北京市丰台区2019届高三数学上学期期末考试试题理
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费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量 X ,Y 的均值 E ( X ) 和 E(Y ) 的大小.（只需写出
结论）
18．（本小题 14 分）
已知椭圆
C:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右焦点为 F (1, 0)
，离心率为
1 2
，直线
l : y k(x 4) (k 0) 与椭圆 C 交于不同两点 M , N ，直线 FM , FN 分别交 y 轴于 A, B 两点.
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北京市丰台区 2019 届高三数学上学期期末考试试题 理
第一部分 （选择题 共 40 分） 一、 选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．已知集合 A {1, 0,1, 2,3}， B {x | 2 ≤ x ≤ 2} ，那么 A B
（A） {1, 0,1}
（B）{1, 0,1, 2}
（C）{1, 0,1, 2, 3}
（D）{x | 2 ≤ x ≤ 2}
答案：B
考点：集合的运算。
解析：取集合 A，B 的公共部分即可，所以， A B {1, 0,1, 2}
3 2
,
1) 2
如下图，可知θ＝∠AOB＝
6
，
12
秒旋转一周 2
，每
1
秒旋转
，
6
当 0 ≤t ≤ 6 时，
7
，
6
6
动点 A 的纵坐标为：y＝sinθ，
由
7
，得 1
y 1，所以，值域为： [ 1 ,1]
6
6
2
2
14．已知函数
f
(x)
x3 2x,
3x, x ≥ a, xa .
① 若 a 0 ，则函数 f ( x ) 的零点有____个；
-7-
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由 2x＝0（x<0）无解，所以，有 2 个零点。
②函数
f
(x)
x3 2x,
3x, x ≥ a, xa .
当 y x 3 3 x 时， y ' 3 x 2 3 ＝0，得 x＝±1
10． (2x 1)5 展开式中 x2 的系数为____．
答案：－40 考点：二项式定理。
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解析： Tr1 C5r (2x)5r (1)r ，令 r＝3，得系数为： 22 C53 ＝－40，
300
450
备受关注 百分比
25％
20％ 10％
23％
18％
8％
24％
备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区
的企业数的比值．
（Ⅰ）从企业产品展 7 个展区的企业中随机选取 1 家，求这家企业是选自“智能及高端装备”
展区备受关注的企业的概率；
（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注
则 z x 2 y 的最大值为____．
2x y 1≥ 0,
答案：1
考点：线性规划。
解析：不等式所示的平面区域如下图所示，
当目标函数 z x 2 y 经过点 A（1，0）时取得最大值为 1。
13．动点 A(x, y) 在圆 x2 y2 1 上沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一周.已知时间 t 0时， 点 A 的坐标是 ( 3 , 1 ) ，则当 0 ≤t ≤ 6 时，动点 A 的纵坐标 y 关于 t （单位：秒）的函 22
阶数阵
aa1211,,aa1222,,,,aa12nn
记作{ai j}mn（其中，当且仅当 i
s,
j
t
时，ai j
ast
）.
