安徽省滁州市民办高中高二数学下学期第一次联考试题理(1)(2021年整理)

安徽省滁州市民办高中2017-2018学年高二数学下学期第一次联考试题理(1)
编辑整理：
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滁州市民办高中2017—2018学年下学期第一次联合考试
高二理科数学
注意事项：
1. 本卷分第I 卷（选择题）和第II 卷(非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

2. 答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上.
3. 请将答案正确填写在答题卷上，写在其它地方无效。

4. 本次考题主要范围：必修2、选修2—1等
第I 卷（选择题)
一、选择题
1.一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为（ ）
A 。

B 。

C. D 。

2.“
”是“直线
与
平行”的（ )
A.充分不必要条件 B 。

必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3。

已知直三棱柱111ABC A B C -中， 120ABC ∠=, 2AB =， 11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
A.
32 B. 155
C 。

105 D. 33 4.已知O 为坐标原点, 1F ， 2F 是双曲线C ： 22
221x y a b
-=（0a >, 0b >)的左、右焦点,双曲线
C 上一点P 满足12PF PF ⊥,且2122PF PF a ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）
A. 5 B 。

2 C 。

3 D 。

2
5.如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形, 12AA =,
011120A AB A AD ∠=∠=，则线段1AC 的长为（ )
A 。

1 B. 2 C. 3 D. 2
6.已知直线y kx m =+与抛物线28y x =相交于,A B 两点,点()2,2M 是线段AB 的中点， O 为原点，则AOB ∆的面积为( ）
A 。

43 B. 313 C. 14 D 。

23 7.已知点是抛物线
的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点,在抛物线上且满足
，当取最大值时，点恰好在以
为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为 （ )
A 。

B.
C 。

D.
8.在平面直角坐标系xOy 中，已知((2,0,2,A B P -为函数21y x =+图象上一点，若
2PB PA =,则cos APB ∠= （ ）
A. 13 B 。

33 C 。

34 D 。

3
5
9。

设P 为双曲线22
115
y x -=右支上一点， M N 、分别是圆()2
244x y ++=和()2241x y -+=上的
点，设PM PN -的最大值和最小值分别为m n 、，则m n -=( ) A 。

4 B 。

5 C 。

6 D 。

7
10. 如图，12,A A 为椭圆22
195
x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点，,,S Q T 为椭圆上不同
于12,A A 的三点，直线12,Q ,,QA A OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22
OS OT +=（ ）
A ．5
B ．35+
C ．9
D ．14
11。

如图,点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面上运动，且P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）
A. B. C.
D 。

12.过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为
，则
的外接圆的方程为（ ）
A.
B.
C. D.
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13.正方形123APP P 的边长为4，点,B C 分别是边12P P , 23P P 的中点，沿,,AB BC CA 折成一个三棱锥 P ABC -（使 123,,P P P 重合于P ）,则三棱锥P ABC -的外接球表面积为______．
14。

如图,在正三棱柱111A B C ABC -中， 4AB =， 143A A =， D , F 分别是棱AB , 1AA 的中点， E 为棱AC 上的动点，则DEF 周长的最小值为__________．
15。

已知椭圆22221x y a a b
+=>>（ｂ０）3
A 为左顶点，点,M N 在椭圆C 上，其中M
在第一象限, M 与右焦点的连线与x 轴垂直,且4?10AM AN k k +=,则直线MN 的方程为_______。

16.已知,m n 是两条不重合的直线,,αβγ是三个两两不重合的平面.给出下列四个命题： (1)若,m m αβ⊥⊥，则//αβ （2)若,αγβγ⊥⊥，则//αβ (3）若,,//m n m n αβ⊂⊂,则//αβ
（4)若,m n 是异面直线, ,//,,//m m n n αββα⊂⊂，则//αβ 其中是真命题的是_______ .(填上正确命题的序号) 三、解答题
17。

如图，四棱锥P ABCD -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直,底面ABCD 是
60ABC ∠=的菱形， M 为棱PC 上的动点,且
[]()01PM
PC
λλ=∈，. (I)求证: PBC ∆为直角三角形；
（II ）试确定λ的值，使得二面角P AD M --的平面角余弦值为
25
5。

