辽宁省大连市第五中学高三数学文下学期期末试题含解析

辽宁省大连市第五中学高三数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
取的中点，连接则异面直线与所成角即为，再利用余弦定理求得解.
【详解】取的中点，连接
设则所以
连接因为
所以异面直线与所成角即为
在中
故选【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
2. （5分）（2015?枣庄校级模拟）命题“?x∈R，x3﹣2x+1=0”的否定是（）
A．?x∈R，x3﹣2x+1≠0 B．不存在x∈R，x3﹣2x+1≠0
C．?x∈R，x3﹣2x+1=0 D．?x∈R，x3﹣2x+1≠0
参考答案：
D
【考点】：命题的否定．
【专题】：阅读型．
【分析】：因为特称命题“?x∈R，x3﹣2x+1=0”，它的否定：?x∈R，x3﹣2x+1≠0即可得答案
解：“?x∈R，x3﹣2x+1=0”属于特称命题，它的否定为全称命题，
从而答案为：?x∈R，x3﹣2x+1≠0．
故选D．
【点评】：本题考查了全称命题，和特称命题的否定，属于基础题，应当掌握．
3. 设f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）的奇函数，其导函数为f'（x），且，当x∈
（0，π）时，f'（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式的解集为
（）
A．B．C．
D．
参考答案：
B
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】设g（x）=，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集．【解答】解：设g（x）=，
∴g′（x）=，
∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，
故g（﹣x）===g（x）
∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．
∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上单调递减，
∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．
∵f（）=0，
∴g（）==0，
∵f（x）＜2f（）sinx，
即g（）?sinx＞f（x）；
①当sinx＞0时，即x∈（0，π），g（）＞=g（x）；
所以x∈（，π）；②当sinx＜0时，即x∈（﹣π，0）时，g（）=g（﹣）＜=g（x）；
所以x∈（﹣，0）；
不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为解集为（﹣，0）∪（，π）．
故选：B．
4.
设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：
① 若则②若，，则
③ 若，则④若，则
其中真命题的序号是（）
A. ①④
B. ②③
C.②④
D.①③
参考答案：
答案:D
5. 函数y=ln(1-x)的定义域
为（）
A．（0,1） B.[0,1) C.(0,1]
D.[0,1]
参考答案：
B
略
6. 若函数满足：“对于区间(1,2)上的任意实数，
恒成立”，则称为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是A. B． C．D．
参考答案：
A
略
7. 已知,满足约束条件,若的最小值为,
则（）
A． B． C． D．2
参考答案：
【知识点】简单线性规划．E5
A 解析：先根据约束条件画出可行域，
设z=2x+y，
将最大值转化为y轴上的截距，
当直线z=2x+y经过点B时，z最小，
由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=
故选：A．
【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可．
8. 已知函数f(x)＝x2－cos x，则f(－0.5)，f(0)，f(0.6)的大小关系是()
A．f(0)<f(－0.5)<f(0.6)
B．f(－0.5)<f(0.6)<f(0) C．f(0)<f(0.6)<f(－0.5)
D．f(－0.5)<f(0)<f(0.6)
参考答案：
A
9. 复数的模为()
参考答案：
B
略
10. 将函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）?g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则|x1﹣x2|的最大值为（）
A．πB．2πC．3πD．4π
参考答案：
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，得出结论．
【解答】解：将函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到g（x）
=sin2（x+）+2=sin（2x+）+2的图象，
若g（x1）?g（x2）=9，则g（x1）=g（x2）=3．
∵x1，x2∈[﹣2π，2π]，∴2x+∈[﹣，]，∴2x1+=+2kπ，2x2+=+2nπ，k，n∈Z．
故当2x1+=﹣，2x2+=时，|x1﹣x2|取得最大值为3π，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+
φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，属于中档
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，，且，共线，则向量在方向上的投影为__________．
参考答案：
【分析】
根据向量共线求得；再利用求得结果.
【详解】由与共线得：，解得：
向量在方向上的投影为：
本题正确结果：
【点睛】本题考查向量共线定理、向量在方向上的投影的求解问题，属于基础题.
12. 已知点P（cosθ，sinθ）在直线y=2x上，则sin2θ+cos2θ=．
参考答案：
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由点P（cosθ，sinθ）在直线y=2x上，将P坐标代入直线方程，利用同角三角函数间的基本关系求出tanθ的值，将所求式子利用同角三角函数间的基本关系化简后，把tanθ的值代入即可求出值．
【解答】解：∵点P（cosθ，sinθ）在直线y=2x上，
∴tanθ=2，
∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θ﹣sin2θ
=+=+
==．故答案为：．
13. 过点P（﹣3，1），Q（a，0）的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切，则a的值为．
参考答案：
﹣
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】P（﹣3，1）关于x轴的对称点的坐标为P′（﹣3，﹣1），直线P′Q的方程为y=（x﹣a），利用直线与圆相切，可得方程，即可得出结论．
【解答】解：P（﹣3，1）关于x轴的对称点的坐标为P′（﹣3，﹣1），
直线P′Q的方程为y=（x﹣a），
即x﹣（3+a）y﹣a=0，
圆心（0，0）到直线的距离d==1，∴a=﹣，
故答案为﹣．
14. 函数f(x)＝的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为_____.
参考答案：
略
15. 设函数，给出下列四个命题：①函数为偶函数；②若
其中则③函数在上为单调增函数；
④若，则。

