2020年湖南省高中数学学业水平考试仿真试题(原卷+答案)

（1）当 ＝λ 时，求实数λ和 tanx 的值； （2）设函数 f（x）＝ • ，求 f（x）的最小正周期和单调递减区间． 18．（8 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，平面 PAB⊥平面 ABC，△PAB 是等边三角形，AC⊥BC，且 AC＝BC＝2， O、D 分别是 AB，PB 的中点． （1）求证：PA∥平面 COD； （2）求三棱锥 P﹣ABC 的体积．
2020 年湖南省高中数学学业水平考试仿真试卷
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）
1．（4 分）已知集合 M＝{0，1}，集合 N 满足 M∪N＝{0，1}，则集合 N 共有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（4 分）直线 x+2y+2＝0 与直线 2x+y﹣2＝0 的交点坐标是（ ）
则 N⊆M，
故 N＝∅，{0}，{1}，{0，1}共 4 种可能，
故选：D．
2．（4 分）直线 x+2y+2＝0 与直线 2x+y﹣2＝0 的交点坐标是（ ）
A．（2，﹣2）
B．（﹣2，2）
C．（﹣2，1）
D．（3，﹣4）
【解答】解：根据题意，联立
，
解可得
，
即直线 x+2y+2＝0 与直线 2x+y﹣2＝0 的交点坐标是（2，﹣2）； 故选：A． 3．（4 分）不等式 2x+y﹣3≤0 表示的平面区域（用阴影表示）是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【解答】解：根据指数函数的性质：
当 x＝1 时，f（x）取得最大值，那么 x＝2 取得最小值， 或者 x＝1 时，f（x）取得最小值，那么 x＝2 取得最大值． ∴a+a2＝6． ∵a＞0，a≠1， ∴a＝2． 故选：A．
6．（4 分）在△ABC 中，a＝ b，A＝120°，则 B 的大小为（
A．2
B．3
C．4
D．5
6．（4 分）在△ABC 中，a＝ b，A＝120°，则 B 的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
7．（4 分）一支田径队有男运动员 49出一个容量为 24
的样本，则应从男运动员中抽出的人数为（ ）
A．10
它落在三角形 ABC 内（阴影部分）的概率是（ ）
第 1页（共 10页）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
11．（4 分）不等式 x2﹣5x≤0 的解集是
．
12．（4 分）把二进制数 10011（2）转化为十进制的数为
．
13．（4 分）已知函数 f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则 A，ω的值分别是
（1）某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎叶图中用 m 表示，若甲运动员成绩
的中位数是 33，求 m 的值；
（2）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[20，40]内的概率．
17．（8 分）已知向量 ＝（sinx，1）， ＝（2cosx，3），x∈R．
第 2页（共 10页）
．
14．（4 分）已知函数 f（x）＝4﹣log2x，x∈[2，8]，则 f（x）的值域是
．
15．（4 分）点 P 是直线 x+y﹣2＝0 上的动点，点 Q 是圆 x2+y2＝1 上的动点，则线段 PQ 长的最小值为
．
三、解答题（共 5 小题，满分 40 分）
16．（6 分）如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛 10 场得分可用茎叶图表示如图：
A．30°
B．45°
C．60°
） D．90°
【解答】解：∵a＝ b，A＝120°，
∴由正弦定理
，可得：sinB＝ ，
又∵B∈（0°，60°）， ∴B＝30°．
A．
B．
C．
D．
【解答】解：画出不等式 2x+y﹣3≤0 对应的函数 2x+y﹣3＝0 的图象，
取点（0，0），把该点的坐标代入不等式 2x+y﹣3≤0 成立，说明不等式 2x+y﹣3≤0 示的平面区域与点（0，0）同
侧，
所以不等式 2x+y﹣3≤0 表示的平面区域在直线 2x+y﹣3＝0 的右下方，并含直线．
故选：B．
4．（4 分）已知 cosα＝﹣ ，α是第三象限的角，则 sinα＝（ ）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
第 4页（共 10页）
【解答】解：∵cosα＝﹣ ，α是第三象限的角，则 sinα＝﹣
＝﹣ ，
故选：C．
5．（4 分）已知函数 f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为 6，则 a＝（ ）
19．（8 分）已知函数 f（x）＝2+ 的图象经过点（2，3），a 为常数． （1）求 a 的值和函数 f（x）的定义域； （2）用函数单调性定义证明 f（x）在（a，+∞）上是减函数． 20．（10 分）已知数列{an}的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，且 an2+an＝2Sn，n∈N*． （1）求 a1 及 an； （2）求满足 Sn＞210 时 n 的最小值； （3）令 bn＝ ，证明：对一切正整数 n，都有 + + +…+ ＜ ．
第 3页（共 10页）
2020 年湖南省高中数学学业水平考试仿真试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）
1．（4 分）已知集合 M＝{0，1}，集合 N 满足 M∪N＝{0，1}，则集合 N 共有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：M＝{0，1}，集合 N 满足 M∪N＝{0，1}，
B．12
C．14
D．16
8．（4 分）已知 tanα＝2，则 tan（α﹣ ）＝（ ）
A．
B．
C．
D．﹣3
9．（4 分）圆 x2+y2＝1 与圆（x+1）2+（y+4）2＝16 的位置关系是（ ）
A．相外切
B．相内切
C．相交
D．相离
10．（4 分）如图，圆 O 内有一个内接三角形 ABC，且直径 AB＝2，∠ABC＝45°，在圆 O 内随机撒一粒黄豆，则
A．（2，﹣2）
B．（﹣2，2）
C．（﹣2，1）
D．（3，﹣4）
3．（4 分）不等式 2x+y﹣3≤0 表示的平面区域（用阴影表示）是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（4 分）已知 cosα＝﹣ ，α是第三象限的角，则 sinα＝（ ）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
5．（4 分）已知函数 f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为 6，则 a＝（ ）