用导数研究函数的恒成立与存在性问题 答案

用导数研究函数的恒成立与存在问题
1．已知函数23()2ln x
f x x x a
=
-+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围．
2．已知函数3
2
()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。

（1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。

3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈.
（1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；
（3）设22)(2
+-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <，
求实数a 的取值范围.
4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a
g x x x
=+
有相同极值点． ①求实数a 的值；
②对121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
(e 为自然对数的底数)，不等式
()()
1211
f x
g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．
5．已知函数2
12
()()ln ()f x a x x a R =-+∈．
（1）当1a =时，01[,]x e ∃∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围；
（2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围．
用导数研究函数的恒成立与存在问题 答案
1．解：(1)若a ＝1，则f (x )＝3x －2x 2
＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝1x －4x ＋3＝－4x 2
＋3x ＋1x
＝－(4x ＋1)(x －1)
x
(x ＞0)．
当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )＝3x －2x 2
＋ln x 单调递增．
当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )＝3x －2x 2
＋ln x 单调递减， 即f (x )的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)．
(2)f ′(x )＝3a －4x ＋1
x
.
若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，
即在[1,2]上，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1
x
≤0，
即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1
x
≤0在[1,2]上恒成立．
即3a
≥4x －1x 或3a ≤4x －1x
.
令h (x )＝4x －1
x
，因为函数h (x )在[1,2]上单调递增，
所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3
a
≤3，
解得a ＜0或0＜a ≤2
5或a ≥1.
故a 的取值范围是(－∞，0)∪(0，2
5
]∪[1，＋∞)．
2. 解：（1）由题意知.43)(',42)(2
2
3
x x x f x x x f +-=-+-=令.3
4
0,0)('或得==x x f
当x 在[-1，1]上变化时，)(),('x f x f 随x 的变化情况如下表：
)(],1,1[m f m -∈∴对于的最小值为,4)0(-=f
x x x f 43)('2+-= 的对称轴为32
=
x ，
且抛物线开口向下, )('],1,1[n f n -∈∴对于的最小值为.7)1('-=-f
)(')(n f m f +∴的最小值为-11.
（2）)32(3)('a x x x f -
-= .
①若0)(',0,0<>≤x f x a 时当, [)+∞∴,0)(在x f 上单调递减，又.4)(,0,4)0(-<>-=x f x f 时则当
.0)(,0,000>>≤∴x f x a 使不存在时当
②若,0)(',320,0><
<>x f a x a 时则当当.0)(',3
2<>x f a x 时 从而⎥⎦⎤
⎝⎛32,0)(在x f 上单调递增，在⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,32a
上单调递减，
494278)32()(),0(33max
-+-==+∞∈∴a a a f x f x 时，当，则.3,27,0427
433
>>>-a a a 解得即
综上，a 的取值范围是).,3(+∞ (或由020
004
,0)(,0x x a x f x +>
>>得,用两种方法可解) 3． 解：（1）由已知1
20()()f x x x
'=+
>， 1213()f '=+=， 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3 而12()f =，所以切点为12(,)，)(x f y =在点1x =处的切线方程为 31y x =-
（2）110()()ax f x a x x x
+'=+
=> ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，所以0()f x '>，()f x 的单调递增区间为0(,)+∞.
②当0a <时，由0()f x '=，得1x a =-
. 在区间10(,)a
-上，0()f x '>，在区间1
(,)a -+∞上0()f x '<，
所以，函数
的单调递增区间为1
0(,)a -，单调递减区间为1
(,)a
-
+∞. （3）由已知，问题等价于为max max ()()f x g x <. 其中()2max g x =
由(2)知，当0a ≥时，()f x 在0(,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意.
(或者举出反例：存在33
32()f e ae =+>，故不符合题意.)
当0a <时，()f x 在10(,)a -上单调递增，在1
(,)a
-
+∞上单调递减，
