南皮县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

南皮县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．若A（3，﹣6），B（﹣5，2），C（6，y）三点共线，则y=（）
A．13 B．﹣13 C．9 D．﹣9
2．在△ABC中，若a=2bcosC，则△ABC一定是（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
3．已知变量,x y满足约束条件
20
1
70
x y
x
x y
-+≤
⎧
⎪
≥
⎨
⎪+-≤
⎩
，则y
x
的取值范围是（）
A．
9
[,6]
5
B．
9
(,][6,)
5
-∞+∞C．(,3][6,)
-∞+∞D．[3,6]
4．已知命题p：“∀x∈R，e x＞0”，命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，则（）
A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题
5．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）
A．2 B．6 C．
4D．
2
6．某几何体的三视图如图所示（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）
A．20+2πB．20+3πC．24+3πD．24+3π
7．若数列{a n}的通项公式a n=5
（）2n﹣2﹣4
（）n﹣1（n∈N*），{a n}的最大项为第p项，最小项为第q项，则q﹣p等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8． 下列函数中，与函数()3
x x
e e
f x --=的奇偶性、单调性相同的是（ ）
A ．(ln y x =
B ．2y x =
C ．tan y x =
D ．x y e = 9． 在复平面内，复数（﹣4+5i ）i （i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．下列说法正确的是（ ）
A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”
B ．命题“∃x 0∈R ，x
+x 0﹣1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x ﹣1＞0”
C ．命题“若x=y ，则sin x=sin y ”的逆否命题为假命题
D ．若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题
11．设a ，b 为实数，若复数，则a ﹣b=（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
12．“方程
+
=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）条件．
A ．必要不充分
B ．充要
C ．充分不必要
D ．不充分不必要
二、填空题
13．已知△ABC 的面积为S ，三内角A ，B ，C 的对边分别为，，．若2
2
2
4S a b c +=+， 则sin cos()4
C B π
-+
取最大值时C = ．
14．已知点M （x ，y ）满足，当a ＞0，b ＞0时，若ax+by 的最大值为12，则+的最小值
是 ．
15．设a 抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为 ．
16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，若对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立，则实数x 的取值范围为 ．
17．曲线y=x+e x 在点A （0，1）处的切线方程是 ．
18．当时，4x
＜log a x ，则a 的取值范围 ．
三、解答题
19．已知等比数列
中，。

（1）求数列的通项公式;
（2）设等差数列中，
，求数列
的前项和
.
20．已知{a n }为等比数列，a 1=1，a 6=243．S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1=3，S 5=35． （1）求{a n }和{B n }的通项公式； （2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ，求T n ．
21．（本小题满分12分）已知过抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点，斜率为11A x y （，）
和22B x y （，）（12x x ＜）两点，且9
2
AB =． （I ）求该抛物线C 的方程；
（II ）如图所示，设O 为坐标原点，取C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与C 相交另外一点R ， 求该圆面积的最小值时点S 的坐标．
22．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=ax 2+lnx （a ∈R ）． （1）当a=
1
2
时，求f （x ）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （2）如果函数g （x ），f 1（x ），f 2（x ），在公共定义域D 上，满足f 1（x ）＜g （x ）＜f 2（x ），那么就称g （x ）为f 1（x ），f 2（x ）
的“活动函数”．已知函数()()
22
1121-a ln ,2f x a x ax x ⎛
⎫=-++ ⎪⎝⎭
.()22
122f x x ax =+。

