2021年高三上学期数学第一次段考试卷(文科9.2) 含答案

2021年高三上学期数学第一次段考试卷（文科9.2）含答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选
项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．集合，则（）
A． B． C． D．
2．已知命题p：存在，使，则p是（）
A. 对任意，都有
B. 对任意，都有
C. 存在，使
D. 存在，使
3．是两个非零向量，且，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
4．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则=（）
A．0 B． C．－2 D．
5．设复数满足（是虚数单位），则（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（）
A． B． C． D．
7．在中,角、、的所对边分别为、、,若,则角的值为（）
A．或 B．或 C． D．
8．若,则,则的值为（）
A． B． C． D．
9．在到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为（）A．200 B．100 C．90 D．70
10．已知是首项为的等差数列，为数列的前项和，若，则（）
A． B． C． D．
11．已知函数,若,且对任意的恒成立,则的最大值为（）
A． B． C． D．
12．已知函数的定义域为，对任意，有，且，则不等式的解集为（）
A． B． C D．
二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）
13．一艘客轮自北向南航行，上午8时在灯塔的北偏东位置，且距离灯塔34海里，下午2时在灯塔的东南方向，则这只船航行的速度为海里/小时.
14．数列满足：，且对任意的都有：，则．
15．已知是周期为2的奇函数，当时，，则的值为________.
16．已知函数，，若对于，，使得成立，则实数的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余每小题12分，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）在ABC中，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
18．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调减区间；
（2）已知的三个内角的对边分别为，其中，若锐角满足，且，求的值．
19．（本小题满分12分）．已知等差数列满足
（1）求等差数列的通项公式；
（2）求数列的前项和，及使得取最大值时的值.
20．（本小题满分12分）正项数列的前项和满足:．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为．证明:对于任意的，都有．
21．（本小题满分12分）设函数． （1）讨论函数在定义域上的单调性； （2）若对任意的，总有，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）．已知函数的图象在与轴交点处的切线方程为． （1）求实数的值; （2）若函数()()()()
12212
1
22----+
=x m x m x f x g 的极小值为,求实数的值; （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
丰城中学xx 学年度上学期高三第一次段考数学（文）答案
1—6 CAABBD 7—12 ADBDBD 13． 14． 5050 15． 16．
参考答案
1．C 【解析】
试题分析：因为{}{}{}
{}2|lg 0|1,|9B |33A x x x x B x x x x =>=>=≤==-≤≤，∴，故选C.
考点：1、集合的表示；2、集合的交集. 2．A 【解析】
试题分析：特称命题的否定为全称命题，并将结论加以否定，所以p 是：对任意，都有 考点：全称命题与特称命题 3．A 【解析】
试题分析：因为，所以围成一个等边三角形，即的夹角为，且平分的夹角，即与的夹角为，选A.
考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的夹角． 4．B 【解析】
试题分析：由题意，所以，．故选B ． 考点：向量的共线． 5．B 【解析】
试题分析：由得，则，，故选B. 考点：复数的运算. 6．D 【解析】
试题分析：当时，，故. 考点：复数概念及其运算. 【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.熟练记忆()()()()2
2
12,12,112i i i i i i +=-=-+⋅-=.
7．A 【解析】
试题分析：由余弦定理可得,故或,应选A. 考点：余弦定理及有关知识的运用. 【易错点晴】正弦定理余弦定理是解三角形的重要而有效的工具,也是高考命题的常考考点.
本题的设置其目的是考查余弦定理及三角函数的有关知识的综合运用.解答时先运用余弦定理或其一个变式将题设条件变为,即,注意到,所以解出或,最终确定出所选正确答案为A .本题很容易会出现忽视角的范围而错选答案C 解的错误. 8．D 【解析】
试题分析：223cos 2sin 3(cos sin )sin )4παααααα⎛⎫
=-⇒-=-
⎪⎝⎭
，因为，所
以117
3(cos sin )1sin 2sin 221818
αααα+=
⇒+=⇒=-，选D. 考点：二倍角公式，同角三角函数关系
9．B 【解析】
试题分析：因为在到之间插入个数，使这个数成等差数列，所以根据等差数列前项和公式，这个数的和为，故选B.
考点：等差数列前项和公式. 10．D 【解析】
试题分析：641111
26152(46)3213
S S a d a d d a d =⇒+=+⇒==⇒=
，所以，选D. 考点：等差数列通项 11．B 【解析】
试题分析：由题设可得,令,则.令.则函数的零点就是函数的极值点.设并记极值点为,则,由于03ln 45)9(,044)(2
2
>-=<--=g e e g ,故,而且不难验证当时,,单调递减；当时,,
单调递增,所以2
2)
24
(
2
ln )()(0000000
000min x x x x x x x x x x h x h =--+=
-+=
=,因此,由于且,所
以,故应选B.
考点：导数在研究函数的最值及单调性方面的运用.
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和最值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先将参数从不等式中分离出来,然后构造函数,将问题化为求的最小值问题.最后通过求函数的最小值,并借助分析推证求出.本题的难点在于无法求出导函数的零点,即函数的极值点,具有一定的难度. 12．D 【解析】
试题分析：因当时，
1211221212
()()(())((()))
10,f x f x f x x f x x x x x x -+-+>⇒>--即函数是在上
的增函数，若，则22(log |31|)(1),log |31|11x x
g g x -<∴-<⇒<且,故应选D.
考点：对数函数的图象和性质. 13． 【解析】
试题分析：设上午8时为M, 下午2时为N ，则，即这只船航行的速度为海里/小时. 考点：正弦定理 14．5050 【解析】
试题分析： 令 ，则；
()()()()1001009999983221110099215050
a a a a a a a a a a =-+-+
+-+-+=++
++=
考点：赋值法及递推关系运用． 15． 【解析】
试题分析：311111()112
22222f f f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
-==-+=--=--=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 考点：函数的周期性与奇偶性.
【思路点晴】本题的主要思路就是将要求的中的转换到区间内，因为已知条件是当时，.由于是周期为的周期函数，故也是周期为的周期函数，所以就有，这样就变成了的形式，在根据是奇函数，有即可就得结果. 16． 【解析】
试题分析：因为（当且仅当取等号）,且,所以.所以,即在区间上恒成立,也即且,而,所以且,解之得,故答案为.
考点：函数的最值与基本不等式的运用． 17．（Ⅰ）；（Ⅱ）1. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据余弦定理求出cosB 的值，进而根据∠B 的取值范围求∠B 的大小； （Ⅱ）由辅助角公式对进行化简变形，进而根据∠A 的取值范围求其最大值. 试题解析：（Ⅰ）由余弦定理及题设得. 又因为，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知.
3π
cos cos()4
A C A A +=+-
π
cos()4
A A A A A A ==+=-. 因为，所以当时，取得最大值.
【考点】三角函数、余弦定理
【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆或内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思
想、等价转化思想及分类讨论思想． 18．（1），；（2）． 【解析】 试题分析：（1）首先根据二倍角公式把函数化为，再根据三角函数的性质求解最小正周期和单调递减区间；（2）由已知条件可得．知道三角形一条边及其对角利用正弦定理解题．根据正弦定理得：，再根据余弦定理求解即可． 试题解析：
（1）(
)2
2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x π⎛⎫
=⋅+-=+=+
⎪⎝
⎭
因此的最小正周期，因为 所以，的单调减区间为 （2
）由2sin 226263A A f πππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=-+ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由正弦定理可得，
则，由余弦定理可知：
()2
2
22221
cos =222
b c bc a b c a A bc bc +--+-==，
整理得：
考点：1.二倍角公式；2.三角函数的性质；3.正弦定理和余弦定理． 19．（1） （2） ，时取最大值 【解析】 试题分析：（1）由题意，可得公差d ，带入可得通项公式
（2）利用等差数列的求和公式，得前n 项和，n=5时，Sn 最大。