am1
② 若存在实数 m ，使得函数 y f ( x) m 总有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是
____．
答案：2；解析：①
当 a 0 时，
f
(
x)
x3
2x,
3x, x ≥ 0
，
x0
f ( x ) ＝0 时，由 x 3 3 x ＝0，得：x＝0 或 3 ，
Q 为棱 PD 的中点， PA AB ．
（Ⅰ）求证： AQ CD ； （Ⅱ）求直线 PC 与平面 ACQ 所成角的正弦值；
-8-
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（Ⅲ）求二面角 C AQ D 的余弦值．
17．（本小题 13 分） 2018 年 11 月 5 日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以
（A） 6 5
（B） 5 4
（C） 3 2
（D） 5 2
-3-
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答案：D
考点：双曲线的概念与性质。
解析：O、A 是固定点，M 是动点，
MO－MA＝（OB－MB）－（8－MB）＝4
所以，2a＝4，a＝2，
数的值域为____．
-6-
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答案： [ 1 ,1] 2
考点：圆的标准方程，函数的值域，三角函数。
解析：设平面直角坐标系的原点为 O，OA 与 x 轴正方向的夹角为θ，
因为 t=0 时，点 A (
（A） 3 4
（C） 5 6
（B） 4 5
（D） 6 7
答案：B
考点：程序框图。
1
解析：第 1 步：S＝ ，k＝1＜4，k＝k+1＝2
2
-1-
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2
第 2 步：S＝ ，k＝2＜4，k＝k+1＝3
进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展 分为 7 个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：
智能及高 消费电子
服装服饰及 食品及 医疗器械及 服务
展区类型
汽车
端装备 及家电
日用消费品 农产品 医药保健 贸易
展区的企 400
业数(家)
60
70
650
1670
（A） 2 2
（B）1
（C） 2
（D） 2
答案：C 考点：线面平行，面面平行。 解析：平面 EFG 截正方体的截面为 EFGHIJ，如下图所示，
-4-
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因为直线 D1P 与平面 EFG 不存在公共点，所以，D1P∥平面 EFGHIJ，
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）求证： | FA || FB | .
19．（本小题 13 分）
设函数
f
(x)
a sin
x
x
cos
x,
x [0,
]．
2
（Ⅰ）当 a 1 时，求证： f (x) ≥ 0 ； （Ⅱ）如果 f (x) ≥ 0 恒成立，求实数 a 的最小值．
20．（本小题 13 分）
将
m
n
x＝－1 时，y 有极小值为－2，x＝1 时，y 有极大值为 2，
函数图象如下图：
函数 y f ( x) m 总有三个不同的零点，即 y f ( x), y m 有 3 个交点， a＜－1 时， y m 与 y x 3 3 x 有 3 个交点 －1＜a＜0 时， y m 与 y x 3 3 x 有 2 个交点，与 y＝2x 有 1 个交点， 综上， a 0 且 a 1
9．在极坐标系中，圆 C： 2sin 的圆心到点 (1,0) 的距离为____．
答案： 2 考点：极坐标方程与普通方程的互化，两点之间的距离公式。
解析：圆方程为： 2 2 sin ，化为普通方程： x2 y2 2y ， 即： x2 ( y 1)2 1 ，圆心为（0,1）
所以，（0,1）与（1,0）两点之间的距离为： 2
2．若复数 (2 i)(a i) 的实部与虚部互为相反数，则实数 a
（A）3
（B） 1 3
（C） 1 3
答案：D
（D） 3
考点：复数的概念及其运算。
解析： (2 i)(a i) ＝ 2a 1 (2 a)i ，实部与虚部互为相反数，
所以， 2a 1 (2 a) 0，解得： a 3
3．执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为
3
3
第 3 步：S＝ ，k＝3＜4，k＝k+1＝4
4
4
4
第 4 步：S＝ ，k＝4＜4，否，退出循环，所以，S＝ 。
5
5
4．已知等差数列{an}中， a1 3 ， a2 6 .若 bn a2n ，则数列{bn} 的前 5 项和等于
（A）30
（B）45
（C）90
（D）186
答案：C
考点：等差数列的通项公式，前 n 项和。
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15．（本小题 13 分）在 △ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ，a3，b 2
3
，cos
B
1 3
.
（Ⅰ）求 c 的值；
（Ⅱ）求 △ABC 的面积.
