证券投资基金：APT与风险收益多因素模型在基金估值中的应用
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双因素模型其中的又称为因素敏感度因子载荷因子arbitragepricingtheory三个基本假设ross1976证券收益能用因素模型表示有足够多的证券来分散不同的风险有效率的证券市场不允许持续性的套利机会1021无风险套利使用零投资组合zeroinvestmentportfolio无风险套利行为实际上是一价法则thelawoneprice在金融市场中的应用无风险套利组合的重要性质
5. 在CAPM中，证券的风险只与市场组合的β相关， 它只给出了市场风险大小，而没有表明风险来 自何处。APT承认有多种因素影响证券价格， 从而扩大了资产定价的思考范围（CAPM认为 资产定价仅有一个因素，后拓展为多因素模 型），也为识别证券风险的来源提供了分析工 具。
6.从应用来看，capm模型更多应用于单项资产定价 的基准；APT应用于组合定价，应用于单个资产定 价可能有所误差。
➢ APT模型可以得到与CAPM类似的期望回报b直线关系，但并不要求组合一定是市场组合， 可以是任何风险分散良好的组合
3. 其他假设前提的差异，APT要求的约束更少， 更符合现实。核心体现：同质性预期与马科维 茨理性
4. APT的推导以无套利为核心，CAPM则以均值 －方差模型为核心，隐含投资者风险厌恶的假 设，但APT无此假设。
10
▪ APT的基本原理：由无套利原则，在因素 模型下，具有相同因素敏感性的资产（组 合）应提供相同的期望收益率。
▪ APT与CAPM的比较（假设前提）
➢ APT对资产的评价不是基于马克维茨模型， 而是基于无套利原则和因素模型。
➢ 不要求“同质期望”假设，并不要求人人一致 行动。只需要少数投资者的套利活动就能消除 套利机会。
5
二、 多因素模型概述 （Multi-Factor model）
▪ 指数模型：用一个市场指数替代所有的宏 观经济风险
▪ 改进思路：将注意力直接放在风险的根本 来源上比间接地运用市场替代更有效
6
1 证券收益的因素模型
单因素模型：ri E(ri ) i F ei
F表公共因素对其期望的偏离，即未预期到的变化。 根据市场有效性原则，其期望=0
也就是15％的收益率是不满足无套利的，若无套利， 则收益率应该是16％。（如何套利？）
例子
使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。若无风 险利率为6％，若当前收益为15%，该股票价格是低 估还是高估了？解释原因。
根据APT，该股票的期望收益率为
r rf 1.0I 0.5R 0.75c
6% 1 6% 0.5 2% 0.75 4%
16%
股票当前的预期收益率E(r) = 15％(因为所有因素 的预期到的变动都定义为0 )。基于风险的要求收益 率超过了实际的预期收益率，我们可以得出结论说 该股票定价过高。
9
2.1 套利、风险套利与均衡
▪ 无风险套利使用零投资组合(zeroinvestment portfolio)
▪ 无风险套利行为实际上是一价法则(the law of one price)在金融市场中的应用
▪ 无风险套利组合的重要性质：任何投资者， 不管其风险态度如何，都愿意更多地拥有 该项组合头寸
➢ 不要求投资者是风险规避的
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2.2 充分分散的投资组合
Well - diversified portfolio
考虑n个证券的等权重资产组合，
其中每个证券的收益为：ri E(ri ) i F ei 组合P的收益：rP E(rP ) P F eP
其中，P wii , eP wiei
2020/12/6
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2 指数模型和已实现收益
为了是期望收益变成已实现的数以，我们可 以运用指数模型。超额收益写成下列形式：
Ri i iRM ei
Cov(Ri , RM ) Cov(iRM ei , RM )
iCov(
RM
,
RM
)
Cov(ei
,
RM
)
i
2 M
i
Cov(Ri ,
2 M
RM
)
即 指数模型得到了与CAPM一样表达式的贝塔。
16
图 An Arbitrage Opportunity
17
2.4 单因素套利定价
证明：市场组合M也是充分分散化的组合，
若有任一充分分散化的投资组合P，
且P M
1,则有：E(rP ) rf E(rM ) rf
P M
E(rP ) rf P[E(rM ) rf ]
没用到CAPM严格的假设，得到了与 CAPM差不多的结论
定价模型预测的可能期望收益的部分。如果股票公平
定价则其必定为零。
2020/12/6
4
▪ 套利
➢ 套利指一个能产生无风险 盈利的交易策略
▪ 资本市场均衡：不存在套利机会（无套利 均衡）
