人教版八年级(下)学期 第二次月考检测数学试卷含解析

一、选择题
1．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．23 2．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，
E 为CD 上一动点，连接AE 交BD 于
F ，过F 作FH ⊥AE 于F ，过H 作H
G ⊥BD 于 G ．则下列结论：①AF ＝F
H ；②∠HAE ＝45°；③BD ＝2FG ；④△CEH 的周长为 8．其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，在菱形ABCD 中，AB =5cm ，∠ADC =120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB ．CB 方向向点B 匀速移动(到点B 为止)，点E 的速度为1c m/s ，点F 的速度为2c m/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为( )
A ．34
B ．43
C ．32
D ．53
4．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，28AD AB ==，点H 、G 分别是边AD 、BC 上的动点．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF ．则EF 的最大值与最小值的差为（ ）
A ．2
B ．32-
C 3
D ．43 5． 如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，P
E ⊥BC 于点E ，P
F ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP=EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；
④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中正确结论的番号是（）
A．①②④⑤B．①②③④⑤C．①②④D．①④
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；
④PF＝PC．其中正确结论的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝1
2
AC，M、N、P分别
是OA、OB、CD的中点，下列结论：
①CN⊥BD；
②MN＝NP；
③四边形MNCP是菱形；
④ND平分∠PNM．
其中正确的有（）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
8．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为85，最小值为8，则菱形ABCD的边长为( )
A ．4 6
B ．10
C ．12
D ．16 9．如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长为
（ ）
A ．2.8
B ．22
C ．2.4
D ．3.5
10．如图，已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （10，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点，将△OBP 沿OP 折叠得到△OPD ，连接CD 、AD ．则下列结论中：①当∠BOP ＝45°时，四边形OBPD 为正方形；②当∠BOP ＝30°时，△OAD 的面积为15；③当P 在运动过程中，CD 的最小值为234﹣6；④当OD ⊥AD 时，BP ＝2．其中结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC = ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
12．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDG FDG S S =，正确的有__________________．
13．如图，正方形ABCD 中，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上
的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．
14．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.
15．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒
∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________
16．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．
17．如图,在平面直角坐标系中,直线112
y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．
18．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若∠CBF=20°，则∠AED 等于__度．
19．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，
20．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP =5，则BC 的长为_______．
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ∆沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．
（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由．
（2）设()01AB m m AD
=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．
②若AE n AD
=，用等式表示m n ，的关系． 22．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则
2222AB CD AD BC +=+．
（1）请帮助小明证明这一结论；
（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．
23．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．
（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，
①求证：DE GH =；
②求证：2GD EH DE +>；
（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．
24．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．
（1）求证：CG 平分∠DCB ；
（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；
（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．
25．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．
图1 图2
（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________； （2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．
①求证：BF AB DF =+．
②若3AD =
，试探索线段DF 与FC 的数量关系． 26．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC
上．
（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（）
，且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．
27．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．
(1)如图1，求证：CF ⊥EF;
(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;
(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.
28．在正方形AMFN 中，以AM 为BC 边上的高作等边三角形ABC ，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至点D ，D 点恰好落在NF 上，连接BD ，AC 与BD 交于点E ，连接CD ，
(1)如图1，求证：△AMC ≌△AND ；
(2)如图1，若DF=3
，求AE 的长；
(3)如图2,将△CDF 绕点D 顺时针旋转α（090α<<）,点C,F 的对应点分别为1C 、1F ，连接1AF 、1BC ，点G 是1BC 的中点,连接AG ，试探索
1
AG AF 是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.
29．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．
（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；
（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；
（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
30．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．
()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；
()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；
②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可.【详解】
解：在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，
∵D，E分别是直角边BC，AC的中点，
∴
1
2
2
DE AB
==，故选：D.
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
2．D
解析：D
【分析】
①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH；
②由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45°；
③作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据
△AOF≌△FGH，可证OA=GF，故可证BD=2FG；
④作辅助线，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则IL=HC，可证AL=HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CE=IM，故△CEH的周长为边AM的长．
【详解】
①连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC．
∴FH=AF．
②∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°．
③连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG．
④连接EM，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，
∵HL⊥AE，CI∥HL，
∴AE⊥CI，
∴∠DIC+∠EAD=90°，
∵∠EAD+∠AED=90°，
∴∠DIC=∠AED，
∵ED⊥AM，AD=DM，
∴EA=EM，
∴∠AED=∠MED，
∴∠DIC=∠DEM，
∴∠CIM=∠CEM，
∵CM=MC，∠ECM=∠CMI=45°，
∴△MEC≌△CIM，可得：CE=IM，
同理，可得：AL=HE，
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH的周长为8，为定值．
故①②③④结论都正确．
故选D．
【点睛】
解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．3．D
解析：D
【分析】
由题意知道AE=t，CF=2t，连接BD，证明△DEB≌△DFC，得到EB=FC=2t，进而AB=AE+EB=3t=5，进而求出t的值.