16．（本小题 14 分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 PA底面 ABCD ，
（C） 2 2
（D） 2 3
答案：D 考点：三视图。 解析：该几何体可以看成是棱长为 2 正方体截出来的，如下图所示，
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BD＝2 2
最长的棱为 PD＝ PD2 BD2 8 4 2 3
11．能够说明“设 a,b 是任意非零实数．若
b a
1 ，则 b
a ”是假命题的一组整．数．a,b 的值
依次为____．
答案：满足 b a 0 且 a,b Z 即可
考点：命题真假的判断。
解析：答案不唯一，如 b＝－.4，a＝－2，满足 b 1 ，但 b＜a。 a
x y ≥1,
12．若 x, y 满足 x y ≤1,
7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆 OB 通过 O 处的铰链与固定好的短杆 OA 连接，取一条
定长的细绳，一端固定在点 A ，另一端固定在点 B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔
紧贴长杆 OB ，拉紧绳子，移动笔尖 M （长杆 OB 绕 O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部
分.若 | OA | 10 ， | OB | 12 ，细绳长为 8，则所得双曲线的离心率为
5
又 2c＝10，c＝5，所以，离心率为：e＝
2
8．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E , F , G 分别是棱 AB , BC , C C1 的中点，P 是底面 ABCD 内一动点，若直线 D1P 与平面 EFG 不存在公共点，则三角形 P B B1 的面积的最
小值为
的企业中，任选 2 家接受记者采访.
（i）记 X 为这 2 家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量 X 的分 布列；
（ii）假设表格中 7 个展区的备受关注百分比均提升 10％.记 Y 为这 2 家企业中来自于“消
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易证：平面 ACD1∥平面 EFGHIJ，
三角形
P
B
B1
的面积
S＝
1 2
PB
BB1
，BB1
的长度为
2，是一定值，
所以，当 PB 最短时，S 最小，
显然当 P 与 AC 中点 O 重合时，PB 最短，
三角形
P
B
B1
的面积的最小值为
S＝
1 2
22＝
2
第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
6．设 a， b 是非零向量，则“ a b ”是“ a2 ab ”的
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
答案：A
考点：充分必要条件。 解析：由 a2＝a•b，得 a2－a•b＝0，即 a（a－b）＝0，
所以，a⊥（a－b）或 a＝b，
所以，充分性成立，必要性不成立，是充分不必要条件。
解析：公差 d＝6－3＝3， an 3 (n 1) 3 3n ， bn a2n 6n ，数列{bn} 是以 6 为首项，6 为公差的等差数列，
前 5 项和为：S＝ 5´ 6 + 5´ 4 ´ 6 ＝90 2
5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为
（A）2
（B） 5
结论）
18．（本小题 14 分）
已知椭圆
C:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右焦点为 F (1, 0)
，离心率为
1 2
，直线
l : y k(x 4) (k 0) 与椭圆 C 交于不同两点 M , N ，直线 FM , FN 分别交 y 轴于 A, B 两点.
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北京市丰台区 2019 届高三数学上学期期末考试试题 理
第一部分 （选择题 共 40 分） 一、 选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．已知集合 A {1, 0,1, 2,3}， B {x | 2 ≤ x ≤ 2} ，那么 A B
（A） {1, 0,1}
（B）{1, 0,1, 2}
（C）{1, 0,1, 2, 3}
（D）{x | 2 ≤ x ≤ 2}
答案：B
考点：集合的运算。
解析：取集合 A，B 的公共部分即可，所以， A B {1, 0,1, 2}
3 2
,
1) 2
如下图，可知θ＝∠AOB＝
6
，
12
秒旋转一周 2
，每
1
秒旋转
，
6
当 0 ≤t ≤ 6 时，
7
，
6
6
动点 A 的纵坐标为：y＝sinθ，
由
7
，得 1
y 1，所以，值域为： [ 1 ,1]
6
6
2
2
14．已知函数
f
(x)
x3 2x,
3x, x ≥ a, xa .
① 若 a 0 ，则函数 f ( x ) 的零点有____个；
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由 2x＝0（x<0）无解，所以，有 2 个零点。
②函数
f
(x)
x3 2x,
3x, x ≥ a, xa .
