电力出版社运筹学答案 第一章

第1章训练题
一．基本技能训练
1．用图解法求解下列线性规划问题
（1）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≥≤≥+≤++=0
,41501053max 21221212
1x x x x x x x x x z （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,23364min 2
121212
1x x x x x x x x z
（3）⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+--≥-+=0,25.0122max 2
121212
1x x x x x x x x z （4）⎪⎩⎪
⎨⎧≥-≤-≥-+=0,330
22max 2
1212121x x x x x x x x z
1．用图解法求解下列线性规划问题
(1). 唯一最优解14,)4,2(**==z X T ； (2). 唯一最优解9,)2
1,23(*
*
==z X T ； (3). 无界解； (4). 无可行解；
2．用单纯形法求解下列线性规划问题
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
≥≤+≤≤+=0,1823122453max 2121
2
12
1x x x x x x x x z （2） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-+≤+-≤+++-=0,,201026032max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z （3）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≥≤++-≤++-≤--++++=0,,,1032425823320
446581026max 43214321432143214
321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （4）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥≥≤++≤+-≤++-++=3
,2,11722044132246max 3213213213213
21x x x x x x x x x x x x x x x z （5）⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤++≤++++=0,,12
3416
648
2212322532max 3
213231321321321x x x x x x x x x x x x x x x x z （6）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+++≤+++≤++++++=0,,,9005387800584548024821004016090max 43214321432143214
321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z
（7）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≥+=0
,4.126
.18.018001000min 21212112
1x x x x x x x x x z （8）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++++=0,,62382432min 3212
13213
21x x x x x x x x x x x z
（9）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥++≤++-≤++++=0
,,5215
15659
35121510max 3213213213213
21x x x x x x x x x x x x x x x z （10） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥=+++=++=++-++=0
,,,1022052153232max 432143213
213
214
321x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （11）⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥-≥+
-≥+++-=0
,,0222622max 32132313213
21x x x x x x x x x x x x x z （12） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥=++≤++≤++++=无约束
，3213213213213210,101632182635max x x x x x x x x x x x x x x x z （13）⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+≤+-=0,56
23min 2121212
1x x x x x x x x z （14）⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤-≤++=0,1262385max 2
121212
1x x x x x x x x z
（15）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++-+-=0,,104322
3232min 3213213213
21x x x x x x x x x x x x z （16）⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤-+≤+++-=0
,,9362122max 321213
21321321x x x x x x x x x x x x x x z
（17）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤++≤+-+≤-++-+--=0
,,,412
32642532min 4321431432143214
321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （18）⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≤≤-≤+-≥+--≥---=0
,16
4826
23
323min 2121
2121212
1x x x x x x x x x x x x z （19）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥=++≤+≤+++=0
,,13217
313
2343max 32132132313
21x x x x x x x x x x x x x z （20）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤++-≥+-≥++-+=0
,,452
23
3min 321321213213
21x x x x x x x x x x x x x x z
（21）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥=++≥++≤++++=0
,,1
29002500350038007080
65 60 670075008400min 3213213213213
21x x x x x x x x x x x x x x x z
（22）⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-=-+-=--++++=0,,,376284327432max 4321432143214
321x x x x x x x x x x x x x x x x z
(22). 唯一最优解5
117
,)57,0,0,534(
**
==z X T ； （23）⎪⎩
⎪
⎨⎧≥=+++=+++-+-=0,,,3227
4326325min 4321432143214
321x x x x x x x x x x x x x x x x z
(23). 唯一最优解3,)1,1,0,0(**-==z X T ；
（24）⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥+-=++-+=0,,10527
532max 3
213213213
21x x x x x x x x x x x x z
(24). 唯一最优解7
102,)0,74,745(**
==z X T ；
（25）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,7742min 2
121212
1x x x x x x x x z （26） ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≥+++≥-+-≥++++++=0,,,1562522730
542423min 43214321432143214
321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z (25). 13
31,)1310,1321(**==z X T ； (26). 9,)0,0,0,3(*
*==z X T
（27）⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+++≤+++++=0,,,122228
2652max 432143214314
321x x x x x x x x x x x x x x x z
(27). 唯一最优解44,)4,4,0,0(*
*
==z X T
；
（28）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤++≤++≤++0
,,420101324008510300
10283213213213213
21x x x x x x x x x x x x
(28). 唯一最优解15
2029
,)322,5116,15338(
**
==z X T ； （29）⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤++≤++++=0,,30222010127max 3
213213213
21x x x x x x x x x x x x z
(29). 唯一最优解220,)10,10,0(**==z X T ；
（30）⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤++≤++++=0,,30222061615max 3
213213213
21x x x x x x x x x x x x z
(30). 唯一最优解240,)0,15,0(**==z X T ；
（31）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤+≤+--≤-+-+=无正负号限制
321213213213
21,,63445
322max x x x x x x x x x x x x x x z
(31). 唯一最优解2
11
,)49,411,49(**
=--
=z X T ； （32）⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥++≤++++=0,,824322323max 3
213213213
21x x x x x x x x x x x x z
(32). 唯一最优解4,)0,2,0(*
*
==z X T
；
（33）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无正负号限制
321
3
213213
21,0,06422min x x x x x x x x x x x x z
(33). 唯一最优解12,)1,0,5(*
*
-=--=z X T
；
（34）⎪⎩⎪
⎨⎧≥=-=++0,,42323
2121321x x x x x x x x
(34). 唯一最优解5,)1,0,2(**==z X T ；
（35）⎪⎩⎪
⎨⎧≥-≤+≥+-+=0,2122min 2
121212
1x x x x x x x x z
(35). 无可行解；
（36）⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤++≤++++=3
0,52,40233421422253max 3213
213213
21x x x x x x x x x x x x z
(36). 唯一最优解4
123
,)0,415,
4(**
==z X T ； （37）⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤--=++++=0,,40653025325max 3
213213213
21x x x x x x x x x x x x z
(37). 唯一最优解150,)0,0,30(*
*
==z X T ；
（38）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+++≤++++++=0,,,2023220322432max 4
321432143214
321x x x x x x x x x x x x x x x x z
(38). 唯一最优解28,)4,4,0,0(*
*
==z X T
；
（39）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++++=0,,10536423425min 3
213213213
21x x x x x x x x x x x x z
(39). 唯一最优解3/22,)0,2,3/2(*
*
==z X T
；
（40）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥-≤+=--+=0
,,28242max 32132323213
2x x x x x x x x x x x x z (40). 唯一最优解8,)2,4,10(**==z X T ； 2．用单纯形法求解线性规划问题 (1). 唯一最优解36,)6,2(**==z X T ； (2). 唯一最优解25,)0,5,15(**==z X T ； (3). 无界解；
(4). 有无穷多最优解，其一47,)7,25.2,5.5(**==z X T ； (5). 唯一最优解5.16,)2,5.1,1(**==z X T ； (6). 唯一最优解18000,)140,0,25,0(**==z X T ； (7). 唯一最优解1640,)8.0,1(**==z X T ；
(8). 有无穷多最优解，其一7,)8.1,8.0(**==z X T ； (9). 无可行解；
(10). 唯一最优解15,)0,5.2,5.2,5.2(*
*==z X T ； (11). 无界解；
(12). 唯一最优解46,)4,0,14(*
*=-=z X T ； (13). 唯一最优解9,)3,0(*
*-==z X T ； (14). 唯一最优解24,)3,0(*
*==z X T ； (15). 唯一最优解5.5,)0,3,5.0(*
*-==z X T ； (16). 有无穷多最优解，其一12,)6,0,6(*
*==z X T ； (17). 唯一最优解3
68,)4,0,3
8
,0(*
*
-==z X T ； (18). 无界解；
(19). 唯一最优解41,)2,11,0(*
*
==z X T
； (20). 无可行解；
(21). 有无穷多最优解，其一3
21700,)31,32,
0(**
==z X T 。

