浙江省台州市四校高三数学上学期期中联考试卷 文

2013年台州市四校联考高三数学（文科）试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 请考生将所有试题的答案写在答卷上． 参考公式：
球的表面积公式 柱体的体积公式
24S R π=
V Sh =
球的体积公式
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱
体的高
34
3
V R π=
台体的体积公式
其中R 表示球的半径 ()
121
3
V h S S =
锥体的体积公式
其中12,S S 分别表示台体的上、下底面
积，
1
3
V Sh =
h 表示台体的高 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 如果事件B A 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+
第I 卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．设集合2{230},{1}M x x x N x x =--<=<，则
N
C M R ⋂等于
（ ▲ ）
A ．[1,1]- B. (1,0)- C ．[1,3)
D. (0,1)
2．“cos x ＝0”是 “sin x ＝1” 的 （ ▲ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，下列命题中正确的是 （ ▲ ）
A ．若αβ⊥，则l m ⊥
B ．若αβ⊥，则//l m
C ．若l m ⊥，则//αβ
D ．若//l m ，则αβ⊥
4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ▲ ） A ．-1 B ．3 C ．3
1
D ．-5
5．设变量,x y 满足约束条件220
22010
x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，则11y s x +=+的取值范围是
（ ▲ ）
A ． 1[,2]2
B ．1[,1]2
C ．[1,2]
D ．3[1,]2
6．已知函数()2sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的
部分图像如图所示，则ϕ的值为 （ ▲ ） A ．4
π
-
B ．4
π
C ． 8
π
- D ．
8
π
7．若直线2y x t =+被圆22
8x y +=截得的弦长大于等
于，则t 的取值范围为 （ ▲ ）
A
．[ B
．( C
．)+∞ D
．(-∞ 8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足
221
(log )(log )2(1)f a f f a
≤+, 则a 的取值范围是
（ ▲ ）
A ．[1,2]
B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．(0,2]
9．设12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若
a PF PF 6||||21=+，且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为 （ ▲ ）
A ．2
B ．
2
3
C ．3
D ．
2
6 10．已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ,若112()f x x x =<,则关于x 的方
程2
3(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为 （ ▲ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11． 已知复数2i
z m i
-=
+为实数，i 为虚数单位，则实数m 的值为 ▲ ． 12．若函数)2)(()(x x a x f -+=（R a ∈）是偶函数，则它的值域为 ▲ ． 13．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是 :
梯形的概率为 ▲ ．
14．某几何体的三视图如图所示，根据所给尺寸（单位：cm ），
则该几何体的体积为 ▲ ．3
cm 。

15．已知0,0,2,a b a b >>+=则14
y a b
=
+的最小值是 ▲ ． 16．已知函数()ln f x x ax =-在区间[1,3] 上有两个不同的零点，
则实数a 的取值范围是 ▲ ． 17．在ABC ∆中，若23
()5CA CB AB AB +⋅=,则tan tan A B
= ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 18.（本小题满分14分）已知函数2
()cos sin cos ()f x x x x x R =+∈
(Ⅰ)求3()8
f π
的值； (Ⅱ)若003(),(,)2442
x f x ππ
=∈,求0sin x 的值。

19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且36,1664==S S .
(Ⅰ) 求n a ；
(Ⅱ) 设数列{}n b 满足 (,0)n a
n b q q R q =∈>,1223
1
11
1
n n n T b b b b b b +=++
+
，求n T 。

20．（本小题满分14分）如图，ABC ∆中，90,1,B AB BC D E ∠===、两点分别是线段
AB AC 、 的中点，现将ABC ∆沿DE 折成直二面角A DE B --。

(Ⅰ) 求证：ADC ABE ⊥面面； (Ⅱ)求直线AD 与平面ABE 所成角的正切值。

俯视图
左视图
正视图
第14题
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
21．（本小题满分15分）
已知,a b R ∈,函数3
21()3
f x x ax bx =++. (Ⅰ) 若函数()f x 的图象过点4
(1,)3
P ,且在点P 处的切线斜率是3，求,a b 的值；
(Ⅱ) 若1x =-是函数()f x 的极大值点，且[1,2]x ∈-时，()f x 的最小值为2
3
-，求a 的
值。

22．（本小题满分15分）如图，过抛物线:C )0(22
>=p py x 的焦点F 作直线l 与抛物线相
交于A ，B 两点.直线1l //l ,且与抛物线C 相切于点P ，直线PF 交抛物线于另一点Q .
已知抛物线C 上纵坐标为32
p
的点M 到焦点F 的距离为2。

(Ⅰ)求抛物线C 的方程； (Ⅱ)求ABQ ∆的面积的最小值。

2013年台州市四校联考 数学（文科）参考答案
11．-2 12．]4,(-∞ 13．
25 14． 15 15．92 16．11
[ln 3,)3e
17．4 三、解答题（本大题共5
小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．(14分)已知函数2()cos sin cos ()f x x x x x
R =+∈
(Ⅰ)求3()8f π
的值； (Ⅱ)若003(),(,
)2442
x f x ππ
=∈,求0sin x 的值。

解: (Ⅰ) 21
cos 21
()cos sin cos =sin 222
x f x x x x x +=++
1)42x π++ …………………4分 311()822
f ππ=+= …………………7分 (Ⅱ)
由1())42f x x π=++,
得0013
()),2424x f x π=++=
0sin()4x
π∴+=
…………………9分
又003
(,)(,)42424x x πππππ
∈∴+∈，
0cos()4x π∴+=…………………11分 0000sin sin[()])cos()]
4444
x x x x ππππ
∴=+-=+-+=
==
…………………14分 19．(14分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且36,1664==S S .
(Ⅰ) 求n a ；
(Ⅱ)设数列{}n b 满足 (,0)n a
n b q q R q =∈>,1223
1
111
n n n T b b b b b b +=
+++
，求n T 。

