高二年段文科数学上学期选修模块考试

高二年段文科数学上学期选修模块考试卷
命题者：林永忠 审核者：林伟 08、01、30
一、选择题（每小题只有一个正确的选项，12小题，共60分） 1、在复平面内，复数
1i
i
+对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限
D 、第四象限
2、设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是（ ）
A 、ad －bc=0
B 、ac －bd=0
C 、ac+bd=0
D 、ad+bc=0
3、32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）
A 、－2
B 、0
C 、 2
D 、4 4、如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，
则1A 到平面AB C 1D 1的距离为（ ） A 、
2
3 B 、2
2
C 、
2
1 D 、
3
3 5、如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方
程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ ）
D
A 、36
B 、2
C 、4
D 、1
6、抛物线24x y =-的准线方程是（ ） A 、y=1
B 、y=-1
C 、x=-1
D 、x=1
7、已知动点P ，定点)0,1(M 和)0,3(N ，若||||PM PN -＝2，则点P 的轨迹是（ ）
A 、双曲线
B 、双曲线的一支
C 、两条射线
D 、一条射线
8、PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，
每两条
射线的夹角均为060，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ） A 、
21 B 、22 C 、33 D 、3
6 9、过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则 其 中一条切线为（ ）
A 、10x y -+=
B 、330x y -+=
C 、10x y ++=
D 、
220x y ++=
10、如果()f x 为偶函数，且导数()f x 存在，则()0f '的值为 （ ）
A 、2
B 、1
C 、0
D 、－1
11、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，
有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖。

”乙说：“甲、丙都未获奖。

”丙说：“我获奖了。

”丁说：“是乙获奖。

”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）
A 、甲
B 、乙
C 、丙
D 、丁
12、已知双曲线122
22=-b
y a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角
为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则c a
的取值范围是（ ）
A 、( 1,2)
B 、(1,2)
C 、[2,+∞]
D 、(2,+∞) 二、填空题（4小题，共16分） 13、一个物体的运动方程为ln ()t
s t t
=
，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在1 秒末的瞬时速度是 米/秒。

14、数列2、5、11、20、x 、47、……中的x 值
为 。

15、已知函数()3225f x x ax x =+-+在2,13-⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在()
1,+∞上单调递增，且函数()f x 的导数记为()f x '，则下列结论正确的命题是 .
① 23
-是方程()0f x '=的根；②1是方程()0f x '=的根；③ 有
极小值()1f ；
④有极大值23f -⎛⎫
⎪⎝⎭
； ⑤ 12a =-。

16、若三角形的内切圆的半径为r ，三边长为,,a b c ，则三角形的面积
1
()2
s r a b c =
++；根据类比的思想，若四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积为1234,,,s s s s ，则四面体的体积V ＝ 。

三、解答题（6小题，共74分）
17、已知椭圆C 的焦点分别为F 1（22-，0）和F 2（22，0），长轴
长为6，设直线y=x+2交椭圆C 于A 、B 两点，求椭圆方程和线段AB 的中点坐标。

18、已知函数bx ax x x f 23)(23+-=在1=x 处有极小值1-,
(1)求函数)(x f 的表达式 ；
(2)求函数)(x f 的单调递增区间与单调递减区间？ (3)求函数)(x f 在闭区间[]2,2+-上的最大值与最小值？
19、如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动.
（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；
（2）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4
π
.
20的得分计算。

（一）已知,,a b c R +∈，
①求证：222a b c ab bc ac ++≥++；
②若1a b c ++=，利用①的结论求ab bc ac ++的最大值。