3．某工厂用甲、乙两种原料生产D C B A ,,,四种产品，每种产品消耗原料定额如下所示：
现有甲原料18吨，乙原料3吨。

（1）求使总利润最大的生产计划；
（2）求以上四种产品的单位利润各在什么范围变动，以上最优计划的生产品种不变？ （3）两种原料的数量各在什么范围内变动，以上最优生产品种不变？如果原料已增加到5吨，新的最优解是什么？
（4）在原来的最优生产计划下，哪一种原料更为紧缺？如果甲原料增加12吨，这种紧缺程度是否有变化？ 3．（1）2
177
,)0,23,
0,2
3
(**
==z X T ； （2）4
77,49,227,10326≤≥≤≤≤D C B A ； （3）甲15≥，≤0乙518≤，90,)0,5
9,0,0(**
==z X T ；
（4）甲，没变化。

二．实践能力训练
建立下列问题的数学模型（不必求解）。

1．某饲养厂饲养动物出售，设每头动物每天至少需700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。

现有5种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分及单价如右表所示。

要求确定既满足动物生长的需要，又使费用最省的选用饲料的方案。

1．设需要第i 种饲料i x 公斤（5,4,3,2,1=i ），则线性规划模型为：
543218.03.04.07.02.0min x x x x x z ++++=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=≥≥++++≥++++≥++++5,,1,01008.022.00.15.0305.022.05.0700623543215432154321 i x x x x x x x x x x x x x x x x i
2．一贸易公司专门经营某种杂粮的批发业务。

公司现有库容5000单位的仓库。

一月一日，公司拥有库存1000单位杂粮，并有资金20000元。

估计第一季度杂粮价格（元）如右表所示。

如买进的杂粮当月到货，但需到下月才能卖出，且规定“到货付款”。

公司希望本季度末库存为2000单位，问应采取什么样的买进与卖出的策略使三个月总的获利最大?
2．设i x 为每月买进的杂粮担数，i y 为每月卖出的杂粮担数，则线性规划模型为：
3213211455.1525.1425.1475.162155max x x x y y y z ---++=
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧=≥=+-+-+-+-+-+≤+-+≤+≤≤+-+-≤+-+-+-≤+-≤≤3,2,1,0,200010001455.1475.1525.1625.142155200005.1525.1625.142155200005.14215520000500010005000
1000100010001000
332211322113
211211
221111*********i y x x y
x y x y y x y x y x y x y x y x x y x y x y x y x y y x
y y y i i 3．某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。

农场劳动力情况为秋冬季3500人日，春夏季4000人日。

如劳动力本身用不了时可外出干活，春夏季为2.1元/人日，秋冬季为1.8元/人日。

该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。

种作物时不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资400元，每只鸡投资3元。

养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬
季为100人日，春夏季为50人日，年净收入
400元/每头奶牛。

