优化探究高考数学一轮复习 第一章 第二节 命题及其关

【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第一章 第二节 命题及其关
系、充分条件与必要条件课时作业 理 新人教A 版
A 组 考点能力演练
1．命题“若a 2
＋b 2
＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a 2
＋b 2
≠0，虽a ≠0且b ≠0 B ．若a 2
＋b 2
≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2
＋b 2
≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2
＋b 2
≠0
解析：先确定逆命题为“若a ＝0且b ＝0，则a 2
＋b 2
＝0”，再将逆命题否定为“若a ≠0或b ≠0，则a 2
＋b 2
≠0”，故选D.
答案：D
2．“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝1
2，x 2＝20.故选A.
答案：A
3．(2016·沈阳一模)“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：设命题p ：x <0，命题q ：ln(x ＋1)<0，由对数函数的定义域和对数函数的单调性
可知⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1>0，x ＋1<1，
所以－1<x <0，即命题q 为－1<x <0.可知命题q ⇒p ，而p ⇒/ q ．所以p
是q 的必要不充分条件，所以选B.
答案：B
4．设a ，b 为两个非零向量，则“a·b ＝|a·b |”是“a 与b 共线”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：设a，b的夹角为θ.由a·b＝|a·b|得：|a||b|·cos θ＝|a||b|·|cos θ|，|a||b|(cos θ－|cos θ|)＝0，即|a||b|＝0(舍)因为a，b非零，或cos θ≥0，所以由a·b ＝|a·b|⇒/ a与b共线，反过来，当a＝－b时，虽然“a与b共线”，但是“a·b＝|a·b|”不成立，所以“a·b＝|a·b|”是“a与b共线”的既不充分也不必要条件．故选D.
答案：D
5．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]
解析：法一：设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以Q P，因此a≥1，故选A.
法二：令a＝－3，则q：x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B，C，D，选A.
答案：A
6．(2016·成都一诊)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________．解析：找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．答案：若|a|＝|b|，则a＝－b
7．(2015·盐城一模)给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
答案：①③
8．设条件p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；条件q：实数x满足x2＋2x－8>0，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法．由x2－4ax＋3a2<0得
3a <x <a ，由x 2
＋2x －8>0得x <－4或x >2，因为q 是p 的必要不充分条件，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a <0，
a ≤－4，所
以a ≤－4.
答案：(－∞，－4]
9．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2
＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2
≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2
≥4b ，则关于x 的不等式x 2
＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2
＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2
<4b ，为真命题．
(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2
<4b ，则关于x 的不等式x 2
＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．
10．已知(x ＋1)(2－x )≥0的解为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2
－3m －1<0⎝ ⎛⎭⎪⎫m >－23的解为条件q .
(1)若p 是q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围． (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围． 解：(1)设条件p 的解集为集合A ，则A ＝{x |－1≤x ≤2}， 设条件q 的解集为集合B ，则B ＝{x |－2m －1<x <m ＋1}， 若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集
⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋1>2，－2m －1<－1m >－23.
，解得m >1，
(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则B 是A 的真子集⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＋1≤2，
－2m －1≥－1
m >－23
.解得－
2
3
<m ≤0.
B 组 高考题型专练
1．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：
x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )
A ．p 是q 的充分必要条件
B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
解析：由于q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；而p ⇒/ q ，如f (x )＝x 3
在x ＝0处f ′(0)＝0，而x ＝0不是极值点，故选C.
答案：C
2．(2015·高考重庆卷)“x >1”是“log 12
(x ＋2)<0”的( )
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由log 12
(x ＋2)<0，得x ＋2>1，解得x >－1，所以“x >1”是“log 12
(x ＋2)<0”的
充分而不必要条件，故选B.
答案：B
3．(2015·高考安徽卷)设p ：1<x <2，q ：2x
>1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：q ：2x
>1⇔x >0，且(1,2)⊆(0，＋∞)，所以p 是q 的充分不必要条件． 答案：A
4．(2015·高考福建卷)“对任意x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin 2x >0.任意x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x <x ，等价于任意
x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π2
，k <
2x sin 2x .当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，0<2x <π，设t ＝2x ，则0<t <π.设f (t )＝t －sin t ，
则f ′(t )＝1－cos t >0，所以f (t )＝t －sin t 在(0，π)上单调递增，所以f (t )>0，所以t >sin
t >0，即
t
sin t >1，所以k ≤1.所以任意x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，k <2x sin 2x ，等价于k ≤1.因为k ≤1⇒/
k <1，但k ≤1⇐k <1，所以“对任意x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π2
，k sin x cos x <x ”是“k <1”的必要而不充分条件，故选B.
答案：B
5．(2015·高考北京卷)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α
∥β”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案：B。