▪ 套利定价理论：在无套利均衡下资产价格 的决定
一价定律：两种资产未来所有现金流均相等， 那么二者的市场价格应该相等。
7
1 证券收益的因素模型
扩展：双因素模型
ri E(ri ) iGDPGDP iIR IR ei 其中的 又称为因素敏感度、因子载荷、因子
8
2 套利定价理论 (Arbitrage Pricing Theory)
▪ 三个基本假设Ross (1976)
➢ 证券收益能用因素模型表示 ➢ 有足够多的证券来分散不同的风险 ➢ 有效率的证券市场不允许持续性的套利机会
则组合风险：
2 P
P2
2 F
2 (eP )
又：
2 (eP )
n i 1
1 2
n
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱei )
1
n
2 (ei )
其中，
2
(ei
)
2 (ei n
)
,
又E(ei
)
0
于是有：rP E(rP ) P F ,且： P P F
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图 Returns as a Function of the Systematic Factor
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3
3 市场指数模型和期望收益-贝塔关系
比较CAPM：E(ri ) rf i[E(rM ) rf ]
与指数模型的期望形式：
E(ri ) rf i i[E(rM ) rf ] 可知二者差别在于，CAPM 认为所有的i都为0。 一个股票的值是它超过（或者低于）通过资本资产
APT与风险收益多因素模型 在基金估值中的应用
一、资本资产定价模型和指数模型
1 实际收益与期望收益 ▪ 资本资产定价模型揭示各种期望收益之间
的关系，但是在现实中，能够观察到的是 实际的或已实现的持有期收益。而且，期 望收益与 关系也是根据期望收益 E(ri )与E（rm）
E(r) rf (E(rM ) rf ) 因此，资本资产定价模型需要附加的假设 条件下才能起作用并可以检验。
13
2.3 贝塔与期望收益
▪ 套利准则一：如果两个充分分散化的投资 组合具有相同的β值，则它们在市场中必 有相同的预期收益。
▪ 套利准则二：如果两个充分分散化的投资 组合β值不同，则其风险溢价应正比例于 β
14
数学描述：
ri E(ri ) i F ei
准则一：若有充分分散化的投资组合P、Q，
的资产组合，因此它们的期望收益也应该相等， 如果不是将出现套利机会。从而也得到了APT的表达式。
21
CAPM与APT的区别
1. 若纯因子组合不是市场组合，则APT与 CAPM不一定一致，CAPM仅仅是APT的 特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时， CAPM与APT等价。
2. 在CAPM中，市场组合居于不可或缺的地 位（若无此，则其理论瓦解），但APT即 使在没有市场组合条件下仍成立。
以判断有无套利机会。 组合构建方法：
按比例i1、i2、(1 i1 i2 )投资于
因素组合1、因素组合2、无风险资产
20
▪ 以这种方式构建的投资组合与原投资组合具有相
同的 ，其期望收益为：
E（rQ） p1E（r1） p2E（r2） (1 p1 p2 )rf E（rQ） rf p1 E（r1）-rf p2 E（r2）-rf 由因素组合构建一个和目标资产组合相同
18
Figure The Security Market Line
19
3、多因素套利定价理论
▪ 因素投资组合(factor portfolio)，亦为跟踪投资 组合(tracking portfolio)，也称纯因子组合
▪ 双因素模型：
ri E(ri ) i1F1 i2F2 ei 由因素组合构建一个和目标资产组合相同的资产组合，
且P Q ,则必有：E(rP ) E(rQ )
准则二：若有充分分散化的投资组合P、Q，
且 P
Q
,
则必有：E(rP E(rQ
) )
rf rf
P Q
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图 Returns as a Function of the Systematic Factor: An Arbitrage Opportunity
5. 在CAPM中，证券的风险只与市场组合的β相关， 它只给出了市场风险大小，而没有表明风险来 自何处。APT承认有多种因素影响证券价格， 从而扩大了资产定价的思考范围（CAPM认为 资产定价仅有一个因素，后拓展为多因素模 型），也为识别证券风险的来源提供了分析工 具。
6.从应用来看，capm模型更多应用于单项资产定价 的基准；APT应用于组合定价，应用于单个资产定 价可能有所误差。
➢ APT模型可以得到与CAPM类似的期望回报b直线关系，但并不要求组合一定是市场组合， 可以是任何风险分散良好的组合