养鸡时不占土地，需人工
喂每只鸡秋冬季需0.6人日，春夏季0.3人日，
年净收入为2元/每只鸡。

农场现有鸡舍允许
最多养3000只鸡，牛栏允许最多养32头奶牛。

三种作物每年需要的人工及收入情况如右表所示。

试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。

3．用321,,x x x 分别代表大豆、玉米、麦子的种植数（公顷）；54,x x 分别代表奶牛和鸡的饲养数；76,x x 分别代表秋冬季和春夏季多余的劳动力（人日），则线性规划模型为：
76543211.28.12400120300175max x x x x x x x z ++++++=
⎪⎪
⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧
=≥≤≤≤+++++≤+++++≤+≤+++)7,,2,1(030003240003.05040755035006.01001035201500034001005.154754321654321544321 j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j
4．某糖果厂用原料A 、B 、C 加
工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。

已知各种牌号糖果中A 、B 、C 的含量（%）、原料成本（元/公斤）、各种原料每月的限制用量（公斤）、三种糖果的单位加工费售价如右表所示，加工费单位是：元/公斤。

问该糖果厂每月生产这三种牌号
糖果各多少斤，使得到的利润为最大？试建立这个问题的线性规划模型。

4．设321,,x x x 分别表示甲糖果中C B A ,,的成份；654,,x x x 分别表示乙糖果中C B A ,,的成份；987,,x x x 分别表示丙糖果中C B A ,,的成份。

由题意，则线性规划模型为：
)
(0.1)(5.1)(0.2)()30.025.2()()40.085.2()()50.040.3(max 963852741987654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ++⨯-++⨯-++⨯-++⨯-+++⨯-+++⨯-=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧
=≥≤++≤++≤++≤++≤++≥++≤++≥++9
,,1,01200
250020005
.06.015.02.06
.09
638527419
8796
5
4665443213
3
21
1 j x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x j
5．有一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的容
积（立方米）和最大允许载重量（吨）如右表所示。

现有三种货物待运，已知有关数据列于下右表。

为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。

具体要求前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15%，前、后舱不超过10%。

问该货轮应装载A 、B 、C 各多少件，运费收入为最大？试建立这个问题的线性规划模型。

5．用3,2,1=i 分别代表商品,,,C B A 用3,2,1=j 分别代表前、中、后舱，ij x 为装于j 舱位的i 种商品的数量，目标函数为总运费收入最大，约束条件需分别考虑舱位载重限制、舱位容量限制、商品数量限制及各舱位载重的平衡限制。

则模型为：
3
,2,1;3,2,1,0)10.01(34568568)10.01(34
)15.01(21568568)15.01(21
)15.01(32568568)15.01(32
800
1000600150075105400751040007510150056830005682000568)(600)(700)(1000max 332313312111322212332313322212312111333231232221131211332313322212312111332313322212312111333231232221131211==≥+≤++++≤-+≤++++≤-+≤++++≤-≤++≤++≤++≤++≤++≤++≤++≤++≤++++++++++=j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ij
6．工厂在今后四个月内需租用仓库堆存物资。

已知各个月所需的仓库面积（平方百米）如右表。

仓库租借费用（元/平方百米），当租借合同期限越长时，享受的折扣优待越大，具体数字如右表。

租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积和期限。

因此，该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理时可签一份，也可同时签若干份租用面积和租借期限不同的合同，总的目标是使所付的租借费用最小。

试根据上述要求，建立一个线性规划模型。

6．设)14,,1,4,,1(+-==i j i x ij 为第i 个月初签订的租借期限为j 个月的合同租借面积（单位：1002
m ）；i r 表示第i 个月所需的仓库面积；j c 表示每1002
m 仓库面积租期为j 个月的租借费。

则问题的线性规划模型为：
∑∑=+-==41
1
41
min i i j ij j x c z
⎪⎩
⎪⎨⎧
+-==≥=≥∑∑=+-+-=)14,,1;4,,1(0)4,3,2,1(1141
i j i x k r x ij k i i i k j k ij 具体为：
1
4,,1;4.3,2,1,012201015
7300)(6000)(4500)(2800min 413223143231232214132322211413121413121114231332221241312111+-==≥≥+++≥+++++≥+++++≥++++++++++++=i j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ij
7．用长8米的角钢切割钢窗用料。

每付钢窗含长1.5米的料2根，1.45米的料2根，1.3米的
6根，0.35米的12根。

若需钢窗用料100付，问最少需切割8米长的角钢多少根？7．可考虑如下几个方案：
设方案)8,,2,1( =i i 用料i x 根，则线性规划模型为：
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
=≥=+++++=++++=+++=++++=8,,2,1,01200
4638610600555242004322002305.01.01.0min 6
54321
8
764385427218
65 j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z j 8．一工厂有4台机器，每台都能生产三种类型的零件，它们生产这些零件时，每小时所获利润以及生产不同零件的速度见下表。

预计下个月对第1、2、3种零件的需求量分别为700、500和400个单位；4台机器可提供的工作时间分别为90、75、90和80小时。

问该厂应如何安排生产，才能使下个月获利最大？
机器生产零件的利润额（元/小时）与速度（件/小时）
8．设)3,2,1;4,3,2,1(==j i x ij 表示第i 台机器生产第j 种零件所用时间（单位：小时），则线性规划模型为：
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎪⎪⎨
⎧==≥≤++≤++≤++≤++=+++=+++=++++++++++++++=3
,2,1;4,3,2,1,0809075904002584500
36677009428843254746655max 4342413332312322211312114333231342322212
41
312111434241333231232221131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ij
9．某车间用三种机床（车床、刨床、铣床）加工1B 、2B 两种零件。