故()f x 的极大值即为最大值，1111()ln()ln()f a a a
-=-+-=---，
所以21ln()a >---，解得31a e
<-
. 4． 解（Ⅰ）()()()()211220x x f x x x x x
+-'=-+
=->，…………………………1分 由()0,0f x x '⎧>⎨
>⎩得01x <<；由()0,0
f x x '⎧<⎨>⎩得1x >.
()f x ∴在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数. ……………………2分 ∴函数()f x 的最大值为()11f =-.…………………………………………3分 （Ⅱ）
()()2,1a a g x x g x x x
'=+∴=-.
①由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点， 又
函数()f x 与()a
g x x x
=+
有相同极值点， ∴1x =是函数()g x 的极值点， ∴()110g a '=-=，解得1a =.……………………………………………4分
经验证，当1a =时，函数()g x 在1x =时取到极小值，符合题意. ……5分
②
()()2112,11,392ln 3f f f e e ⎛⎫
=--=-=-+ ⎪⎝⎭
，
易知2
192ln 321e -+<-
-<-，即()()131f f f e ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
. ()()()()111min max 1,3,392ln 3,11x f x f f x f e ⎡⎤
∴∀∈==-+==-⎢⎥⎣⎦
………7分
由①知()()211,1g x x g x x x '=+
∴=-，当1,1x e ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，()0g x '<；当(]1,3x ∈时，()0g x '>. 故()g x 在1,1e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上为减函数，在(]1,3上为增函数.
()()11110,12,3333g e g g e e ⎛⎫=+==+= ⎪⎝⎭
，而()()11012,133e g g g e e ⎛⎫
<+<∴<< ⎪⎝⎭.
()()()()222min max 110,3,12,33x g x g g x g e ⎡⎤
∴∀∈====⎢⎥⎣⎦
. …………………9分
1当10k ->，即1k >时，对于121,,3x x e ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
，
不等式
()()
1211
f x
g x k -≤-恒成立()()12max 1k f x g x ⇔-≥-⎡⎤⎣⎦()()12max 1k f x g x ⇔≥-+⎡⎤⎣⎦. ()()()()1211123f x g x f g -≤-=--=-，
312,1,1k k k ∴≥-+=->∴>又. ……………………………………………10分 2当10k -<，即1k <时，对于121,,3x x e ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
，
不等式()()
1211
f x
g x k -≤-恒成立()()12min 1k f x g x ⇔-≤-⎡⎤⎣⎦()()12min 1k f x g x ⇔≤-+⎡⎤⎣⎦. ()()()()121037
3392ln 32ln 333
f x
g x f g -≥-=-+-=-+， 3434
2ln 3,1,2ln 333
k k k ∴≤-
+<∴≤-+又. ………………………………11分 综上，所求实数k 的取值范围为()34,2ln 31,3⎛
⎤-∞-
++∞ ⎥⎝
⎦
.…………………12分
5．【解】：(1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2＋ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x ＋1
x
，
由x ∈[1，e]，f ′(x )＞0得函数f (x )在区间[1，e]为增函数，
则当x ∈[1，e]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
2
，1＋12e 2.
故要使∃x 0∈[1，e]使不等式f (x 0)≤m 成立，只需m ≥1
2
即可.
(2)在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图象恒在直线y ＝2ax 的下方 等价于对∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜2ax ，
即(a －12
)x 2
＋ln x －2ax ＜0恒成立．
设g (x )＝(a －12
)x 2
－2ax ＋ln x (x ∈[1，＋∞))，
则g ′(x )＝(2a －1)x －2a ＋1x ＝(x －1)(2a －1－1
x
)．
当x ∈(1，＋∞)时，x －1＞0,0＜1
x
＜1.
①若2a －1≤0，即a ≤1
2
，g ′(x )＜0，函数g (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，
则当∀x ∈(1，＋∞)时g (x )＜g (1)＝a －12－2a ＝－1
2
－a ，
只需－12－a ≤0，即当－12≤a ≤1
2
时，
g (x )＝(a －1
2
)x 2＋ln x －2ax ＜0恒成立．
②若0＜2a －1＜1，即1
2
＜a ＜1时，
令g ′(x )＝(x －1)·(2a －1－1x )＝0得x ＝1
2a －1＞1，
函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a －1为减函数，⎝ ⎛⎭⎪
⎫12a －1，＋∞为增函数，
则g (x )∈⎣⎢⎡⎭
⎪
⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1，＋∞，不合题意．
③若2a －1≥1，即当a ≥1时g ′(x )＞0，函数g (x )在区间[1，＋∞)为增函数， 则g (x )∈[g (1)，＋∞)，不合题意．
综上可知：当－12≤a ≤12时g (x )＝(a －12
)x 2
＋ln x －2ax ＜0恒成立，
即当－12≤a ≤1
2时，在区间(1，＋∞)上函数f (x )的图象恒在直线y ＝2ax 的下方．。