第二讲：最大公因数与最小公倍数

教师一对一辅导学案
课题：最大公因数和最小公倍数
一．教学衔接
1.沟通了解情况。

2.检查上次课作业。

3.过关斩将
（1）9
5表示把单位“1”平均分成（ ）份，取其中的（ ）份。

（2）9
2的分数单位是（ ），它里面有（ ）个这样的分数单位，再添上（ ）个这样的分数单位就是最小的质数。

（3）()(
)÷=()25=0.4=()8 ()()()()()12165.204===÷=
二、教学内容
考点一 分解质因数
1、下面的数,哪些能写成几个质数相乘的形式？
7, 9, 11, 12
2、在2、 7、 12、35、 4 、21、 1
3、 17这些数中,
质数有:（ ）
合数有:（ ）
3、 28和60可以写成哪几个质数相乘的形式?
每个合数都可以写成几个( )数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的( )数,叫做这个合数的质因数。

4、13×4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？
5、分解质因数的方法
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（1）用短除法把下面各数分解质因数.（2）能用短除法把下面各数分解质因数.
55 60 80 108
【练习】
1、选一选。

(1)把10分解质因数是( )
A.10=2×5
B.10=1×2×5
C.10=1×10
(2)把27分解质因数是( )
A.3×9=27
B.3×3×3=27
C.27=3×3×3
2、看谁是小判官
①把35分解质因数是 35=1×5×7（）②把49分解质因数是7×7=49 ( ) ③把30分解质因数是30=2×3×5 ( ) ④51不能分解质因数. ( )
考点二求最大公因数的方法
1．用排列因数的方法求18和24的最大公因数。

18的因数有：（）
24的因数有：( )
18和24的公因数有（）,其中最大公因数是（）。

2．用短除法求两个数的最大公因数
（1）把18和24分解质因数。

2 1 8 2 2 4
3 9 2 1 2
3 2 6
3
18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
18和24的最大公约数是：2×3＝6。

所有的公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数。

以上可以简写成：
2 1 8 2 4 用公有质因数2除，
3 9 1 2 用公有质因数3除，
3 4 3和4互质不除了。

18和24最大公因数是：2×3＝6。

（2）先把36和54分解质因数，再求出它们的最大公因数。

用合并短除法算式的方法求36和54的最大公因数。

3、求两个数的最大公因数的特殊情况。

（1）倍数关系：当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数。

如：17和51的最大公因数是17。

（2）互质关系：互质的两个数的最大公因数是1。

如：8和9的最大公因数是1。

考点三求最小公倍数的方法
1、现在我们求这两个数的最小公倍数，能不能也来尝试一下这种方法？
把6和4分解质因数。

2 6 2 4
3 2
6＝2 ×3
4＝2 ×2
6和4公有的质因数是：（）各自独有的质因数有（）
全部公有的质因数的积×各自独有的质因数=最小公倍数
所以6和4的最小公倍数是：2×2×3=12。

【练习】
（1）已知A＝2×5×5，B ＝2×5×7。

A和B全部公有的质因数有（），各自独有的质因数有（），A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

（2）30＝（）×（）×（）18＝（）×（）×（）
30和18的最大公因数是（）×（）=（），
最小公倍数是（）×（）×（）×（）＝（）
2、用短除法求最小公倍数
2 6 4
3 42 63
2 3 7 14 21
6和4的最小公倍数是2×2×3＝12。

2 4
42和63的最小公倍数是3×7×2×3=126。

【试一试】
1、用短除法求下面每组数的最小公倍数。

12和30 36和54
2、判断下面各题是否正确，错在什么地方。

（1）16＝2×2×2×2
20＝2×2×5
16和20的最小公倍数是2×2×2×2×2×5＝160
（2）
3 30 45
2 3
30和45的最小公倍数是3×5＝15【变成求最大公约数】
（3）
2 24 32
2 12 16
6 8
24和32的最小公倍数是2×2×6×8＝192【没有除到互质数】
3、求两个数的最小公倍数特殊情况
（1）倍数关系：当两个数成倍数关系时，较大数就是这两个数的最小公倍数。

如：13和39的最小公倍数是39。

（2）互质关系：互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积。

如：4和15的最小公倍数是4×15=60。

4、综合求最大公因数和最小公倍数的方法
求下面各组数的最大公因数和最小公倍数
（1）6和13 （2）58和29 （3）48和60
6和13的最大公因数是（）58和29的最大公因数是（）
6和13的最小公倍数是（）58和29的最小公倍数是（）
三、教学总结
求最大公因数和最小公倍数的方法：
（1）互质关系：
如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数这两个数的积。

（2）倍数关系：
如果较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是
这两个数的最小公倍数。

（3）一般关系：用短除法。

用短除法求两个数的最大公因数或最小公倍数，一般都用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。

把所有的除数相乘起来，就得到这两个数的最大公因数；把所有的除数和最后的两个商连乘起来，就得到这两个数的最小公倍数。

四、课堂练习：
1．找出下列数中的合数，并把它们分解质因数。

2953 91 102117
2．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。

（1）78和26 （2） 6和11
（3）60和75（4）63和72
3、解决问题
（1）小红家卧室的开关最初在关闭状态，现在如果不断开关，开关13次后，灯处于哪种状态？为什么？如果开关200呢？
（2）6个红球与24个黄球，大小一样，分别装在同一种盒子里,每种球正好装完，每盒最多能装几个?这时共需几个盒子？
（3）1路和5路公共汽车早上7时同时从起点站发车。

1路车每隔6分发一班，5路车每隔9分发一班。

列表找出这两路车同时发车的时间，你发现了什么？
五、课外作业
（一）填空
1．最小的自然数是()；最小的奇数是()；最小的偶数是()；最小的质数是()；最小的合数是()。

2．即有因数2，又有因数3的最小数是()；既有约数2，又有因数5的最小数是()；既有因数3，又有因数5的最小的数是()。

3．既不是质数，又不是偶数的最小自然数是()；既是质数；又是偶数的数是()；既是奇数又是质数的最小数是()；既是偶数，又是合数的最小数是()；既不是质数，又不是合数的最小数是()；既是奇数，又是合数的最小的数是()。

4．能同时被2、3、5整除的两位数是()。

5．把390分解质因数是（390=）。

6．除以2、5、3余数都是1的数，其中，最小的一个是()。

7．2、5、10的最大公因数是()，最小公倍数是()。

8．甲数除以乙数的商是15，甲乙两数的最大公因数是()；最小公倍数是()。

9．从0、2、3、5、7五个数中，选四个数组成一个同时能被2、3、5整除的最小的四位数()。

（二）选择填空
1．两个不同质数的最大公因数是()。

① 1 ②小数③大数
①整除3②被3整除③被3除尽
3．大于2的两个质数的乘积一定是()。

①质数②偶数③合数
4．任意两个自然数的积是()。

①质数②合数③质数或合数
5．甲数的质因数里有2个2，乙数的质因数里有3个2，它们的最大公因数里应该有()。

①2个2②3个2③5个2
6．在100以内，能同时被3和5整除的最大奇数 ()。

① 95② 90③ 75
7．a和b是互质数，a和b的最大公因数是()；最小公倍数是()。

①a②b③1④ab
（三）分解质因数
①180②507
（四）求最大公因数和最小公倍数
（1）66和165 （2）16和27 （3）13和52。