当 y x 3 3 x 时， y ' 3 x 2 3 ＝0，得 x＝±1
10． (2x 1)5 展开式中 x2 的系数为____．
答案：－40 考点：二项式定理。
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解析： Tr1 C5r (2x)5r (1)r ，令 r＝3，得系数为： 22 C53 ＝－40，
300
450
备受关注 百分比
25％
20％ 10％
23％
18％
8％
24％
备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区
的企业数的比值．
（Ⅰ）从企业产品展 7 个展区的企业中随机选取 1 家，求这家企业是选自“智能及高端装备”
展区备受关注的企业的概率；
（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注
则 z x 2 y 的最大值为____．
2x y 1≥ 0,
答案：1
考点：线性规划。
解析：不等式所示的平面区域如下图所示，
当目标函数 z x 2 y 经过点 A（1，0）时取得最大值为 1。
13．动点 A(x, y) 在圆 x2 y2 1 上沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一周.已知时间 t 0时， 点 A 的坐标是 ( 3 , 1 ) ，则当 0 ≤t ≤ 6 时，动点 A 的纵坐标 y 关于 t （单位：秒）的函 22
阶数阵
aa1211,,aa1222,,,,aa12nn
记作{ai j}mn（其中，当且仅当 i
s,
j
t
时，ai j
ast
）.
am1
② 若存在实数 m ，使得函数 y f ( x) m 总有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是
____．
答案：2；解析：①
当 a 0 时，
f
(
x)
x3
2x,
3x, x ≥ 0
，
x0
f ( x ) ＝0 时，由 x 3 3 x ＝0，得：x＝0 或 3 ，
Q 为棱 PD 的中点， PA AB ．
（Ⅰ）求证： AQ CD ； （Ⅱ）求直线 PC 与平面 ACQ 所成角的正弦值；
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（Ⅲ）求二面角 C AQ D 的余弦值．
17．（本小题 13 分） 2018 年 11 月 5 日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以
（A） 6 5
（B） 5 4
（C） 3 2
（D） 5 2
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答案：D
考点：双曲线的概念与性质。
解析：O、A 是固定点，M 是动点，
MO－MA＝（OB－MB）－（8－MB）＝4
所以，2a＝4，a＝2，
数的值域为____．
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答案： [ 1 ,1] 2
考点：圆的标准方程，函数的值域，三角函数。
解析：设平面直角坐标系的原点为 O，OA 与 x 轴正方向的夹角为θ，
因为 t=0 时，点 A (
（A） 3 4
（C） 5 6
（B） 4 5
（D） 6 7
答案：B
考点：程序框图。
1
解析：第 1 步：S＝ ，k＝1＜4，k＝k+1＝2
2
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2
第 2 步：S＝ ，k＝2＜4，k＝k+1＝3
进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展 分为 7 个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：
智能及高 消费电子
服装服饰及 食品及 医疗器械及 服务
展区类型
汽车
端装备 及家电
日用消费品 农产品 医药保健 贸易
展区的企 400
业数(家)
60
70
650
1670
（A） 2 2
（B）1
（C） 2
（D） 2
答案：C 考点：线面平行，面面平行。 解析：平面 EFG 截正方体的截面为 EFGHIJ，如下图所示，
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因为直线 D1P 与平面 EFG 不存在公共点，所以，D1P∥平面 EFGHIJ，
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）求证： | FA || FB | .