则正确命题的序号是。

参考答案：
①②③④
略
16. 函数f（x）=xe x在点（1，f（1））处的切线的斜率是．
参考答案：
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1得答案．
解答：解：∵f（x）=xe x，
∴f′（x）=e x+xe x，
则f′（1）=2e．
故答案为：2e．
点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查了基本初等函数的导数公式，是基础题．
17. 已知集合A＝，B＝．
⑴当a＝2时，求A B；
⑵求使B A的实数a的取值范围．
参考答案：
解：（1）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）……3分
∴A B＝（4，5）．……5分
（2）∵B＝（2a，a2＋1），……7分
当a＜时，A＝（3a＋1，2），
要使B A，必须，此时a＝－1；……9分
当a＝时，A＝，使B A的a不存在；……10分
当a＞时，A＝（2，3a＋1）
要使B A，必须，此时1≤a≤3．……12分
综上，使B A的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1} ……13分
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，底面ABCD,F为BE的中点. （1）求证：平面ACF；
（2）若CE=1，AB=,求三棱锥E-ACF的体积.
参考答案：
【知识点】空间中的位置关系；体积求法. G1 G4 G5
【答案解析】（1）略；（2）解析：（1）证明如下：连接OF.
由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD中点.
又F为BE 中点，所以.
又平面ACF, 平面ACF,
所以平面ACF. -------------6分
（2）因为在中，的中点，CE=1，BC=
所以
又因为底面ABCD 是正方形，底面ABCD
所以
所以AB平面BCE
所以三棱锥E-ACF的体积-----12分
【思路点拨】（1）根据线面平行的判定定理，需要在平面ACF中找到直线与直线DE平行，
为此连接OF即可；（2）等体积转化
.
19. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．
（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．
①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，
解得，所以；
②当时，得a+（1﹣2a）＜3，
解得a＞﹣2，所以；
③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，
解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．
（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，
所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．20. （本小题满分10分）已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (Ⅰ)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(Ⅱ)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
参考答案：
y<0，所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．
21. 已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，﹣6）的距离之比均为．
（1）求曲线C的方程．
（2）设点P（1，﹣2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．
参考答案：
【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用直接法，建立方程，即可求曲线C的方程．
（2）直线与圆的方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线BC的斜率为定值．
【解答】（1）解：曲线C上的任意一点为Q（x，y），
由题意得
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）证明：由题意知，直线PB和直线PC的斜率存在，且互为相反数，P（1，﹣2）
故可设PA：y+2=k（x﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
由
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得，同理，，
所以
故直线BC的斜率为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查轨迹方程，考查直线的斜率为定值的证明，考查学生的计算能力，是中档题．22. （１2分）
已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)
（１）若c=5，求si n∠A的值；
（２）若∠A为钝角，求c的取值范围；
参考答案：
解析：（1），，若c=5，则，
∴，∴si n∠A＝；
（2）若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；。