（二）已知,,,a b x y R +∈，
①求证：222
()x y x y a b a b
++≥+。

②利用①的结论求
191(0)2122
x x x +<<-的最小值。

21、把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为x cm的相等的正方
形，然后折成一个高度为x cm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数(0)
k k>，
（1）用x和k表示出长方体的体积的表达式()
V V x
=，并给出函数的定义域；
（2）问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？
22、抛物线方程为y2=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛
物线的准线的右边.
（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；
（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，
求p关于m的函数f（m）的表达式；
2，（3）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为
2求此直线的方程；
莆田四中0007－2008学年上学期 高二年段数学（文）选修模块考试卷参考答案
1——12：DDCBB ；ADCAC ；CC
13：1； 14：32 ； 15：①②③④⑤； 16：
12341
()3
V R s s s s =+++
17、解析：设椭圆C 的方程为122
22=+b
y a x ，
由
题
意
a=3
，
c=2
2，于是
b=1. ………………4分
∴
椭
圆
C
的
方
程
为
9
2
x ＋y 2＝
1． ……………………6分
由
⎪⎩
⎪⎨⎧=++=1922
2y x x y 得
10x 2
＋36x ＋27＝
0， ………………8分
因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，
设
A （x 1，y 1），
B （x 2，y 2），则
x 1＋x 2＝
5
18
-
， ………………10分 故
线
段
AB
的
中
点
坐
标
为
（5
1,59-）． …………12分 18
、
解
析
(1)2
1
,31-==b a ,bx ax x x f 23)(23+-= ……………
…4分 (2)
增
区
间
为
:
)
,1(),3
1
,(+∞--∞ 减区间
为:)1,3
1
(- …………8分
(3)10,
2min max -==y y ………………………
… ………………12分
19、解法（一）（1）证明：∵AE ⊥平面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E ……5分
（2）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角.设AE=x ，则BE=2
－x
,
,,1,.
1,4
,211x EH DHE Rt x DE ADE Rt DH DHD DH D Rt =∆∴+=∆=∴=
∠∆中在中在中在 π
Rt DHC CH Rt CBE CE ∆∆=在中在中
2x x ∴=
12,.4
AE D EC D π
∴=--二面角的大小为 ………
………12分
解法（二）：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0），C （0，2，0） （
1
）
.,0)1,,1(),1,0,1(,1111D x D DA ⊥=-=所以因为 …………5分
（2）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a n =，
∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE
由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(02,
0,01x b a c b CE n D 令b=1, ∴c=2,a=2－x ，∴).2,1,2(x n -= 依题意.22
5
)2(2224
cos
211=+-⇒=
=
x π
∴321+=x （不合，舍去），322-=x .
∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为
4π
. …………12分 20
、
（
一
）①证明
222
2
,
2,2a b a
b c b b c a
+
≥
+
≥+≥， ………………3分
两式相加可得222a b c ab bc ac ++≥++ 当
且
仅
当
a b c
==时等号成
立 ………………6分
②
22221()2()3()
a b c a b c ab bc ac ab bc ac =++=+++++≥++ …………
……9分
则
1
3
ab bc ac ++≤
，当且仅当
a b c
==时等号成
立。

………………12分
（
二
）
①
要
证
22
2()x y x y a b a b
++≥+，
只要证
22
2()()()x y a b x y a b
++≥+， ……3分 则222222
222()()2()x y bx ay a b x y x y xy x y a b a b
++=+++≥++=+，
当且仅当b x
a =时
等号成立。

故原不等式得
证。

…………6分
②由①的结论知：2
19(13)16212212x x x x
++≥=-+-，
当且仅当
18
x =
时，等号成
立。

………………12分21、解析：（1）设长方体高为x cm，
长方体容积（单位：cm3
；……4分
6分（2
…………8分
x=10时，V 取得最大值为
(10)
分 ②当
60160100421
k
k x k <<<=+，即时，在时，V 取得最大值
…………
……12分
22、解：（1）抛物线y 2=p （x+1）的准线方程是x=－1－
4
p
， 直线x+y=m 与x 轴的交点为（m ，0），由题设交点在准线右边，
得m ＞－1－4p
，即4m+p+4＞0. 由⎩⎨⎧=++=m
y x x p y )1(2
得x 2－（2m+p ）x+（m 2－p ）=0.
而判别式Δ=（2m+p ）2－4（m 2－p ）=p （4m+p+4）. 又p ＞0及4m+p+4＞0，可知Δ＞0. 因
此
，
直
线
与
抛
物
线
总
有
两
个
交
点； …………4分
（2）设Q 、R 两点的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）， 由（1）知，x 1、x 2是方程x 2－（2m+p ）x+m 2－p=0的两根， ∴x 1+x 2=2m+p ，x 1·x 2=m 2－p. 由OQ ⊥OR ，得k OQ ·k OR =－1，
即有x 1x 2+y 1y 2=0. 又Q 、R 为直线x+y=m 上的点， 因而y 1=－x 1+m ，y 2=－x 2+m.
于是x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2－m （x 1+x 2）+m 2=2（m 2－p ）－m （2m+p ）+m 2=0，
∴p=f （m ）=2
2
+m m ，由
⎩
⎨
⎧>++>0440
p m p 得m ＞－2，m ≠0；…………9分
（3）由于抛物线y 2=p （x+1）的焦点F 坐标为（－1+4
p
，0），于是有
222
|
041|=-++
-m p
，即|p －4m －4|=4. 又p=22+m m ∴|2
81232+++m m m |=4.
解得m 1=0，m 2=－38，m 3=－4，m 4=－34
.
但m ≠0且m ＞－2，因而舍去m 1、m 2、m 3， 故
所
求
直
线
方
程
为
3x+3y+4=0. ………………14分。