【详解】
解：连接DB，如下图所示，
∵四边形ABCD 为菱形，且∠ADC=120°，
∴∠CDB=60°
∴△CDB 为等边三角形，∴DB=DC
又∵△DEF 为等边三角形，∴∠EDF=60°，DE=DF
∴∠CDB=∠EDF
∴∠CDB-∠BDF=∠EDF-∠BDF
∴∠CDF=∠BDE
在△EDB 和△FDC 中：
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
DE DF EDB FDC DB DC ，∴△EDB ≌△FDC(SAS)
∴FC=BE=2t
∴AB=AE+EB=t+2t=3t=5
∴t=53
. 故答案为：D.
【点睛】
本题考查了三角形全等、菱形的性质等相关知识，关键是能想到连接BD 后证明三角形全等，本题是动点问题，将线段长用t 的代数式表示，化动为静.
4．C
解析：C
【分析】
如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ．首先证明∠ACD ＝90°，求出AC ，AN ，利用三角形中位线定理，可知EF ＝
12
AG ，求出AG 的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解】
解：如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，28AD AB ==
∴∠D＝180°−∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝43
在Rt△ACN中，∵AC＝3ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN＝1
2
AC＝3
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝1
2 AG，
∵点G在BC上，∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为4323
∴EF的最大值为233
∴EF3
故选：C
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．
5．A
解析：A
【分析】
过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得2EC．
【详解】
证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得
PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
①∴AP=EF；
∠PFE=∠GAP
∴④∠PFE=∠BAP，
②延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，
∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴2EC．
∴其中正确结论的序号是①②④⑤．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
6．D
解析：D
【分析】
分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【详解】
证明：如图：
∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③正确；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
7．C
解析：C
【分析】
证出OC＝BC，由等腰三角形的性质得CN⊥BD，①正确；证出MN是△AOB的中位线，得
MN∥AB，MN＝1
2
AB，由直角三角形的性质得NP＝
1
2
CD，则MN＝NP，②正确；周长
四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠MND＝∠PND，则ND平分∠PNM，④正确；即可得出结论．【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝1
2 AC，
∵AD＝1
2 AC，
∴OC＝BC，
∵N是OB的中点，
∴CN⊥BD，①正确；
∵M、N分别是OA、OB的中点，∴MN是△AOB的中位线，
∴MN∥AB，MN＝1
2 AB，
∵CN⊥BD，
∴∠CND＝90°，∵P是CD的中点，
∴NP＝1
2
CD＝PD＝PC，
∴MN＝NP，②正确；
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD，
又∵NP＝PC，MN＝NP，
∴MN＝PC，
∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；
∵MN∥CD，
∴∠PDN＝∠MND，
∵NP＝PD，
∴∠PDN＝∠PND，
∴∠MND＝∠PND，
∴ND平分∠PNM，④正确；
正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质等；熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边
上的中线性质是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ⊥BC时，PQ的值最小，利用这两组数据，在Rt△ABQ中，可求得答案．
【详解】
PQ=
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，85
当PQ⊥BC时，PQ的值最小，
∴PQ=8，∠Q=90°，
在Rt△ACQ中，
()22
CQ=-=
85816.
在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，
∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2
解之：x=10.