解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由36,1664==S S ，
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=⨯+=⨯+362566162
34411d a d a ， …………2分
解得⎩
⎨⎧==211d a , .....................4分 21n a n ∴=- (7)
分
(Ⅱ)21n
a n n
b q
q -== , 11
{
}n n b b +是首项为41q ,公比为41q
的等比数列， 1q ∴≠时，
1223
1
111n n n T b b b b b b +=
+++
=4
444411(1)11(1)111n n q q q q q
-=---……………12分
1q ∴=时，n T n ∴=
4411
(1) (1)1 (1)n n q T q q n q ⎧⎧-≠⎪⎨
∴=-⎨⎩⎪
=⎩
……………………14分
20．（14分）如图，ABC ∆中，90,1,B AB BC D E ∠===、两点分别是线段AB AC 、的中
点，现将ABC ∆沿DE 折成直二面角A DE B --。

(Ⅰ)求证：ADC ABE ⊥面面；(Ⅱ)求直线AD 与平面ABE 所成角的正切值。

解：(Ⅰ) 由90,B D E ∠=、
两点分别是线段AB AC 、的中点， 得//,DE BC DE AD DE BD ⇒⊥⊥，
ADB ∴∠为二面角A DE B --平面角，2
ADB π
∠= 。

,,AD BCD BE BCD AD BE ∴
⊥⊂∴⊥面又
面 …………………3分
又1,1,,2BD BC BD DE BC BDE DBC DE BD
=
===∴∆∆即 ,EBD DCB BE DC ∴∠=∠∴⊥ …………………5分 ,BE ADC ∴⊥面
,BE ABE ABE ADC ⊂∴⊥又面面面 …………………7分 (Ⅱ)连结BE 交CD 于H ，连结AH 过点D 作DO AH ⊥于O 。

,AD BE BE DH BE ADH ⊥⊥∴⊥面
,DO ADH BE DO ⊂∴⊥面，
,DO AH DO ⊥∴⊥又面ABE
所以DAO ∠为AD 与平面ABE 所成角。

…………………
10分
Rt BDE ∆中，12BD DE BD DE DH BE ⋅==∴==
， A B C D E A B
C
D
E H O A
B C
D E
Rt ADH ∆
中，tan
DH DAO DA ∠=
==
. 所以直线AD 与平面ABE 。

…………………14分
21．（15分）
已知,a b R ∈,函数3
21()3
f x x ax bx =++. (Ⅰ)若函数()f x 的图象过点4
(1,)3
P ,且在点P 处的切线斜率是3，求,a b 的值；
(Ⅱ)若1x =-是函数()f x 的极大值点，且[1,2]x ∈-时，()f x 的最小值为2
3
-，求a 的
值。

解：(Ⅰ) /
2
()2 f x x ax b =++
由题知1
433123a b a b ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，解得，1,0a b == …………………5分
(Ⅱ)/2
()2 f x x ax b =++
由题知/
(1)0,2 1 f b a -=∴=- …………………7分 由韦达定理得另一极值点为12x b a =-=-,
故121,a ->-1a ∴<. …………………9分
()f x 在(,1)-∞-内递增，在(1,12)a --内递减，在(12,)a -+∞内递增，
①当122a -≥,即1
2a ≤-时，()f x 在[1,2]-上单调递减，
min 22()(2)833f x f a ∴==+=-,得1
6a =-,舍去。

…………………12分
②当122a -<,即1
12a -<<时，
322min 1()(12)(12)(12)(12)3f x f a a a a a =-=-+---212
(12)(2)33
a a =--=-
得2
(23)0a a -=,
0a ∴=或3
2
a =（舍去） 综上，0a =。

…………………15分
22．（15分）如图，过抛物线:C )0(22
>=p py x 的焦点F 作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点.直线1l //l ,且与抛物线C 相切于点P ，直线PF 交抛物线于另一点Q .
已知抛物线C 上纵坐标为32
p
的点M 到焦点F 的距离为2。

（I ）求抛物线C 的方程；
（II ）求ABQ ∆的面积的最小值。

解：（I ）设3(,)2p
M x 为抛物线C 上任意一点，则
∴3222
p p
MF p =+=，由题意知22p =
1p ∴
=∴抛物线C 的方程为2
2x y = …………………4分
（II ）由（I ）知1(0,)2F ，设),(),,(2211y x B y x A ，1:2
l y kx =+
由22121022y kx x kx x y ⎧
=+⎪⇒--=⎨⎪=⎩
12122,1x x k x x +==-
22(1)k =+ …………………7分 设),(00y x P ，则10l k x =，由1l //l 得
0x k = 2
(,)2
k P k ∴
k k k FP 212-=∴ 211:22
k PQ y x k -=+与2
2x y =联立得 22
110k x x k
---=，1Q x k ⋅=-，1Q x k -=，∴211(,)2Q k k - -…………10分 Q 到l
的距离
d =
2
12(1)2S k ∴=⨯+=
()0≠k - …………………12分 令),1(12
+∞∈+=k t ，则3
2
2(1)
t S t =- 42223()2(
1)t t
S t t -'==
-)(t S 在)3,1(上递减，在
()S t S ∴==
最小， …………………15分
高三四校联考错误答案统计
以下学科答案有问题。

现将这些问题发给您们,请共同斟酌一下。

数学（文）：18题：（2）
0sin()4x π∴+= 003)(,)2424
x x ππππ
∴+∈，
这样的角不存在。