18。

如图，边长为4的正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 上的点，将DCF AED ∆∆和折起，使,A C 两点重合于P . （1）求证：PD EF ⊥；
（2)当1
4
BE BF BC ==时，
求四棱锥P BEDF -的体积.
19。

如图，设椭圆的中心为原点,长轴在轴上,上顶点为，左，右焦点分别为，线段
的中点分别为
，且
是面积为4的直角三角形.
(1）求该椭圆的离心率和标准方程； （2）过做直线交椭圆于
两点，使
，求直线的方程.
20。

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为63，且过点
()0,2-.
（1)求C 的方程；
（2）若动点P 在直线:22l x =-上,过P 作直线交椭圆C 于,M N 两点，使得PM PN =,再过P 作直线l MN '⊥，证明：直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标。

21.如图，正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2， D 是BC 的中点． （I ）求证： AD ⊥平面11B BCC ． （II ）求证： 1A B 平面1ADC ． （III)求三棱锥11C ADB -的体积．
22. 已知O 为坐标原点,直线l 的方程为2y x =+，点P 是抛物线24y x =上到直线l 距离最小的点,点A 是抛物线上异于点P 的点，直线AP 与直线l 交于点Q ，过点Q 与x 轴平行的直线与抛物线24y x =交于点B . （1）求点P 的坐标;
（2）求证：直线AB 恒过定点M ；
（3)在（2）的条件下过M 向x 轴做垂线，垂足为N ，求OANB S 四边形的最小值.
参考答案
一、选择题
1.B
2.A3。

C4.D5。

D6。

D7。

A8.C9.C10。

A11.B12.D 二、填空题 1
3.24π
14。

4
15。

6
y x =
16.（1）（4） 三、解答题 17。

（I)取AD 中点O ，连结,,OP OC AC ，依题意可知,PAD ACD ∆∆均为正三角形,所以
,OC AD OP AD ⊥⊥,
又OC OP O OC ⋂=⊂，平面,POC OP ⊂平面POC , 所以AD ⊥平面POC ,
又PC ⊂平面POC ,所以AD PC ⊥,
因为//BC AD ，所以BC PC ⊥，即90PCB ∠=, 从而PBC ∆为直角三角形。

说明：利用 PC ⊥平面AMD 证明正确,同样满分!
(II)[向量法]由(I ）可知PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ⋂平面ABCD AD =， PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD 。

以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则
(()())003,010,010,3,00P A D C
-，，，，，，，(
3,03PC =
由(
3,0,3PM PC λλ==-可得点M 的坐标
)
333λλ
所以))
333,3,133AM DM λλλλ=
=
--，，,
设平面MAD 的法向量为(),,n x y z =，则0{
n AM n DM ⋅=⋅=,
即))3330 3330x y z x y z λλλλ++
=-+=解得1{
x z y λλ
-==， 令z λ=，得()1,0,n λλ=-， 显然平面PAD 的一个法向量为(
)
3,00OC =
，,
依题意()
()2
23125
cos(,)|13
n OC n OC n OC
λλλ-⋅==
=
+-⋅， 解得1
3
λ=或1λ=-（舍去）,
所以,当1
3
λ=时，二面角P AD M --25
18.
证明:（1）折起前,AD AE CD CF ⊥⊥， 折起后，,PD PE PD PF ⊥⊥。

（2分） ∵PE PF P =,∴PD ⊥平面PEF ,（4分) ∵EF ⊂平面PEF ，∴PD EF ⊥。

（6分)
（2）当1
4
BE BF BC ==时,由(1)可得PD ⊥平面PEF 。

此时,2EF =，11
,34622
BEF ADE CDF S S S ∆∆∆===⨯⨯=.
PEF ∆的高为
2
22
222
123432222EF EF h PF CF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∴1113417
22222PEF S EF h ∆=
⋅=⨯⨯= ∴111721743
3
23
D PEF PEF V S DP -∆=⋅=⨯
⨯= ∵17
166622DEF ABCD BEF ADE CDF S S S S S ∆∆∆∆=---=---=
设点P 到平面BEDF 的距离为h ，则17
36
P DEF DEF V S h h -∆=⋅=
∵D PEF P DEF V V --=，∴
217736h =解得417
7
h = ∴四棱锥P BEDF -的体积
11714171617
()3322P BEDF DEF BEF V S S h -∆∆⎛⎫=+⋅=+⋅=
⎪⎝⎭ 19。