故答案为：B．
【点睛】
本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最小的情况．
9．B
解析：B
【分析】
延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-
BG=2，HE=CH-CE=2，∠HEG=90°，从而由勾股定理可得GH的长．
【详解】
解：如图，延长BG交CH于点E，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CD=10，
∵AG=8，BG=6，
∴AG 2+BG 2=AB 2，
∴∠AGB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
同理：∠4=∠6，
在△ABG 和△CDH 中，
AB ＝CD ＝10
AG ＝CH ＝8
BG ＝DH ＝6
∴△ABG ≌△CDH （SSS ），
∴∠1=∠5，∠2=∠6，
∴∠2=∠4，
在△ABG 和△BCE 中，
∵∠1＝∠3，AB ＝BC ，∠2＝∠4，
∴△ABG ≌△BCE （ASA ），
∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE －BG=8－6=2，
同理可得HE=2，
在Rt △GHE 中，
22222222GH GE HE =+=+=
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE 为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
①由矩形的性质得到90OBC ∠=︒，根据折叠的性质得到OB OD =，
90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，推出四边形OBPD 是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD 为正方形；故①正确；
②过D 作DH OA ⊥于H ，得到10OA =，6OB =，根据直角三角形的性质得到132DH OD ，根据三角形的面积公式得到OAD ∆的面积为113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，于是得到OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，根据勾
股定理得到CD 的最小值为6；故③正确；
④根据已知条件推出P ，D ，A 三点共线，根据平行线的性质得到OPB POA ，等量代换得到OPA
POA ，求得10AP OA ，根据勾股定理得到1082BP BC CP ，故④正确．
【详解】
解：①四边形OACB 是矩形，
90OBC ∴∠=︒，
将OBP ∆沿OP 折叠得到OPD ∆， OB OD ∴=，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，
45BOP ，
45DOP BOP ，
90BOD =∴∠︒，
90BOD OBP ODP ， ∴四边形OBPD 是矩形，
OB OD =，
∴四边形OBPD 为正方形；故①正确；
②过D 作DH OA ⊥于H ，
点(10,0)A ，点(0,6)B ，
10OA ∴=，6OB =， 6OD OB
，30BOP DOP ， 30DOA ， 132DH OD ，
OAD ∴∆的面积为
113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，
则OD CD OC ，
即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，
6AC
OB ，10OA =， 2222106234OC OA AC ，
2346CD OC OD ，
即CD 的最小值为6；故③正确；
OD AD，
④⊥
ADO
∴∠=︒，
90
ODP OBP，
90
ADP，
180
∴，D，A三点共线，
P
//
OA CB，
OPB POA，
OPB OPD，
OPA POA，
10
AP OA，
AC=，
6
22
1068
CP，
BP BC CP，故④正确；
1082
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
11．12或20
【分析】
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=5
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
CE AC AE，
(25)42
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
BE AB AE543
=-=-=,
∴BC=BE+CE=3+2=5,
此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；
情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
(25)42
CE AC AE，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
BE AB AE543
-=-,
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,
综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．
12．①③④
【分析】
由矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，由角平分线的性质和余角的性质可得∠F=∠FAD=45°，可得AD=DF=BC，可判断①；通过证明
△DCG≌△BEG，可得∠BGE=∠DGC，BG=DG，即可判断②③；过点G作GH⊥CD于H，设AD=4x=DF，AB=3x，由勾股定理可求BD=5x，由等腰直角三角形的性质可得
HG=CH=FH=1
2
x，DG=GB=
52
2
x，由三角形面积公式可求解，可判断④．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠F=∠FAD，
∴AD=DF，
∴BC=DF，故①正确；
∵∠EAB=∠BEA=45°，
∴AB=BE=CD，
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF 是等腰直角三角形，
∵点G 为EF 的中点，
∴CG=EG ，∠FCG=45°，CG ⊥AG ，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG 和△BEG 中，
===BE CD BEG DCG CG EG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△DCG ≌△BEG （SAS ）．
∴∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，
∵∠BGE ＜∠AEB ，
∴∠DGC=∠BGE ＜45°，
∵∠CGF=90°，
∴∠DGF ＜135°，故②错误；
∵∠BGE=∠DGC ，
∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA ，
∴∠CGA=∠DGB=90°，
∴BG ⊥DG ，故③正确；
过点G 作GH ⊥CD 于H ，
∵34
AB AD =， ∴设AD=4x=DF ，AB=3x ，
∴CF=CE=x ，22AB AD x +，
∵△CFG ，△GBD 是等腰直角三角形，
∴HG=CH=FH=
12x ，DG=GB=522x ， ∴S △DGF =
12×DF×HG=x 2，S △BDG =12DG×GB=254x 2， ∴254BDG FDG S S =，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
13．42 【分析】 作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．
【详解】
∵AE 是DAC ∠的角平分线，
∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '
由轴对称可以得到PQ P Q '=，
∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，
如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，
∴4DP '=，
由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，
在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=
+=+==．
故答案是：42．
【点睛】
本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ +取最小值的状态，并将它转换成DP '去求解．
14．3或6
【详解】
①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，
由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=1
2
