初中七年级数学教案 垂线-全国公开课一等奖

垂线
【教学目标】
1．使学生掌握垂线､垂线段､点到直线的距离等概念，理解垂线的性质，掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的结论。

2．会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线。

【教学重难点】
使学生掌握垂线､垂线段､点到直线的距离等概念，理解垂线的性质。

用垂线定义判断两条直线是否垂直及垂线的画法。

【教学过程】
活动1：观察
两条直线相交形成4个角，若固定木条a，旋转木条b，当b的位置发生变化时，a､b所成的角也会随之变化，其中有一个特殊的位置：=90°
教师演示课件“垂直”
学生观察课件中的动画，感受两条相交直线所成的角的大小变化。

在本次活动中，教师应重点关注：
（1）学生从简单的具体实物抽象出垂线的能力；
（2）学生认识到垂直是两条相交直线的特殊位置；
（3）学生学习数学的兴趣。

学生归纳：若两条直线相交成90°角，则称这两条直线互相垂直，当两条直线互相垂直时，其中一条直线就是另一条直线的垂线。

借助已有的几何知识从生活中发现数学问题，能由实物的形状想象出垂线的几何图形，使新知识建立在对周围环境的直接感知的基础上。

让学生增强对生活中的垂线的认识。

建立直观的数学模型。

根两条直线垂直的定义可知，如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90，那么
⊥，这个这两条直线垂直。

如下图，如果直线AB，CD相交于点O，∠AOC=90°，那么AB CD
推理过程可以写成下面的形式：
因为∠AOC=90°
⊥（垂直的定义）
所以AB CD
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，请举例。

活动2：问题
（1）现有一条已知直线AB，分别过直线外一点C和直线上一点D，作AB的垂线，你能有几种方法
（2）通过上述方法画出的垂线有几条从中你能发现什么结论
学生独立思考，动手操作，自主探索。

经过思考､操作，发现对于问题（1）可以有下列几种方法来画垂线：
①用度量法，用量角器；
②用三角板，如图：
教师在学生动手操作后演示课件“用三角板作垂线”，让学生进一步感受画垂线的过程。

学生通过思考得到：
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

通过学生独立思考，动手操作，经历探索过程，发现结论，提高学生探索问题的能力。

让学生概括结论，可以培养学生的概括能力。

让学生完成课本中这个知识点对应的练习。

活动3：探究
如图连接直线外一点P 与直线l 上各点123,A A A ，
，…其中PO ⊥l （我们称PO 为点P 到直线1的垂线段），比较线段，123,PO PA PA PA ，，，…的长短，这些线段中，哪一条最短
问题
（1） 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠能使渠道最短
教师适时演示课件“垂线段最短”，引导学生探索和归纳。

（2）从上述探究过程中你能发现什么结论
教师活动：适时地给出概念：
（1）垂线段：垂线上一点到垂足的线段；
（2）点到直线的距离：点到直线垂线段的长度。

学生可以自主探究，先在以小河为直线，然后画P 点与小河的垂线段，于是找到挖渠方案。

再提出问题，如果图中比例尺为1:100000，水渠大约要挖多长
归纳：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

即：垂线段最短。

学生通过独立思考以及观察课件中的情况，自主探索发现在图形中存在的规律，进而进行归纳总结。

培养学生的归纳能力。

让学生完成本知识点对应的练习。

活动4：巩固练习
（1）怎样画一条线段或一条射线的垂线
教师出示问题
学生思考､讨论，交流，让学生经过观察发现，画已知线段､射线的垂线其实就是经过已知点作已知线段､射线所在的直线的垂线，只要理解这一点，画垂线的问题迎刃而解。

主要培养学生的作图能力以及思考问题的严谨性。

（2）如图，直线AB､CD相交于点O，OE⊥AB，且∠DOE=3∠COE，求∠AOD的度数。

（3）如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M､N是分别位于公路两侧的村庄。

①设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到Q点时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置；
②汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段，距离M､N两村庄都越来越近在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远
教师活动：在学生思考或表述过程中，及时提醒学生用规范的语言进行表述，以此训练学生的逻辑推理能力，同时考察学生的几何直观。

在本次活动中，教师应关注：
（1）学生画出两条相交线的几何图形，用语言准确描述；
（2）学生参与数学学习活动的主动性，敢于发表个人观点。

教师提出问题。

学生独立思考，在必要时可以进行适当的讨论，经过思考或讨论可以发现，
对于问题①，当汽车距离M最近时，相当于过M画直线AB的垂线，垂足就是P点，同理，过N点画直线AB的垂线，垂足就是Q的位置；
对于问题②，可以通过图形观察发现，当处于AP路段时距离两村都越来越近，在处于PQ路段时距离M越来越远､距离N越来越近。

本问题的解决，再一次让学生体会：
（1）数学与生活的密切联系；
（2）学生的作图能力的训练；
（3）垂线段最短的知识；
（4）两点之间距离的定义；
活动5：看谁做得快（共12道题，见课件）
活动6：小结本节课内容
1．垂线的定义；
2．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
3．垂线段最短。

对知识回顾和反思，加深对知识的理解和掌握。