若在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”，求a 的取值范围．
4天的用电量与当天气温．
（1）求线性回归方程；（）
（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．24．在平面直角坐标系XOY中，圆C：（x﹣a）2+y2=a2，圆心为C，圆C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横
坐标为2．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l2与l1垂直，且与圆C交于不同两点A、B，若S△ABC=2，求直线l2的方程．
南皮县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：由题意， =（﹣8，8），
=（3，y+6）．
∵
∥，∴﹣8（y+6）﹣24=0，∴y=﹣9，
故选D ．
【点评】本题考查三点共线，考查向量知识的运用，三点共线转化为具有公共点的向量共线是关键．
2． 【答案】B
【解析】解：由余弦定理得cosC=，
把cosC 代入a=2bcosC 得：
，
∴a 2=a 2+b 2﹣c 2，
∴c 2=b 2
．又b 和c 都大于0， 则b=c ，即三角形为等腰三角形．
故选B
【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的形状判定，利用余弦定理表示出cosC 是本题的突破点．
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），y
x 表示点(,)x y 与原点连线的斜率，易得59(,)22
A ，
(1,6)B ，9
9
2552
OA
k ==，661OB k ==，所以965y x ≤≤．故选A ．
考点：简单的线性规划的非线性应用．
4．【答案】C
【解析】解：命题p：“∀x∈R，e x＞0”，是真命题，
命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，即﹣x0+2＜0，
即：+＜0，显然是假命题，
∴p∨q真，p∧q假，p∧（￢q）真，p∨（￢q）假，
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数的性质，解不等式问题，考查复合命题的判断，是一道基础题．
5．【答案】B
【解析】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC==2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|===6．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
6． 【答案】B
【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的柱体（一个半圆柱与正方体的组合体），
其底面面积S=2×2+=4+
，
底面周长C=2×3+
=6+π，高为2，
故柱体的侧面积为：（6+π）×2=12+2π，
故柱体的全面积为：12+2π+2（4+）=20+3π，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．
7． 【答案】A
【解析】解：设=t ∈（0，1]，a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），
∴a n =5t 2
﹣4t=
﹣，
∴a n ∈
，
当且仅当n=1时，t=1，此时a n 取得最大值；同理n=2时，a n 取得最小值．
∴q ﹣p=2﹣1=1， 故选：A ． 【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
8． 【答案】A 【解析】
试题分析：()()f x f x -=-所以函数为奇函数，且为增函数.B 为偶函数，C 定义域与()f x 不相同，D 为非奇非偶函数，故选A.
考点：函数的单调性与奇偶性． 9． 【答案】B
【解析】解：∵（﹣4+5i ）i=﹣5﹣4i ， ∴复数（﹣4+5i ）i 的共轭复数为：﹣5+4i ，
∴在复平面内，复数（﹣4+5i ）i 的共轭复数对应的点的坐标为：（﹣5，4），位于第二象限．
故选：B．
10．【答案】D
【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；
B．命题“∃x0∈R，x+x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”，因此不正确；
C．命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确；
D．命题“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，正确．
故选：D．
11．【答案】C
【解析】解：，因此．a﹣b=1．
故选：C．
12．【答案】C
【解析】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，
即﹣3＜m＜5且m≠1，此时﹣3＜m＜5成立，即充分性成立，
当m=1时，满足﹣3＜m＜5，但此时方程+=1即为x2+y2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要性不成立．
故“方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的充分不必要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．
二、填空题
13．【答案】
4
【解析】
考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1
【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及
2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为
正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式
111sin ,,(),2224abc ab C ah a b c r R
++. 14．【答案】 4 ．
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得：A （3，4），
显然直线z=ax+by 过A （3，4）时z 取到最大值12，
此时：3a+4b=12，即+=1，
∴+=（+）（+）=2++
≥2+2
=4，
当且仅当3a=4b 时“=”成立， 故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．
15．【答案】．
【解析】解：∵a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，
∴试验发生包含的事件数6，
∵方程x2+ax+a=0 有两个不等实根，
∴a2﹣4a＞0，
解得a＞4，
∵a是正整数，
∴a=5，6，
即满足条件的事件有2种结果，
∴所求的概率是=，
故答案为：
【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．
16．【答案】（﹣∞，]∪[，+∞）．
【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2a n+1=a n，
∴数列{a n}是以1为首项，以为公比的等比数列，
S n==2﹣（）n﹣1，
对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞S n恒成立，
∴x2+tx+1≥2，
x2+tx﹣1≥0，
令f（t）=tx+x2﹣1，
∴，
解得：x≥或x≤，
∴实数x的取值范围（﹣∞，]∪[，+∞）．
17．【答案】2x﹣y+1=0．
【解析】解：由题意得，y′=（x+e x）′=1+e x，
∴点A（0，1）处的切线斜率k=1+e0=2，
则点A（0，1）处的切线方程是y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0，
故答案为：2x﹣y+1=0．
【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于基础题．
18．【答案】．
【解析】解：当时，函数y=4x的图象如下图所示
若不等式4x＜log a x恒成立，则y=log a x的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）
∵y=log a x的图象与y=4x的图象交于（，2）点时，a=
故虚线所示的y=log a x的图象对应的底数a应满足＜a＜1
故答案为：（，1）
三、解答题
19．【答案】
【解析】
解：（1）设等比数列的公比为
由已知，得，解得
（2）由（1）得
设等差数列的公差为，则，解得
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵{a n}为等比数列，a1=1，a6=243，
∴1×q5=243，解得q=3，
∴．
∵S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．
∴5×3+d=35，解得d=2，
b n=3+（n﹣1）×2=2n+1．
（Ⅱ）∵T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，
∴
①
②
①﹣②得：
，
整理得：．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力．
因
为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
，所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2
222
256y y =
即2
2y ＝16，24y =?时等号成立. 圆的直径OS
=
因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8
时，min OS =S 的坐标为
168±（，）． 22．【答案】（1）()()2max
min 11,.22e f x f x =+= （2）a 的范围是11,24⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
【解析】试题分析：（1）由题意得 f （x ）=12x 2+lnx ，()
2'11f
0x x x x x
+=+=>，∴f （x ）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．
试题解析：
（1）当
时，
，
；
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴，．
（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）令
＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，
∵
若，令p′（x）=0，得极值点x1=1，，
当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，
所以≤a≤．
又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，
h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤
综合可知a的范围是[，]．
23．【答案】
【解析】解：（1）由表可得：；
又；
∴，；
∴线性回归方程为：；
（2）根据回归方程：当x=10时，y=﹣2×10+50=30；
∴估计当气温为10℃时的用电量为30度．
【点评】考查回归直线的概念，以及线性回归方程的求法，直线的斜截式方程．
24．【答案】
【解析】解：（1）由圆C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横坐标为2，
可知交点坐标为（2，﹣2），
∴（2﹣a）2+（﹣2）2=a2，解得：a=2，
所以圆的标准方程为：（x﹣2）2+y2=4，
（2）由（1）可知圆C的圆心C的坐标为（2，0）
由直线l2与直线l1垂直，直线l1：y=﹣x可设直线l2：y=x+m，
则圆心C到AB的距离d=，
|AB|=2=2
所以S△ABC=|AB|•d=•2•=2
令t=（m+2）2，化简可得﹣2t2+16t﹣32=﹣2（t﹣4）2=0，
解得t=（m+2）2=4，
所以m=0，或m=﹣4
∴直线l2的方程为y=x或y=x﹣4．。