高中数学(人教版A版必修四)配套单元检测：第2章：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1

§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
课时目标 1.理解并掌握平面向量基本定理.2.掌握向量之间的夹角与垂直．
1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a ，__________实数λ1，λ2，使a ＝____________________________.
(2)基底：把________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 2.
两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__________a 和b ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角．
①范围：向量a 与b 的夹角的范围是______________． ②当θ＝0°时，a 与b ________. ③当θ＝180°时，a 与b ________.
(2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作______________．
一、选择题
1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A ．e 1－e 2，e 2－e 1
B ．2e 1＋e 2，e 1＋1
2
e 2
C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2
D ．e 1＋e 2，e 1－e 2
2．等边△ABC 中，AB →与BC →
的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 3．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③
4．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →
等于( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)b
C ．λa ＋b D.11＋λa ＋λ
1＋λ
b
5．如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( ) ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α中的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ、μ有无数多对； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若实数λ、μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②
6．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝1
5
，连结CF 并
延长交AB 于E ，则AE
EB
等于( )
A.1
B.1
C.1
D.1
二、填空题
7．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________.
8．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)
9．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
＝____________.
10．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →
，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.
三、解答题
11. 如图所示，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →
＝
b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →
.
12. 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，OD →＝2DB →
，DC 和OA
交于点E ，设OA →＝a ，OB →
＝b .
(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →
；
(2)若OE →＝λOA →
，求实数λ的值．
能力提升
13. 如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不
含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →
，则x 的取值范围是________；当x ＝－12
时，y 的取值范围
是____________．
14. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.
1．对基底的理解 (1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
答案
知识梳理
1．(1)不共线 任意 有且只有一对 λ1e 1＋λ2e 2 (2)不共线 所有 2．(1)非零向量 ∠AOB ①[0°，180°] ②同向 ③反向 (2)90° a ⊥b 作业设计
1．D 2.D 3.B
4．D [∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →
)
∴(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→
∴OP →
＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λ
b .]
5．B [由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.]
6．D [设AB →＝a ，AC →
＝b ，AE EB
＝λ.
∵AF FD ＝15
，∴CF →＝CA →＋AF → ＝CA →＋16AD →＝112(AB →＋AC →)－AC →
＝112AB →－1112AC →＝112a －1112b . CE →＝CA →＋AE →
＝CA →
＋λ1＋λAB →
＝λ1＋λAB →－AC → ＝λ1＋λa －b . ∵CF →∥CE →，
∴λ
1＋λ112＝11112.∴λ＝110.]
7．－74m ＋138
n
解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋4y ＝3
－3x －2y ＝2⇒⎩
⎨⎧
x ＝－74y ＝
138
.
8．①②
解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)， ∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底． 9.23b ＋13
c 解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋1
3
c .
10.43 解析
设AB →＝a ，AD →
＝b ， 则AE →＝1
2a ＋b ，
AF →
＝a ＋12
b ，
又∵AC →
＝a ＋b ，
∴AC →＝23(AE →＋AF →
)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43
.
11．解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →
＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；
AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →
＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13
b ；
AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →
＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23
b .
12．解 (1)由题意，A 是BC 的中点，且OD →＝23
OB →
，
由平行四边形法则，OB →＋OC →＝2OA →
. ∴OC →＝2OA →－OB →
＝2a －b ，
DC →＝OC →－OD →
＝(2a －b )－23b ＝2a －53
b .
(2)EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →
＝2a －53
b ，
∴2－λ2＝153
，∴λ＝45
.
13．(－∞，0) ⎝⎛⎭⎫
12，32 解析 由题意得： OP →＝a ·OM →＋b ·OB →(a ，b ∈R ＋，0<b <1)
＝a ·λAB →＋b ·OB →
＝aλ(OB →－OA →)＋b ·OB →
＝－aλ·OA →＋(aλ＋b )·OB →
(λ>0)． 由－aλ<0，得x ∈(－∞，0)．
又由OP →＝xOA →＋yOB →
，则有0<x ＋y <1，
当x ＝－12时，有0<－1
2＋y <1，
解得y ∈⎝⎛⎭⎫
12，32.
14．解 设AB →＝b ，AC →
＝c ， 则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →＝23
c ，
BN →＝BA →＋AN →＝2
3
c －b .
∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，
∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →
，
又∵AP →＋PB →＝AB →，
∴λAM →－μBN →＝AB →，
由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫2
3c －b ＝b 得 ⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b . 又∵b 与c 不共线，
∴⎩⎨⎧
1
2
λ＋μ＝1，12λ－2
3μ＝0.
解得⎩⎨⎧
λ＝45
，μ＝3
5.
故AP →＝45
AM →
，即AP ∶PM ＝4∶1.。