机床台数、生产效率（每个工作日完成零件的个数）如下表所示。

问如何合理安排机床加工任务，才能使生产的零件总数最多？
各种机床的台数及生产效率
9．设)2,1;3,2,1(==j i x ij 表示第i 类型机床每日生产第j 种零件的台数，则线性规划模型为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧==≥≤+≤+≤++++++=2
,1;3,2,1,0244372330554030max 323122212111323122211211j i x x x x x x x x x x x x x z ij
10．生产计划问题。

某工厂拥有A 、B 、C 三种类型的设备并生产四种产品。

每件产品在生产过程中需要占用的设备机时数，每件产品可获得的利润数与三种设备每周可利用的小时数见下表。

注：加工时间单位（小时/件）
要求制订使总利润最大的产品生产计划。

10．设4321,,,x x x x 分别表示四种产品的数量，则线性规划模型为：
432118.434.830.724.5max x x x x z +++=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+++≤+++≤+++且为整数
,0,,,50005.335.180005.3520004.25.1432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x
11．原料配比问题。

设某厂从6种化工原料中混合配制某种工业材料，要求配置成的每份工业材料内含成分A 不少于9单位，成分B 不少于15单位。

已知有关数据如右表。

问应如何选配原材料，才能既满足工业材料对成分A 、B 的质量要求，又使每份工业材料的配制成本最小。

11．设需要第i 种化工原料i x 公斤，6,,2,1 =i ，
则线性规划模型为：
6
54321192227313238min x x x x x x z +++++=⎪⎩
⎪
⎨⎧=≥≥+++++≥+++++6,,2,1,015233492224654321654321 i x x x x x x x x x x x x x i
12．某化工厂生产1A ，2A ，3A ，4A 四种化工产品，每种产品生产1吨消耗的工时（小时）、能源（吨标准煤）和获得的利润（万元）如右表所示。

已知该厂明年的工时限额为18480小时，能耗限额为100吨标准煤，欲使该厂明年的总利润最高，请确定各种产品的生产数量，试建立数学模型。

12．设生产i A 种化工产品i x 吨，4,3,2,1=i ，则线性规划模型为：
4321852max x x x x z +++=
⎪⎩
⎪
⎨⎧=≥≤+++≤+++4,3,2,1,01001.05.03.02.0184807538025010043214321i x x x x x x x x x i 13．某厂生产A 、B 两种产品，生产A
产品1千克，需用煤9吨，电力4000千瓦小时，劳动量4人日；生产B 产品1千克，
需用煤5吨，电力5000千瓦小时，劳动量
10人日。

现该厂有煤350吨，电力20万千
瓦小时，劳动量180人日，A 产品每千克可
获利润1000元，B 产品每千克可获利润1500元。

问应如何安排生产，才能使该厂所获利润最大？
设生产A 产品x 千克，生产B 产品y 千克，则线性规划模型为：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
≥≥≤+≤+≤++=0,0180104200000
500040003505915001000max y x y x y x y x y x z 14．设备的最优配备问题。

某大队要购置拖拉机，可供选择的拖拉机有四种型号：A 、
B 、
C 、
D 。

该大队每年要用拖拉机干的农活分为三个阶段，其任务为春种5×106平方米，夏管2×106平方米，秋收7×106平方米。

各种拖拉机每台的投资和在各个阶段能干完的农
问应购买哪几种拖拉机各多少台，才能既干完农活，又使投资最省，试建立数学模型。

14．设购买拖拉机D C B A ,,,分别为4321,,,x x x x 台，则线性规划模型为：
43215200440045005000min x x x x z +++=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥⨯≤⨯+⨯+⨯+⨯⨯≤⨯+⨯+⨯+⨯⨯≤⨯+⨯+⨯+⨯0,,,1071065010630106401062010
2102701014010210102601051046010480104401045043216
43332313643332313643332313x x x x x x x x x x x x x x x x 15．设有两个电厂，发电能力分别为1W ，2W （千瓦小时），每千瓦小时电的成本比为2：3，它们向需电量为Q 千瓦小时的钢厂供电（21W W Q +≤），问如何用电可使电费最省？试建立数学模型。

15．设两个电厂分别发电21,x x 千瓦小时，则线性规划模型为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤≤=++=0
,32min 2122112121x x W x W x Q x x x x z
16．用长度为500厘米的条材，分别截成长度为98厘米与78厘米的两种毛坯，要求截
出长98厘米的毛坯共1000根，78厘米的毛坯共2000根。

问如何截剪，才能使所用的原材料最少，试建立数学模型。

16．考虑以下几个方案：
设方案)6,,2,1( =i i 用料i x 根，则线性规划模型为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=≥=++++=+++++++++=6,,2,1,02000653210005423321210307050min 6532154321654321 j x x x x x x x x x x x x x x x x x z j
17．某商店拟制订某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件
为宜，以后每月初进货一次。

各月份该商品买进、售出
单价如右表。

若每件每月的库存费为0.5元，问每个月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多，试建立数学模型。

