x ，
在△BMN 中，14x +14x +8x =180°，
△x =5°
△△BNE =△BGE +△AEN=△BNM +△MNE =21x =105°， △△AEN=105°-60°=45°；
故答案为：45°
19．70°
解：如图所示，根据△ABC 的外角和定理可得： 123456360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，
由题意，3804905660∠=︒∠=︒∠=∠=︒，，， △()()1236034563608090606070∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠=︒-︒+︒+︒+︒=︒， 故答案为：70°．
20．30°
解：△△ABC 为等边三角形，
△AC ＝CB ＝AB ，△ACB ＝△B ＝60°，
△AD ＝BE ，
△BD ＝CE ，
△在△ACE 和△CBD 中
△AC CB ACE B CE BD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
△△ACE △△CBD （SAS ），
△△CAE ＝△BCD ，
△△AFG ＝△CAF ＋△ACF ，
△△AFG ＝△BCD ＋△ACF ＝△ACB ＝60°， △AG △CD ，
△△AGF ＝90°，
△△F AG ＝90°−60°＝30°．
故答案为30°．
21．见解析．
证明：△ABC 和BDE 是等边三角形 △60ABC DBE ∠=∠=︒
△ABC DBC DBE DBC ∠-∠=∠-∠ △ABD CBE ∠=∠
又△AB BC =，BD BE =，
∴在ABD △和CBE △中
AB BC ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
△ABD △△CBE △()SAS
22．（1）成立，理由见解析；（2）AE = BD ． 解：（1）成立，理由为：
△三角形ABC 是等边三角形， AD =CD ， △AB =BC =AC ，BD △AC 即△AEC =△BDA =90°， △AB △CE ，
△△ACE =△BAD ．
在△ABD 和△AEC 中，
90AEC BDA ACE BAD AC AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△△ABD △△AEC (AAS )，
△△CAE =△ABD ；
（2）AE = BD ，
由（1）得：△ABD △△AEC ，
△AE = BD ．
23．（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析 解：（1）证明：ABC 是等边三角形， AB AC ∴=． BD 和CE 是等边ABC 的高线，
即BD 和CE 是等边ABC 的中线， 12
AD AC ∴=，12AE AB =， AD AE ∴=．
在ABD △与ACE 中，AD AE A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
(SAS)ABD ACE ∴△≌△．
（2）CDE △是等腰三角形．
理由：ABC 是等边三角形，
60A ∴∠=︒．
AD AE =，
ADE ∴是等边三角形，
AD DE ∴=． BD 是等边ABC 的中线，
AD CD ∴=，
DE CD ∴=，
CDE ∴是等腰三角形．
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析 证明：（1）△ABC 和ADE 都是等边三角形 △AB AC =，AE AD =，60BAC DAE ∠=∠=︒ △BAC BAD DAE BAD ∠+∠=∠+∠，即BAE CAD ∠=∠ 在BAE △和CAD 中，
AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
△()BAE CAD SAS ≌． （2）过点A 作AG BF ⊥交BF 于点G ，过点A 作AH DF ⊥交DF 于点H ，
由（1）可得：BAE CAD △≌△， △BE CD =， △AG AH = △AF 平分BFD ∠．。