19．（本小题 13 分）
设函数
f
(x)
a sin
x
x
cos
x,
x [0,
]．
2
（Ⅰ）当 a 1 时，求证： f (x) ≥ 0 ； （Ⅱ）如果 f (x) ≥ 0 恒成立，求实数 a 的最小值．
20．（本小题 13 分）
将
m
n
x＝－1 时，y 有极小值为－2，x＝1 时，y 有极大值为 2，
函数图象如下图：
函数 y f ( x) m 总有三个不同的零点，即 y f ( x), y m 有 3 个交点， a＜－1 时， y m 与 y x 3 3 x 有 3 个交点 －1＜a＜0 时， y m 与 y x 3 3 x 有 2 个交点，与 y＝2x 有 1 个交点， 综上， a 0 且 a 1
9．在极坐标系中，圆 C： 2sin 的圆心到点 (1,0) 的距离为____．
答案： 2 考点：极坐标方程与普通方程的互化，两点之间的距离公式。
解析：圆方程为： 2 2 sin ，化为普通方程： x2 y2 2y ， 即： x2 ( y 1)2 1 ，圆心为（0,1）
所以，（0,1）与（1,0）两点之间的距离为： 2
2．若复数 (2 i)(a i) 的实部与虚部互为相反数，则实数 a
（A）3
（B） 1 3
（C） 1 3
答案：D
（D） 3
考点：复数的概念及其运算。
解析： (2 i)(a i) ＝ 2a 1 (2 a)i ，实部与虚部互为相反数，
所以， 2a 1 (2 a) 0，解得： a 3
3．执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为
3
3
第 3 步：S＝ ，k＝3＜4，k＝k+1＝4
4
4
4
第 4 步：S＝ ，k＝4＜4，否，退出循环，所以，S＝ 。
5
5
4．已知等差数列{an}中， a1 3 ， a2 6 .若 bn a2n ，则数列{bn} 的前 5 项和等于
（A）30
（B）45
（C）90
（D）186
答案：C
考点：等差数列的通项公式，前 n 项和。
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15．（本小题 13 分）在 △ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ，a3，b 2
3
，cos
B
1 3
.
（Ⅰ）求 c 的值；
（Ⅱ）求 △ABC 的面积.
16．（本小题 14 分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 PA底面 ABCD ，
（C） 2 2
（D） 2 3
答案：D 考点：三视图。 解析：该几何体可以看成是棱长为 2 正方体截出来的，如下图所示，
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BD＝2 2
最长的棱为 PD＝ PD2 BD2 8 4 2 3
11．能够说明“设 a,b 是任意非零实数．若
b a
1 ，则 b
a ”是假命题的一组整．数．a,b 的值
依次为____．
答案：满足 b a 0 且 a,b Z 即可
考点：命题真假的判断。
解析：答案不唯一，如 b＝－.4，a＝－2，满足 b 1 ，但 b＜a。 a
x y ≥1,
12．若 x, y 满足 x y ≤1,
7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆 OB 通过 O 处的铰链与固定好的短杆 OA 连接，取一条
定长的细绳，一端固定在点 A ，另一端固定在点 B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔
紧贴长杆 OB ，拉紧绳子，移动笔尖 M （长杆 OB 绕 O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部
分.若 | OA | 10 ， | OB | 12 ，细绳长为 8，则所得双曲线的离心率为
5
又 2c＝10，c＝5，所以，离心率为：e＝
2
8．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E , F , G 分别是棱 AB , BC , C C1 的中点，P 是底面 ABCD 内一动点，若直线 D1P 与平面 EFG 不存在公共点，则三角形 P B B1 的面积的最
小值为
的企业中，任选 2 家接受记者采访.
（i）记 X 为这 2 家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量 X 的分 布列；
（ii）假设表格中 7 个展区的备受关注百分比均提升 10％.记 Y 为这 2 家企业中来自于“消
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易证：平面 ACD1∥平面 EFGHIJ，
三角形
P
B
B1
的面积
S＝
1 2
PB
BB1
，BB1
的长度为
2，是一定值，
所以，当 PB 最短时，S 最小，
显然当 P 与 AC 中点 O 重合时，PB 最短，
三角形
P
B
B1
的面积的最小值为
S＝
1 2
22＝
2
第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
6．设 a， b 是非零向量，则“ a b ”是“ a2 ab ”的
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
答案：A
考点：充分必要条件。 解析：由 a2＝a•b，得 a2－a•b＝0，即 a（a－b）＝0，
所以，a⊥（a－b）或 a＝b，
所以，充分性成立，必要性不成立，是充分不必要条件。
解析：公差 d＝6－3＝3， an 3 (n 1) 3 3n ， bn a2n 6n ，数列{bn} 是以 6 为首项，6 为公差的等差数列，
前 5 项和为：S＝ 5´ 6 + 5´ 4 ´ 6 ＝90 2
5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为
（A）2
（B） 5