17．设i x 是第6+i 个月的进货件数，i y 是第6+i 个月的销货件数（6,,2,1 =i ），则线性规划模型为：
)
300(5.05.0)300(5.05.0)300(5.05.0)300(5.05.0)
300(5.05.0)300(5.05.05.232427252628252528262729max 655443322115443322114332211322112111654321654321x y x y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x x y x y x x y x x x x x x x x y y y y y y z +-+-+-+-+-+⨯⨯-+-+-+-+-+⨯⨯-+-+-+-+⨯⨯-+-+-+⨯⨯-+-+⨯⨯-+⨯⨯-------+++++=s.t.15003001≤+x
1500300211≤+-+x y x
150030032211≤+-+-+x y x y x
15003004332211≤+-+-+-+x y x y x y x
1500300544332211≤+-+-+-+-+x y x y x y x y x
150030065544332211≤+-+-+-+-+-+x y x y x y x y x y x 030011≥-+y x
03002211≥-+-+y x y x
0300332211≥-+-+-+y x y x y x
030044332211≥-+-+-+-+y x y x y x y x
03005544332211≥-+-+-+-+-+y x y x y x y x y x 0665544332211≥-+-+-+-+-+-y x y x y x y x y x y x 6,,2,1,0,0 =≥≥i y x i i
18．某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间，生产A 、B 、C 、D 、E 、F 六种产品，根据车床性能和以前的生产情况，得知生产单位产品所需车间的工作小时数、每个车间每月工作小
问各种产品每月应该生产多少才能使这个工厂每月生产总值达到最大。

18．设654321,,,,,x x x x x x 分别表示该厂生产F E D C B A ,,,,,产品的数量，则线性规划模型为：
⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨
⎧=≥≤+≤+≤+≤++++++++++=6,,2,1,090008.003.010005.002.070005.002.085003.003.003.001.001.001.060.064.072.032.028.040.0max 635241654321654321 j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z j 19．某工厂生产A 、B 两种产品，已知制造产品A 一百桶需要原料P 、Q 、R 分别5公
斤、300公斤、12公斤，可得利润8000元。

制造产品B 一百桶需要原料P 、Q 、R 分别3公斤、80公斤、4公斤，可得利润3000元。

该厂现有原料P —500公斤，Q —20000公斤，R —900公斤。

问在现有条件下，生产A 、B 各多少，才能使该厂的利润最大。

19．设21,x x 分别表示B A ,两种产品的产量，则线性规划模型为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≥≥≤+≤+≤++=0,09004122000803005003530008000max 2121212121x x x x x x x x x x z
20．某工厂的车工分A 、B 两个等级，各级车工
每天的加工能力、产品合格率及日工资如右表。

工厂每天加工配件2400个，每出一个废品，工厂损失2元。

现有A 级车工8人，B 级车工12人，而且工厂至少安排6名B 级车工。

试安排车工生产，使工厂每天支出的费用最少。

20．设21,x x 分别表示B A ,两个等级的人数，则线性规划模型为：
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧≥≥≤≤≤≥++=-⨯+-⨯++=0,0812624001602402.520)995.01(1602)97.01(24026.36.5min 211221212121x x x x x x x x x x x x z
21．运输问题：设有三个工厂A 、B 、C 同时需要某种原料，需要量分别是17万吨、18万吨、15万吨。

现两厂X 、Y 分别有该原料23万吨、27万吨，每万吨运费如右表（单位：元）。

试问应如何调运，才能使总运费最少。

21．设)3,2,1;2,1(==j i x ij 分别表示从Y X ,两厂运往C B A ,,的数量，则线性规划模型为：
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧==≥=++=++=+=+=++++++=3
,2,1;2,1,0272315181716011060706050min 232221131211231322122111232221131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ij
22．某商店有100万元资金准备经营A 、B 、C 三种商品，其中商品A 有两种型号
21,A A ，商品B 也有两种型号21,B B ，每种商品的利润率为：
（1）A 或B 的资金各自都不能超过总资金的50%；
（2）C 的资金不能少于B 的资金的25%； （3）2A 的资金不能超过A 的资金的60%。

试建立使总利润最大经营方案的数学模型。

22．设322211211,,,,x x x x x 分别投资于1A ，2A ，1B ，2B ，C 的资金数（万元），则线性规划模型为：
3222112115.45.74.63.103.7max x x x x x z ++++=
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥⨯+≤⨯+≥≤+≤+0
,,,,%
60%25)(505032*********
11122221322211211x x x x x x x x x x x x x x x
设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员。

列出这个问题的线性规划模型。

23．设)6,,2,1( =i x i 表示i x 名司机和乘务人员第i 班次开始上班，由题意，有
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=6
,,2,1,0302050607060min 655443322116654321 i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z i
24．某厂生产三种产品I ，II ，III 。

每种产品要经过B A ,两道工序加工，设该厂有两种规格的设备能完成A 工序，它们以21,A A 表示；有三种规格的设备能完成B 工序，它们以321,,B B B 表示。