(1)设所求椭圆的标准方程为，右焦点为.
因是直角三角形，又,故
为直角,因此
，得。

又得，故,所以离心率。

在
中，
，故
由题设条件，得，从而。

因此所求椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，由题意知直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为
,
代入椭圆方程得，
设
，则
,
又
，所以
由,得,即
，解得
，
所以直线方程分别为
和。

20 （1）由题意知2b =，
又椭圆的离心率为6
3,所以2
2
2
2
22623c a b a a -===⎝⎭
, 所以212a =，
所以椭圆C 的方程为22
1124
x y +=。

（2）因为直线l 的方程为22x =-,设()
00232322,,P y y ⎛-∈ ⎝⎭
,
①当00y ≠时，设()()1122,,,M x y N x y ,显然12x x ≠，
由
22
11
22
22
1
124
{
1
124
x y
x y
+=
+=
可得
2222
21210
124
x x y y
--
+=，即1212
1212
1
3
y y x x
x x y y
-+
=-⋅
-+
,
又PM PN
=，所以P为线段MN的中点，
故直线MN
的斜率为
00
1
33
y y
-
-⋅=
又l MN
'⊥，
所以直线l'
的方程为
y y x
-=+
即
3
y x
⎛⎫
=+⎪⎪
⎭
，显然l'
恒过定点,0
3
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
,
②当
y=时，l'
过点
3
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
，
综上可得直线l'
过定点
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
.
21.
(I）证明：
∵在正ABC中，D是BC边中点，∴AD BC
⊥，
∵在正三棱柱中，
1
C C⊥平面ABC, AD⊂平面ABC,
∴
1
AD C C
⊥，
∵
1
BC C C C
⋂=点，BC，
1
C C⊂平面
11
BB C C,
∴AD⊥平面
11
BB C C．
（II）连接
1
A C、
1
AC，设
11
A C AC O
⋂=点,连接OD，
∵在
1
A CB中，O、D分别是
1
A C、BC中点，∴
1
1
2
OD A B，
∵OD⊂平面
1
ADC，
1
A B⊄平面
1
ADC，
∴1A B 平面1ADC ，
（III ）1
1
1
1
1121113
3223
3243
C ADB A C DB C DB AD
V V S
--⨯==⨯=⨯⨯⨯⨯=．
22. （1）设点P 的坐标为()00,x y ，则2
04y x = 所以，点P 到直线l 的距离2
00022
4
22
2
2
y y x y d -+-+=
=
≥
. 当且仅当02y =时等号成立，此时P 点坐标为()1,2. （2)设点A 的坐标为211,4y y ⎛⎫
⎪⎝⎭
,显然12y ≠。

当12y =-， A 点坐标为()1,2-，直线AP 的方程为1x =；可得9,34B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，直线:46AB y x =-；
当12y ≠-时，直线AP 的方程为， ()12
1
2
2114
y y x y --=
-- 化简得()114220x y y y -++=；
综上，直线AP 的方程为()114220x y y y -++=
与直线l 的方程2y x =+联立，可得点Q 的纵坐标为1128
2
Q y y y -=
- 因为， BQ x 轴，所以B 点的坐标为1128
2
B y y y -=-。

因此， B 点的坐标为()()2112
11428,22y y y y ⎛⎫
-- ⎪ ⎪--⎝⎭
当
11128
2y y y -≠--,即218y ≠时，直线AB 的斜率()()11112221
112
1282
488442y y y y k y y y y --
--==---
-. 所以直线AB 的方程为2111214884y y y y x y ⎛⎫
--=- ⎪-⎝⎭
，
整理得()()()21124280y y x y x y ---+-= 当2,2x y ==时，上式对任意1y 恒成立，
此时，直线AB 恒过定点()2,2M ,也在46y x =-上， 当218y =时，直线AB 的方程为2x =，仍过定点()2,2M ， 故符合题意的直线AB 恒过定点()2,2M 。

（3）()2,2M 所以()2,0N ONA ONB B A OANB S S S y y ∆∆=+=-四边形
设AB 的方程为x ty m =+ 则22
{
4404x ty m
y ty m y x
=+⇒--== 4A B y y t ⇒+=， 4A B y y m =-, 22t m =+ ONA ONB B A OANB S S S y y ∆∆=+=-四边形
4=≥。