3. 其他假设前提的差异，APT要求的约束更少， 更符合现实。核心体现：同质性预期与马科维 茨理性
4. APT的推导以无套利为核心，CAPM则以均值 －方差模型为核心，隐含投资者风险厌恶的假 设，但APT无此假设。
10
▪ APT的基本原理：由无套利原则，在因素 模型下，具有相同因素敏感性的资产（组 合）应提供相同的期望收益率。
▪ APT与CAPM的比较（假设前提）
➢ APT对资产的评价不是基于马克维茨模型， 而是基于无套利原则和因素模型。
➢ 不要求“同质期望”假设，并不要求人人一致 行动。只需要少数投资者的套利活动就能消除 套利机会。
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二、 多因素模型概述 （Multi-Factor model）
▪ 指数模型：用一个市场指数替代所有的宏 观经济风险
▪ 改进思路：将注意力直接放在风险的根本 来源上比间接地运用市场替代更有效
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1 证券收益的因素模型
单因素模型：ri E(ri ) i F ei
F表公共因素对其期望的偏离，即未预期到的变化。 根据市场有效性原则，其期望=0
也就是15％的收益率是不满足无套利的，若无套利， 则收益率应该是16％。（如何套利？）
例子
使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。若无风 险利率为6％，若当前收益为15%，该股票价格是低 估还是高估了？解释原因。
根据APT，该股票的期望收益率为
r rf 1.0I 0.5R 0.75c
6% 1 6% 0.5 2% 0.75 4%
16%
股票当前的预期收益率E(r) = 15％(因为所有因素 的预期到的变动都定义为0 )。基于风险的要求收益 率超过了实际的预期收益率，我们可以得出结论说 该股票定价过高。
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2.1 套利、风险套利与均衡
▪ 无风险套利使用零投资组合(zeroinvestment portfolio)
▪ 无风险套利行为实际上是一价法则(the law of one price)在金融市场中的应用
▪ 无风险套利组合的重要性质：任何投资者， 不管其风险态度如何，都愿意更多地拥有 该项组合头寸
➢ 不要求投资者是风险规避的
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2.2 充分分散的投资组合
Well - diversified portfolio
考虑n个证券的等权重资产组合，
其中每个证券的收益为：ri E(ri ) i F ei 组合P的收益：rP E(rP ) P F eP
其中，P wii , eP wiei
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2 指数模型和已实现收益
为了是期望收益变成已实现的数以，我们可 以运用指数模型。超额收益写成下列形式：
Ri i iRM ei
Cov(Ri , RM ) Cov(iRM ei , RM )
iCov(
RM
,
RM
)
Cov(ei
,
RM
)
i
2 M
i
Cov(Ri ,
2 M
RM
)
即 指数模型得到了与CAPM一样表达式的贝塔。
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图 An Arbitrage Opportunity
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2.4 单因素套利定价
证明：市场组合M也是充分分散化的组合，
若有任一充分分散化的投资组合P，
且P M
1,则有：E(rP ) rf E(rM ) rf
P M
E(rP ) rf P[E(rM ) rf ]
没用到CAPM严格的假设，得到了与 CAPM差不多的结论
定价模型预测的可能期望收益的部分。如果股票公平
定价则其必定为零。
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▪ 套利
➢ 套利指一个能产生无风险 盈利的交易策略
▪ 资本市场均衡：不存在套利机会（无套利 均衡）
▪ 套利定价理论：在无套利均衡下资产价格 的决定
一价定律：两种资产未来所有现金流均相等， 那么二者的市场价格应该相等。
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1 证券收益的因素模型
扩展：双因素模型
ri E(ri ) iGDPGDP iIR IR ei 其中的 又称为因素敏感度、因子载荷、因子
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2 套利定价理论 (Arbitrage Pricing Theory)