产品I 可在B A ,任何一种规格设备上加工。

产品II 可在任何规格的A 设备
上加工，但完成B 工序时，只能在1B 设备上加工；产品III 只能在2A 与2B 设备上加工。

已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。

24．对产品I ，设以21,A A 完成A 工序的产品分别为21,x x 件，转入B 工序时，以321,,B B B 完成B 工序的产品分别为543,,x x x 件；对产品II ，设以21,A A 完成A 工序的产品分别为76,x x 件，
转入B 工序时，以1B 完成B 工序的产品分别为8x 件；对产品III ，设以2A 完成A 工序的产品分别为9x 件，转入B 工序时，以2B 完成B 工序的产品分别为9x 件，其数学模型为：
59483972619762174000200)114(7000783)86(4000250
)1297(10000321)105(6000300)50.080.2()()35.000.2()()25.025.1(max x x x x x x x x x x x x x x x z ⨯-+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-
⨯-++⨯-++⨯-=
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪⎨
⎧=≥=+++=+≤≤+≤+≤++≤+9,,2,1,0400077000
11440008610000
129760001058765432159483972
61 i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i 最优解为
.
324,500,500,
0,571,859,0,230,1200*9
*8*7*6*5*4*3*2*1=========x x x x x x x x x
最优值为1147元。

25．某工厂生产甲、乙两种产品，第一季度的最大需求量和单位产品利润以及每月的库存成本如表所示：
生产这两种产品都必须经过两道工序，分别使用B A ,两类机器。

A 类机器有
4台，B 类机器有5台，每台机器每月运转时间为180工时，假定一月和二月B A ,两类机器各有一台检修，三月有一台A 类机器和两台B 类机器检修，A 类机器检修需要100工时，B 类机器检修需要150工时。

生产单位甲产品需A 类机器0.9工时，B 类机器1.2工时；生产单位乙产品需A 类机器0.5工时，B 类机器0.75工时。

考虑到上述检修计划，每个月各类机器所提品需占面积1.2平方米。

该季度开始时无库存量，计划在本季度结束时，甲、乙两种产品各库存40单位。

该厂应如何安排生产计划，才能使本季度获利最大？列出这个问题的线性规划模型。

25．设ij ij ij s y x ,,分别为第i 种产品在第j 月的生产量、销售量、库存量。

则线性规划模型为：
)(3.0)(2.0)(5.4)(0.3max 22211211232221131211s s s s y y y y y y z +-+-+++++=
s.t.6205.09.02111≤+x x ；75075.02.12111≤+x x ；
6205.09.02212≤+x x ；75075.02.12212≤+x x ；
6205.09.02313≤+x x ；75075.02.12313≤+x x ； 0111111=--s y x ；0212121=--s y x ；
012121211=--+s y x s ；022222221=--+s y x s ；
40131312=-+y x s ；40232322=-+y x s ； 1002.175.02111≤+s s ；1002.175.02212≤+s s
25011≤y ；18021≤y ；54012≤y ；15022≤y ；70013≤y ；70023≤y ；
)3,2,1;2,1(0;0;0==≥≥≥j i s y x ij ij ij
26．南京某市场调查公司受一洗涤剂厂委托，调查消费者对新型洗衣粉的了解与反应。

对不同家庭采用不同调查方式的费用见下表
（1）调查800个家庭；
（2）被调查家庭中，至少有300个是没有孩子的家庭，同时至少有300个是有孩子家庭； （3）至少对500个被调查家庭采用问卷式书面调查，其余家庭可采用口头调查； （4）在有孩子的被调查家庭中，至少有50％的家庭采用问卷式书面调查； （5）在没有孩子的被调查家庭中，至少有60％的家庭采用问卷式书面调查。

请问：该市场调查公司应如何组织调查，既满足厂方要求，又可使得总调查费用最小？ 26．设对有孩子的家庭采用问卷式书面调查的数目为1x ；对有孩子的家庭采用口头调查的数目为2x ；对没有孩子的家庭采用问卷式书面调查的数目为3x ；对没有孩子的家庭采用口头调查的数目为4x 。

则线性规划模型为
⎪
⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪⎪⎨
⎧=≥+≥+≥≥+≥+≥+=++++++=4
,3,2,1,0)(6.0)
(5.030050030080025403050min 4332
1143312143214321i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z i
27．上海某投资公司在今后三年内有四种投资机会：第一种是3年内每年年初投资，年底可获利润20％，并可将本金收回；第二种是在第一年的年初投资，第二年年底可获利润50％，并将本金收回，但该项投资不得超过2000万元；第三种是在第二年的年初投资，第三年年底收回本金，并获利润60％，但该项投资不得超过1500万元；第四种是在第三年的年初投资，于该年年底收回本金，且获利润40％，但该项投资不得超过1000万元，现在该公司准备拿出3000万元资金，问如何制订投资计划，使到第三年年末本利和最大。

27．设ij x 为第i 年投资到第j 种投资方向的资金，4,3,2,1;3,2,1==j i 。

则线性规划模型为
⎪⎪
⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪⎨⎧
==≥≤=--+≤=-+≤=+++=4,3,2,1;3,2,1,010000
2.15.115000
2.1200030004.12.16.1max 3421
123431
23
112321121211343123j i x x x x x x x x x x x x x x x x z ij
28.某工厂生产A ，B ，C 三种产品，每种产品的原料消耗量、机械台时消耗量、资源限量及单位产品利润如下表所示：
又据销售部门预测，三种产品的最大生产量应分别为250、280和120件，否则难以销售。