试题解析：（1）设等差数列的公差为，，解得，∴通项公式 （2）由（1）得前n 项和25)5(102
)(221+--=-=⋅+=
n n n n
a a S n n ，∴当n=5时，取
得最大值25.
考点：数列的通项与求和。

20．（1）；（2）证明见解析． 【解析】 试题分析：（1）对因式分解得，，再根据公式求得；（2）将代入得，利用裂项求和法求得
()()2211115116464
12n T n n ⎡⎤=+--<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦． 试题解析： （1）由，得．
由于是正项数列，所以． 当时，
当22
1(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=．
综上可知，数列的通项公式． （2）证明：由于． 所以．
222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤
=
-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦
(2222)
1111115
1(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=
+--<+=⎢⎥++⎣⎦
． 考点：1．数列求通项；2．裂项求和法． 21．（1）当时，函数在定义域上单调递增，当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；（2）. 【解析】 试题分析：（1）先求出，分三种情况，，，分别令得增区间，得减区间；（2）在区间上， 等
价于2
1ln 2
1ln 2
2232x x x m x x x
+++-<-=--
，只需求出的最小值即可. 试题解析：（1）函数的定义域为()()()2
231
10,,23x m x f x x m x x
+-+'+∞=+-+=．
令，则．
①当时，，所以，从而；
②当时，因为，所以()2
2
252312312102x m x x x x x ⎛
⎫
+-+>+⨯
-+=++> ⎪⎝⎭
，所以； ③当时，，方程有两个不相等的实数根（不妨设）．因为
12121
323220,102
x x m x x +=->-⨯
=>=>，所以， 所以当时，，从而； 当或时，，从而．
综上可知，当时，函数在定义域上单调递增；当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，其中
12x x ==
（
2
）
，
即
．
在
区
间
上
，
()2
21ln 2
11ln 2223ln 22322x x x x m x x m x x x
++++-+<-⇔-<-=--． 令，则()()222
1ln 212ln 2
22x x x g x x x
-+-++'=--=． 令，则，
所以函数在区间上单调递减．因为， 所以存在唯一的，使得，且时，，即；
当时，，即．
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此在上，． 因为()()15ln 22ln 2
12,2122222
g g +=-
-=-=--=--
， 所以，即．
故当时，．因此．
故实数的取值范围是．
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数最值及不等式恒成立问题. 【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数最值及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题（2）是利用方法①求得函数的最小值后，进而求出的范围的. 22．（1）2；（2）见解析；（3） 【解析】 试题分析：（1）由题已知函数在点处的切线方程为，可得又过点，可分别建立关于的方程组，求得的值；
（2）由题函数()()()()
12212
1
22----+
=x m x m x f x g （含参数）
，已知极小值，可先求导，然后对参数分情况讨论，可分别出函数的单调区间及对应的极小值，解方程可得． （3）由任意的，都有恒成立问题，可进行变量分离得；，再联系导数在给定区间上的值域问题，可得的取值范围． 试题解析：（1）函数的图象在与轴交点为,, 又,
（2）由（1）得
()()()m x m x m mx x x g -+=-+='∴2222
①当时,恒成立，不存在极值； k ．] ②当时,由得或,由得
在上单调递增,在单调递减,
③当时,由得或,由得
在上单调递增,在单调递减,
综上所述,实数或
（3）对任意的，不等式恒成立， 则任意的恒成立,
又在区间上一定存在,使, 而在区间上,的值域为 即, 所以, 考点：（1）运用导数的几何意义及方程思想；（2）运用导数求函数的单调性及分类思想． （3）导数的运用及恒成立中的最值思想．
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