▪ 三个基本假设Ross (1976)
➢ 证券收益能用因素模型表示 ➢ 有足够多的证券来分散不同的风险 ➢ 有效率的证券市场不允许持续性的套利机会
则组合风险：
2 P
P2
2 F
2 (eP )
又：
2 (eP )
n i 1
1 2
n
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱei )
1
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其中，
2
(ei
)
2 (ei n
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,
又E(ei
)
0
于是有：rP E(rP ) P F ,且： P P F
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图 Returns as a Function of the Systematic Factor
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3 市场指数模型和期望收益-贝塔关系
比较CAPM：E(ri ) rf i[E(rM ) rf ]
与指数模型的期望形式：
E(ri ) rf i i[E(rM ) rf ] 可知二者差别在于，CAPM 认为所有的i都为0。 一个股票的值是它超过（或者低于）通过资本资产
APT与风险收益多因素模型 在基金估值中的应用
一、资本资产定价模型和指数模型
1 实际收益与期望收益 ▪ 资本资产定价模型揭示各种期望收益之间
的关系，但是在现实中，能够观察到的是 实际的或已实现的持有期收益。而且，期 望收益与 关系也是根据期望收益 E(ri )与E（rm）
E(r) rf (E(rM ) rf ) 因此，资本资产定价模型需要附加的假设 条件下才能起作用并可以检验。
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2.3 贝塔与期望收益
▪ 套利准则一：如果两个充分分散化的投资 组合具有相同的β值，则它们在市场中必 有相同的预期收益。
▪ 套利准则二：如果两个充分分散化的投资 组合β值不同，则其风险溢价应正比例于 β
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数学描述：
ri E(ri ) i F ei
准则一：若有充分分散化的投资组合P、Q，
的资产组合，因此它们的期望收益也应该相等， 如果不是将出现套利机会。从而也得到了APT的表达式。
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CAPM与APT的区别
1. 若纯因子组合不是市场组合，则APT与 CAPM不一定一致，CAPM仅仅是APT的 特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时， CAPM与APT等价。
2. 在CAPM中，市场组合居于不可或缺的地 位（若无此，则其理论瓦解），但APT即 使在没有市场组合条件下仍成立。
以判断有无套利机会。 组合构建方法：
按比例i1、i2、(1 i1 i2 )投资于
因素组合1、因素组合2、无风险资产
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▪ 以这种方式构建的投资组合与原投资组合具有相
同的 ，其期望收益为：
E（rQ） p1E（r1） p2E（r2） (1 p1 p2 )rf E（rQ） rf p1 E（r1）-rf p2 E（r2）-rf 由因素组合构建一个和目标资产组合相同
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Figure The Security Market Line
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3、多因素套利定价理论
▪ 因素投资组合(factor portfolio)，亦为跟踪投资 组合(tracking portfolio)，也称纯因子组合
▪ 双因素模型：
ri E(ri ) i1F1 i2F2 ei 由因素组合构建一个和目标资产组合相同的资产组合，
且P Q ,则必有：E(rP ) E(rQ )
准则二：若有充分分散化的投资组合P、Q，
且 P
Q
,
则必有：E(rP E(rQ
) )
rf rf
P Q
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图 Returns as a Function of the Systematic Factor: An Arbitrage Opportunity