习题课-向量空间

向量组的线性表示及线性关系
三、线性相关
若存在不全为零的一组数
则
线性相关。
使得
至少存在一个向量可由其余的
齐次线性方程组
秩小于向量组所含向量个数
若
为方阵，则
个向量线性表示 有非零解（即唯一零解）
向量组的线性表示及线性关系
线性相关性质（定理）
1.若向量组
线性相关，则向量组
也线性相关（添加向量）。
2.若m维向量组线性相关，则 有的向量组中缩减向量分量）。
向量组的线性表示及线性关系
四、线性无关 对于向量组
，若使得
，则
线性无关。
则有
任意一个向量均不能由其余的
齐次线性方程组
秩等于向量组所含向量个数
若
为方阵，则
个向量线性表示 有唯一零解
向量组的线性表示及线性关系
线性无关性质（定理）
1.若向量组 也线性无关（缩减向量）。
2.若n维向量组线性无关，则 有的向量组中添加向量分量）。
线性方程组 向量组
注：定义中未规定 量组线性表示。
有解
与
向量组等价
不能全为零，因此零向量可由任意向
向量组的线性表示及线性关系
二、向量组的线性表示
若向量组
中的每一个向量均可由向量组
线性
表示，则称向量组
可由向量组
线性表示
矩阵形式
推论：若矩阵A、B、C满足C=AB，则： C的列向量组可由A的列向量组线性表示 C的行向量组可由B的行向量组线性表示
向量空间
二、向量空间基、维数、坐标
3.坐标变换公式
若 向量在基
的坐标为
，即
的坐标为
，即
，向量 在基
注：1.向量组的极大线性无关组不唯一； 2.只有一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组； 3.一个线性无关组的极大线性无关组即使该向量组本身； 4.向量组和它的极大线性无关组是等价向量组； 5.向量组的极大线性无关组所含向量的个数相同。
向量组的秩
二、向量组的秩 1.定义：
向量组的极大线性无关组所含的向量的个数称为向量组的秩。
2.相关定理： (1)向量组线性无关 秩等于向量组所含向量个数 (2)若向量组A可由向量组B线性表示，向量组A的秩为r，向量组B的 秩为s，则
注：等价的向量组有相同的秩，但有相同秩的向量组不一定等价。
向量组的秩
求向量组的秩和极大无关组的方法
若向量组为
，将此向量组作为列向量组构造矩阵
(
),用初等行变换将其化为行简化阶梯阵B，则B中的非
零行数就为向量组的秩，B中线性无关的向量即为原对应位置向量
线性无关，所有线性无关的向量组成原向量组的一个极大先行无关
组。
例10
2
例11
例12
矩阵的秩
二、相关结论或定理 1.矩阵A的秩=矩阵A的行秩=矩阵A的列秩=矩阵 的秩=存在r阶子 式不为零,而A所有的r+1阶子式全为零（即为矩阵最高阶非零子式 的阶数） 2. 设A是 矩阵，则 3.对矩阵进行初等行列变换，矩阵的秩不变 4.
例1
例2
向量组的线性表示及线性关系
二、向量组等价
若向量组
和向量组
向量组
与向量组
可以互相线性表示，则称 等价。
推论： 若矩阵A经过初等列变换变为矩阵B， 则A的列向量组和B的列向量组等价。
若矩阵A经过初等行变换变为矩阵B， 则A的行向量组和B的行向量组等价。
当s=t时，则系数 矩阵可逆
例3
注：一般情况下，两向量组的秩相等，不一定等价， 而若再加上某一向量组能由另一个向量组线性表示， 则可以说明该两向量组等价。(相关证明见p133例3.26)
线性代数习题课 向量空间
线代讲师：杨伸炉 学业发展中心
本章要点
一、向量组的线性表示及线性关系 典型例题
二、向量组的秩 典型例题
三、矩阵的秩 典型例题
四、向量空间 典型例题
五、欧式空间 典型例题
向量组的线性表示及线性关系
一、向量的线性表示
设
均为n维向量，若存在一组数
，使得则称向
量可由向量组线性表示。利用矩阵运算，可以写成
（2）向量空间的维数：向量组的秩。因此向量空间的维 数是唯一确定的。
（3）向量空间的坐标：由基表示时的线性表示系数。
向量空间
二、向量空间基、维数、坐标 2.基变换公式
，这里的方阵P
称为基 是 在基
逆矩阵。
到基
的过渡矩阵，过渡矩阵第i列
下的坐标。同理方阵Q是基
到基
下的过渡矩阵，过渡矩阵P,Q均为可逆矩阵，且互为
维向量组也线性相关（在原
3.若向量组
线性无关，向量组
线性相关，则
向量 可由向量组
线性表示，且表示法唯一。
4.设向量组 向量组
可由向量组
线性表示，且 ，则
线性相关（以少表示多，则多的线性相关）。
向量组的线性表示及线性关系
线性相关一些结论 1.若向量组中含有零向量，则向量组线性相关； 2.若向量组中由两个向量相同，则向量组线性相关； 3.一个向量 构成的向量组，当 ，是线性相关的； 4.任意n+1个n维向量均线性相关。
5.
矩阵的秩
二、相关结论或定理（续）
7.
相关结论
(1)设A是
矩阵，B是 矩阵，令
，于是
是方程
。由此可见，B的每一个列向量都 的解（B的列向量不一定线性无关）
(2)若
，则
(3)若
，且
，则
矩阵的秩
二、相关结论或定理（续）
8.当A可逆时，
；当B可逆时,

。
(简单证明：A可逆时，可以写成一系列初等矩阵相乘的形式，而这
维向量空间，记为 。 中向量的加法和数乘运
算是“封闭”的，即对任意的满足
且满足
线性运算的性质。
一个结论： 齐次线性方程组解向量的集合构成了向量空间，非 齐次线性方程组解向量的集合不构成向量空间。
向量空间
二、向量空间基、维数、坐标
1.向量空间时特殊的向量组 （1）向量空间的基：向量组的极大线性无关组。因此向 量空间的基不唯一，但基中所含的向量个数是唯一的。
些初等矩阵相当于对B进行初等行变化，而初等行变换不改变矩阵
的秩，故
；同理，可得
)
9.若A列满秩，则 （留作后面的证明题）
；若B行满秩，则
例13 例14
C 3
例15
B
例16
1
例17
-3
例18
向量空间
一、向量空间
实数域上的全体维且集合非空向量组成的集合，连
同定义在其上的加法和数乘运算，称为实数域上的
3.若向量 可由线性无关向量组 一。
4.设向量组
可由向量组
线性无关 ，则 。
线性无关，则向量组 维向量组也线性无关（在原 线性表示，则表示法唯 线性表示，且向量组
例4
例5
例6
例7
例8
例9
向量组的秩
一、极大线性无关组 若存在部分组满足(I)向量组线性无关，(II)向量组中任意向量均
可由线性表示，则称向量组是向量组A的一个极大线性无关组。