如何安排这三种产品的生产量，在满足各项要求的条件下，使该厂的利润最大。

建立此问题的线性规划模型。

28．设1x 、2x 和3x 分别表示产品A 、B 和C 的产量，z 表示总利润，则模型为
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎨
⎧≤≤≤≥≥≥≤++≤++++=1202802501002502001000
2.12200045.1121410max 321321321
321321x x x x x x x x x x x x x x x z 29．某工厂想把具有下列成份的几种现成合金混合起来，成为一种含铅30％，锌20％及锡50％的新合金。

目标是确定应当按怎样的比例来混合这些合金，才能以最小的费用生
29．设)5,,2,1( =j x j 为混合成一公斤新合金时所需第j 种合金的用量，z 表示生产费用，则模型为
⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
=≥=++++=++++=++++=++++++++=5,,2,1,05
.04.08.03.07.01.02.01.01.02.02.06.03
.05.01.05.01.03.018.87.59.80.65.8min 5
43215
4321543215432154321 j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z j 30．有A 、B 两种产品，都需要经过前后两道化学反应过程。

每一个单位的产品A 需要
前道过程2小时和后道过程3小时。

每一个单位的产品B 需要前道过程3小时和后道过程4小时。

可供利用的前道过程时间有16小时，后道过程时间有24小时。

每生产一个单位的产品B 的同时，会产生两个单位的副产品C ，且不需要外加任何费用。

副产品C 一部分可以出售赢利，其余的只能加以销毁。

出售产品A 每单位赢利4元，产品B 每单位赢利10元。

副产品C 每售出一单位能赢利3元，但是如果不能售出，那么每单位的销毁费用是2元。

预测表明，最多可售出5个单位的副产品C 。

要求确定使利润达到最大的A 和B 的产量，试建立此问题的线性规划模型。

30．设1x 、2x 和3x 分别表示产品A 、B 和C 的销售量，4x 为副产品C 的销毁量，z 表示总利润，则模型为
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=≥≤+≤+≤=++--++=4
,3,2,1,024
43163250223104max 2
12134324321j x x x x x x x x x x x x x z j
每一把刀具成本0.6元。

用过的刀具送到机修车间研磨，每把需要花费0.2元（考虑内部核算）。

刀具每天用过后，如果立即送去磨，两天后可以磨好送回，供当天的需要。

第五天后，刀具应全换新的。

每期开始时，该车间没有任何刀具。

问这个车间需要多少刀具才能应付需要，而成本又最低？建立此问题的线性规划模型。

31．设)5,,2,1( =j x j 为第j 天使用新的刀具数，j y 为第j 天用过送去研磨的刀具数。

z 为总成本。

则模型为
3
,2,1,0;5,,2,1,01608512085
12012030014516085120..)(2.0)(6.0min 2131213524132132154321=≥=≥+-+-≤+-≤≤=+=+=+==+++++++=j y j x y y y y y y y x y x y x x x t s y y y x x x x x z j j
15000小时，生产A 、B 、C 三种产品每件分别需2，4，3小时。

因更换工艺装备，产品A 在2季度无法生产。

规定当产品不能按期交货时，产品A 、B 每件每迟交一个季度赔偿20元，产品C 赔偿10元；又生产出的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。

问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小（建立数学模型不求解）。

32．设ij x 为第j 季度生产的产品i 的数量，ij s 为第j 季度末库存的产品i 的数量，ij f 为第
j 季度末交货的产品i 的数量，ij r 为第j 季度对产品i 的预订数，4,3,2,1;,,==j C B A i 。

则线性规划模型为
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥==-+=+===≤+++++=∑∑∑∑∑∑∑=======0,,,)
3,2,1()3,2,1(1500)4,3,2,1(150003425)51020(min 1
14141
123213
13
1
323
1
1ij ij ij ij j k j k ik ij ij ik j j ij ij j j j i j ij
j j j j r f s x i r s f x i r x x j x x x s f f f z
33．某厂生产A 、B 两种食品，现有50名熟练工人，已知一名熟练工人可生产10千克
／小时食品A 或6千克／小时食品B 。

据合同预订，该两种食品每周的需求量将急剧上升，见下表。

为此该厂决定到第8周末需培训出50名新的工人，两班生产。

已知一名工人每周工作40小时，一名熟练工人用两周时间可培训出不多于三名新工人（培训期间熟练工人和培训人员均不参加生产）。

熟练工人每周工资360元，新工人培训期间工资每周120元，培训结束参加工作后工资每周240元，生产效率同熟练工人。

在培训的过渡期间，很多熟练工
人愿加班工作，工厂决定安排部分工人每周工作60小时，工资每周540元。

又若预订的食品不能按期交货，每推迟交货一周每千克的赔偿费：食品A 为0.50元，食品B 为0.60元。

在上述各种条件下，工厂应如何作出全面安排，使各项费用的总和为最小（只建立数学模型不求解）。

33．设i i y x ,分别为第i 周内用于生产食品A 和B 的工人数；i z 为第i 周内加班工作的工人数；i w 为从第i 周开始抽出来培训新工人的原来工人数；i n 为从第i 周起开始接受培训的新工人数；1i f 和2i f 分别为第i 周末未能按期交货的食品A 和B 的数量；1i r 和2i r 分别为第i 周内对食品A 和B 的需求量，则线性规划模型为
∑∑∑===-++++=7
1
271181
)]7(240240[)6.05.0(540min k k i i i i i n k f f z z
)7,,2,1(400..1
1
11
==+∑∑==i r f x t s i
t i i i
t t
1160004008
1=∑=i i x
)7,,2,1(2401
2
21 ==+∑∑==i r f y i
t i i i
t t
792002408
1
=∑=i i y
11115.050z w y x +≤++ 221225.050z w w y x +=+++
)83(5.0502
11≤≤++=+++∑-=-i z n w w y x i
i t t i i i i
08=w
507
1
=∑=i i
n
i i w n 3≤
0,,,,,,21≥i i i i i i i f f n w z y x
34．某厂生产甲、乙、丙三种产品。