×90°=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=6cm；
②∠EB′C=90°时，如图2，
由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，
∴A、B′、C在同一直线上，
AB′=AB，BE=B′E，
由勾股定理得，=，
∴B′C=10-6=4cm，
设BE=B′E=x，则EC=8-x，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，
即x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
即BE=3cm，
综上所述，BE的长为3或6cm．
故答案为3或6．
15．①②④⑤
【分析】
根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证AD//BC，根据DC⊥BC，可得∠HDE=∠CDE，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即DE平分∠HDC，所以①正确；
利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH，利用 AE=AD易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH，OD=OE，所以②正确；
利用AAS证明ΔDHE≅ΔDCE，则有DH=DC，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，
∠DFH=112.5°，则△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③错误；
根据△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∵J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，易证BC−CF=2CE，所以④正确；
过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，得IJ⊥AD，I是AD的中点，J是BC的中点，H是BF的中点，所以⑤正确；
【详解】
∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，
∴△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，
∴AD//BC ，
∴∠ADE=∠DEC ，
∴∠AED=∠DEC ，
又∵DC ⊥BC ，
∴∠DCE=∠DHE=90°
∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE ，
即：DE 平分∠HDC ，所以①正确；
∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠HDC=45°，
由①有DE 平分∠HDC ，
∴∠HDO=12∠HDC=12
×45°=22.5°， ∵∠BAE=45°，AB=AH ， ∴∠OHE=∠AHB=
12 (180°−∠BAE)= 12×(180°−45°)=67.5°， ∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DHE−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，
∴OD=OH ，
在△AED 中，AE=AD ，
∴∠AED=12(180°−∠EAD)=12
×(180°−45°)=67.5°， ∴∠OHE=∠HEO=67.5°，
∴OE=OH ，
∴OD=OE ，所以②正确；
在△DHE 和△DCE 中，
DHE DCE HDE CDE DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔDHE ≅ΔDCE(AAS)，
∴DH=DC ，∠HDE=∠CDE=
12
×45°=22.5°， ∵OD=OH ，
∴∠DHF=22.5°，
∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，
∴△DHF 不是直角三角形，并DH≠HF ，
即有：CD≠HF ，所以③不正确；
如图，过H 作HJ ⊥BC 于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，
∵△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，
∴JH=JE，
又∵J是BC的中点，H是BF的中点，
∴2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，
∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC，
即有：BC−CF=2CE，所以④正确；
∵AD//BC，
∴IJ⊥AD，
又∵△AHD是等腰直角三角形，
∴I是AD的中点，
∵四边形ABCD是矩形，HJ⊥BC，
∴J是BC的中点，
∴H是BF的中点，所以⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．16．32
【详解】
解析：∵在正方形ABCD中，AC=62
∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°
设EF与AD交点为O，O是AD的中点,
∴AO=3
以AD为对角线的所有▱AEDF中，当EF⊥AC时，EF最小，
即△AOE是直角三角形，
∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，232
，
∴EF=2OE=32 17．(3,2)
-517
【分析】
如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A 、B 的坐标，从而可得OA 、OB 、AB 的长，再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒，DA AB =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,AE OB DE OA ==，由此即可得出点D 的坐标；同样的方法可求出点C 的坐标，再根据轴对称的性质可得点C '的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出MDC △的周长值最小时，点M 的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．
【详解】
如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，作点C 关于y 轴的对称点C '，交y 轴于点F ，连接C D '，交y 轴于点M '，连接C M '，则CF y ⊥轴 对于112
y x =+ 当0y =时，
1102
x +=，解得2x =-，则点A 的坐标为(2,0)A - 当0x =时，1y =，则点B 的坐标为(0,1)B
2,1,OA OB AB ∴====四边形ABCD 是正方形
90BAD ∴∠=︒
，CD DA AB ===90DAE OAB ABO OAB ∴∠+∠=∠+∠=︒
DAE ABO ∴∠=∠
在ADE 和BAO 中，90AED BOA DAE ABO DA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ADE BAO AAS ∴≅
1,2AE OB DE OA ∴====
213OE OA AE ∴=+=+=
则点D 的坐标为(3,2)D -
同理可证：CBF BAO ≅
1,2CF OB BF OA ∴====
123OF OB BF ∴=+=+=
则点C 的坐标为(1,3)C -
由轴对称的性质得：点C '的坐标为(1,3)C '，且CM C M '=
MDC ∴△
的周长为CD DM CM DM C M '++=+
由两点之间线段最短得：当点M 与点M '重合时，DM C M '+取得最小值DC ' (3,2),(1,3)D C '-
22(31)(2
3)17DC '∴=--+-=
则MDC △的周长的最小值为5517DC '+=+
故答案为：(3,2)-，517+．
【点睛】
本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点，正确找出MDC △的周长最小时，点M 的位置是解题关键． 18．65
【分析】
先由正方形的性质得到∠ABF 的角度，从而得到∠AEB 的大小，再证△AEB ≌△AED ，得到∠AED 的大小
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD
∵∠FBC=20°，∴ABF=70°
∴在△ABE 中，∠AEB=65°
在△ABE 与△ADE 中
45AB AD BAE EAD AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ABE≌△ADE
∴∠AED=∠AEB=65°
故答案为：65°
【点睛】
本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出∠AEB 的大小.
