数值方法实验报告二

石家庄经济学院
实验报告
(学院)系: 信息工程学院
专业: 软件工程
姓名: ********
班级: 4081090501
学号:
任课教师:
《数值分析》实验报告
姓名学号日期2010-11-9 1-2节
实验室计算机实验中心152 设备编号15
实验题目实验二用拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式求近似解一实验目的
掌握拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式的基本思想，编程实现用拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式求方程的近似解。

二1、求满足插值条件的拉格朗日插值多项式在x=115处的值
Xi 100 121 144
yi 10 11 12
计算公式
P n(x)=∑f(x k)∏(x-x j)/(xk-x j)= ∑l k(x)f(x k)(k=0,1,2…n k!=j)
●算法分析
由于115大于100小于114，因此在x=115处的值大于10小于11由表中对应值可得出y的近似计算公式，便可得到近似值。

●源程序
%LagangeInt.m
clc;
clear;
X=[100 121 144];
Y=[10 11 12];
xi=115;
n=length(X);%degree of polynomial is n-1
%dxNum=xi-x;
L=zeros(size(Y));
for i=1:n
disp(i);
dxNum=xi-X;
dxDen=X(i)-X(1:n);
for k=1:n;
if i==k
disp(k)
dxNum(i)=1;
dxDen(i)=1;
LNum=prod(dxNum(1:n));
LDen=prod(dxDen(1:n));
L(i)=LNum/LDen
end
end
end
yi=sum(Y.*L)
实验结果：
●实验结果讨论和分析
本题使用拉格朗日插值不等式得到的y=10.72275550536420在10到11之间，满足基本要求。

2、用牛顿插值多项式计算f(0.596)的近似值并估计误差
Xi 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05
Yi 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25382
●计算公式
N n(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,…,x n) (x-x0)(x-x1)(x-x(n-1))
f(x,x0)=(f(x)-f(x0))/(x-x0)
f(x,x0,x1)= (f(x,x0)-f(x0,x1))/(x-x1)
f(x,x0,x1)= (f(x,x0,x1,…,x n-1)-f(x0,x1,x2…,x n))/(x- x n)
Rn(x)=f(x,x0,x1,...,xn)∏(x-x j)(j=0,1,2…n)
算法分析
插值的目的是为求f(x)的值，余项中含有f(x)的因素，但事实上无法计算误差，常在
f(xx
0x
1
…x
n
)中用其他节点代替x粗略估计误差。

●源程序
%NewtonInt.m
clc;
clear;
format long;
Xi=[0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05];
Y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25382];
x=0.596;
dx=x-Xi;
n=length(Xi);
yi(1)=Y(1);
D(:,1)=Y(:);
for j=2:n
for i=j:n
D(i,j)=(D(i,j-1)-D(i-1,j-1))/(Xi(i)-Xi(i-j+1));
end
yi(j)=D(j,j)*prod(dx(1:j-1));
end
Pn=sum(yi);
disp(Pn);
●实验结果
●实验结果讨论和分析
0.596在0.55到0.65之间其结果应在0.57815到0.69675之间。

得到结果满足条件。

三本次实验总结
本次实验主要采用拉格朗日插值和牛顿插值来实现求近似解。

由插值多项式的唯一性知，牛顿插值法和拉格朗日插值法得到的插值多项式应当一致，且余项也是一样的。

拉格朗日插值多项式记号紧凑、容易记忆，且∏，∑在计算机上实现方便，因此，程序比牛顿插值简单，但若在拉格朗日插值中改变插值次数，则必须重新计算，而在牛顿插值多项式中增加一个节点，只要在后面添加一项即可。

对于这次实验采用拉格朗日插值法和牛顿插值法求想f(x)的值，主要采用的输入参数0到n，在程序中用到了循环for和选择if等。

本次实验主要收获是：
1、进一步掌握了拉格朗日插值法和牛顿插值法的思想。

在拉格朗日插值中改变插值
次数，则必须重新计算，而在牛顿插值多项式中增加一个节点，只要在后面添加一
项即可。

2、牛顿插值法和拉格朗日插值法得到的插值多项式是一致的。

四教师评语。