产品甲依次经A 、B 设备加工，产品乙经A 、C 设备加工，产品丙经C 、B 设备加工。

已知有关数据如下表所示，请为该厂制订一个最优的生
34．用j x 表示第j 种产品的生产数量，z 表示总利润，则线性规划模型为：
3
21321)20
200
10100()5020020200()20
100
20200(
)1045()25100()1550(max x x x x x x z +-+-+--+-+-=
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+
≤+≤+0
,,6020545
10
205020103213
2312
1x x x x x x
x x x 35．某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。

第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。

第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。

第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。

已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作时间分别为42和36小时。

为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作时间为：第一项工作10000小时，第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。

能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800。

试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人，使总的工资支出为最少。

35．设ij x 为用j 种方式完成第i 项工作时招收的工人组数（第一项工作用第一种方式完成时，每个工人组内含技工1人，如用第二种方式完成时，每个组含技工1人、力工2个等），
3,2,1;2,1==i j ，则线性规划模型为：
⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨
⎧==≥≤+++≤+++≥⨯++⨯≥+≥⨯+++++++++=)2,1;3,2,1(080035240030000)36242()365(20000364210000)36242(42)352(80)(100min 32312212322112113231222112113231221232211211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ij
实际招收的技工人数为)(32211211x x x x +++人，力工人数为)352(32312212x x x x +++人。

36．某部门有一批资金用于甲、乙、丙、丁、戊五个工程项目的投资，已知用于各个工
由于某种原因，决定用于项目甲的投资不大于其他各项投资之和；而用于项目乙和戊的投资之和不小于项目丙的投资。

试确定使该部门收益最大的投资分配方案。

36．设54321,,,,x x x x x 分别代表用于项目甲、乙、丙、丁、戊的投资百分数，则线性规划模型为：
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧=≥≥+-≤----=++++++++=)
5,,2,1(000109.005.006.008.010.0max 532543215432154321 j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z j
37．有两个煤场A 和B ，每月进煤分别不少于80吨和100吨。

它们担负供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月煤的需要量分别为55吨、75吨和50吨。

煤场A 离这三个居民区分别为10公里、5公里和6公里。

煤场B 离这三个居民区分别为4公里、8公里和15公里。

问这两个煤场应如何把煤供应到三个居民点，才能使运输的距离最小？ 37．设ij x 表示第i 个煤场运往第j 个居民区的煤量3,2,1;,==j B A i ，则线性规划模型为：
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧
==≥=+=+=+≥++≥+++++++=)
3,2,1;,2,1(0507555100
8015846510min 231322122111232221131211232221131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ij
38．某饲料厂要配制一种鸡饲料，每袋0.5千克，要求其中钙的含量在0.8%~1.2%之间，蛋白质含量至少为24%，粗纤维含量不超过5%。

该饲料厂打算用石灰石（碳酸钙）、谷物和大豆粉来配制，其价格每千克分别为0.03元、0.1元和0.2元，并且已知它们三种成分的
含量如下表所示：
问应如何调配，才能既使饲料符合要求，又能使成本最低？
38．设需要石灰石（碳酸钙）、谷物和大豆粉分别为321,,x x x 千克，则线性规划模型为：
⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨
⎧=≥=++≤+≥+≤++≥++++=)3,2,1(05.0025.008.002.012.05.009.0006
.0002.0001.0380.0004.0002.0001.0380.02.01.003.0min 32132323213213
21j x x x x x x x x x x x x x x x x x z j 39．某工厂准备在电视上做广告，电视台的收费标准为：
时间I ：星期一至星期日18:30到22:30以外的时间每半分钟收费200元； 时间II ：星期一至星期五18:30到22:30热门时间每半分钟收费350元； 时间III ：星期六至星期日18:30到22:30热门时间每半分钟收费500元。

该工厂计划用7200元在电视台做一个月（30天）每天半分钟的广告。

电视台规定：每周在时间II 和时间III 内播出的次数之和不能超过时间I 内播出次数的一半，而工厂希望时间III 内播出的次数不少于4次，也就是平均一周至少有一次。

据估计，在时间I 内收视率为一百万人次，在时间II 和时间III 的收视率分别为时间I 内的3倍和5倍。

问应如何安排播放次数，才能使收视率最高？
39．设j x 表示在时间j 播出的次数，z 表示总利润，则线性规划模型为：
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=≥≥--≤++=++++=)3,2,1(002272000
5003502003053max 3213
213213
21j x x x x x x x x x x x x x z j 40．某人有一笔50万元的资金可用于长期投资，可供选择的投资机会包括购买国库券、购买公司债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等。

不同的投资方式的具体参数见下表。

投资者希望投资组合的平均年限不超过5年，平均的期望收益率不低于13％，风险系数不超过4，收益的增长潜力不低于10％。

问在满足上述要求的前提下投资者该如何选择投资组合，才能使平均年收益率最高：。