19．6.5或8或18
【分析】
根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点
∴13BQ =
∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，
则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形
∴ 6.5AP BM ==
②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，
过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=
∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=
同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'=
==，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置
∴8AP =或18
∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18． 故答案是：6.5或8或18
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．
20．4
【分析】
过点E 作EM ∥AD ，由△ABO 是等腰三角形，根据三线合一可知点E 是AO 的中点，可证得EM=12AD=12
BC ，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF 为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=
12BC ，因此可证明△BFP ≌△MEP （AAS ），则EP=FP=12
FC ，在Rt △BFP 中，利用勾股定理可求得x ，即得答案．
【详解】 过点E 作EM ∥AD ，交BD 于M ，设EM=x ，
∵AB=OB ，BE 平分∠ABO ，
∴△ABO 是等腰三角形，点E 是AO 的中点，BE ⊥AO ，∠BEO=90°，
∴EM 是△AOD 的中位线，
又∵ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=2EM=2x ，
∵EF ⊥BC ， ∠CAD=45°，AD ∥BC ，
∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，
∴△EFC 为等腰直角三角形，
∴EF=FC ，∠FEC=45°，
∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，
则△BEF 为等腰直角三角形，
∴BF=EF=FC=12
BC=x ， ∵EM ∥BF ，
∴∠EMP=∠FBP ，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF ，
则△BFP ≌△MEP （ASA ），
∴EP=FP=12EF=12FC=12
x ， ∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+，
即：222
1()2x x =+，
解得：2x =，
∴BC=2x =4，
故答案为：4．
【点睛】
考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键．
三、解答题
21．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-
【分析】
（1）根据BEF BEA ≅得到BF BA =，根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=，与已知矛盾；
（2）①根据90BFC BFE ∠=∠=︒、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ，利用AAS 证得BCF CED ≅，根据全等三角形的性质即可证明；
②设1AD =，则可表示出AE 和AB ，然后根据等角对等边证得CE=CB ，然后在Rt CDE ∆中应用勾股定理即可求解．
【详解】
（1） 由折叠知BEF BEA ≅ ，
所以90BF BA BFE A =∠=∠=︒， ．
若点F 在CE 上，则90BFC ∠=︒，BC BF BA >=，
与AB AD =矛盾，
所以点F 不会落在CE 上．
（2）①因为()01AB m m AD
=<<，则AB AD < ， 因为点F 落在CE 上，
所以90BFC BFE ∠=∠=︒ ，
所以BF BA CD == ．
因为//AD BC ，
所以DEC FCB ∠=∠ ，
所以BCF CED ≅ ，
所以CF DE =．
②若AE n AD
=，则AE nAD =． 设1AD =，则AE n AB m ==，．
因为//AD BC ，
所以BEA EBC ∠=∠ ．
因为BEF BEA ∠=∠ ，
所以EBC BEC ∠=∠ ，
所以1CE CB AD === ．
在Rt CDE ∆中，11DE n CE CD m ===一，， ，
所以222
11()n m -+= ，
所以²²20m n n =+-．
故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．
22．（1）证明见解析；
（2
【分析】
（1）由题意根据勾股定理分别表示出2222,AB CD AD BC ++进行分析求证即可； （2）根据题意连接CG 、BE ，证明△GAB ≌△CAE ，进而得BG ⊥CE ，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵AC ⊥BD ，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，
222222AD BC AO DO BO CO +=+++，
222222AB CD AO BO CO DO +=+++，
∴2222AD BC AB CD +=+；
（2）连接CG 、BE ，如图2，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，
在△GAB 和△CAE 中，
AG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△GAB ≌△CAE （SAS ），
∴∠ABG=∠AEC ，
又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ，
由（1）得，2222CG BE CB GE +=+，
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，2，2，
∴222273GE CG BE CB =+-=，
∴73
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键．
23．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）410DE =
． 【分析】
（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，
①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；
②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得2，利用三角形三边关系即可得结论； （2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明。