导函数的特性及其应用

= lim f . ( N 1) = A 1
N vx 1 0
N 1 I ( x , x 0) f ( x ) - f ( x 0) = lim f . ( N 2) x - x0 + x vx
0
f . ( x 0) = f . + ( x 0) = lim = lim f . ( N 2) = A 2
所以
+ x vx 0
lim f ( N) = lim f . ( N ) = k 即 f . + ( x 0) = k
+ x vx 0
以下证明 f . ( x ) 在 x 0 连续 , 只需证明 A 1 = A 2 = f . ( x 0) 因为 f ( x ) 在 I 上可导 , 且由导数与左右导数的关系及中值定理 得: f ( x ) - f ( x 0) f . ( x 0) = f . ( x 0) = lim = lim f . ( N 1) x - x0 x vx x vx
b b b a a a
g( x ) - g( ) < 0 即 g( x ) - g( ) x- 所以 g( ) 不是 g( x ) 在 [ , b] 上的最小值。 同理 由 g. - ( b) > 0 得 g( b) 也不是 g( x ) 在 [ , b] 上的最 小值。 从而 v N I ( , b) 使 g( N) = min g( x )
解 因为 x = 1 是 f ( x ) 的第一类间断点, 若存在 [ 0, 2] 上的函数 F( x ) , 使 F. ( x ) = f ( x ) 则与性质 1 矛盾。所以 f ( x ) 在[ 0, 2] 上不存在原函数。 例 3 设 f ( x ) 在 ( - ] , + ] ) 有界且二阶可导 , 则 v x 0 I (- ] , + ] ) , 使 f 0 ( x 0) = 0 证 由性质 2 推论, 只需证明存在两点 x 1, x 2 I (- ] , + ] ) , 使 f 0 ( x 1) # f 0 ( x 2 ) < 0 即可。用反证法。 假设 P x I (- ] , + ] ) 都有 f 0 ( x ) > 0 或 f 0 ( x ) < 0 ( 只证 f 0 ( x ) > 0 的情况 , f 0 ( x ) < 0 的情况同理可证) 。 因为 P x I (- ] , + ] ) 有 f 0 ( x ) > 0 所以 f . ( x ) 在( - ] , + ] ) 严格增加, 从而 f . ( x ) 最多有一个 零点。 P x 0, x I (- ] , + ] ) 由 中值 定理 得: f ( x ) = f ( x 0) + f . ( N) ( x - x 0) N I ( x 0, x ) x y+ ] 时上式右端趋于无穷 , 与 f ( x ) 在 ( - ] , + ] ) 有界矛盾。所以 , 结论成立。 例 4 设 f ( x ) 在 [ a, b] 上连 续, 在 [ a, b] 上有 二 阶导 数, 且 b b- a f ( x ) dx = 2 ( f ( a) + f ( b) ) a 求证 存在 x 0 I ( a, b) , 使 f 0 ( x 0) = 0 f 0 (N a) 证 f ( a) = f ( x ) + f . ( x )( a - x ) + ( a- x ) 2 2! ( a, x ) f0 ( N b) f ( b) = f ( x ) + f . ( x ) ( b - x ) + ( b- x)2 2! ( b, x ) 这样 有 f ( a) dx = f ( x ) dx + Q Q Qf .
+ N vx 1 0
g. ( x ) = 2 x sin g. -
1 1 - cos g x x g( x ) - g( 0) 1 ( 0) = lim = lim x sin = 0 x x x v0 x v0
+ x v0
+ x vx 0
N 2 I ( x , x 0)
g. + ( 0) = lim
g( x ) - g( 0) 1 = lim x sin = 0 x x + x v0
从而 A 1 = A 2 = f . ( x 0 ) , 即 f . ( x ) 在 x 0 连续。证毕。 闭区间上的连续函数有非常好的性质 , 介值定理就是其中之 一 , 但定理中连续这个条件是非常重要的。而导函数则不需要连
# 248 #
华北煤炭医学院学报
2004 年 3 月第 6 卷第 2 期
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
J N ort h China Coal M edical College 2004 M arch, 6( 2)
社会主义政治文明是 人类政 治文 明的重 要组 成部分 , 是 人类政治文明发展的更高 阶段 , 是在 扬弃以 往政 治文明 的基 础上发展起来的 , 因此 , 必然要不断地合理吸收人类 政治文明 的共同成果。例如 , 我国的国家形式是共和国 , 共和 国这种国 家形式就是资产阶级革命 胜利后 创造 的国家 形式 , 我们 的人 民代表大会制度和西方的 议会民 主在 性质、 内容 上有很 大不 同 , 但它们都是代议制 , 却是相同的 , 因而 , 代议制中 的某些做 法是可以互相借鉴的 , 选举制中某些行之有效 的做法、 权力设
3]
且 f . ( x0) = k
即 lim
x vx 0
f . ( x ) = f . ( x 0)
分析 : 欲证 f . ( x ) 在点 x 0 可导 , 只需证 明在 x 0 的左右 导数存在且都等于 k 。我们先证明 : lim f. ( x ) = k
+ x vx 0
。
证 : 对任意 x I ( x 0 , x 0 + D) , 函数 f ( x ) 在区间 [ x 0, x ] 上满足拉格朗日 ( L ag rang e) 中值定理的条件 则有 f ( x ) - f ( x 0) = f . ( N) ( x - x 0 ) N I ( x 0, x )
063004)
[ 中图分类号 ]
2 x sin g. ( x ) =
-
1 1 - cos x x
x X 0
求导是对函数的一种高级运算。一个函数经过 求导运算 后 , 会有许多独特的性质。笔者将对其性质进 行讨论 , 并通过 例题解析其应用如下。 定理 : ( 导数极限定理 ) 若函数 f ( x ) 满足下 列条件 : ( 1) 在区间 [ x 0 - D, x 0 + D] 连续 ( 2) 在开区间 ( x 0 - D, x 0) 及 ( x 0, x 0 + D) 内可导 ( 3) lim f . ( x ) = k ( 有限 ) , 则 f ( x ) 在点 x 0 可导 ,
NI [ ,b]
由费尔马定理有 g( N) = 0 , 即 f . ( N ) = c 证毕。 推论 设 f ( x ) 在 [ , b] 上可导 , 且 f . ( a) # f . ( b) < 0 , 则必 vN I ( , b) 使得 f . ( N) = 0 。 以下举例说明这些性质在解题中的应用。 例 1 设连续函数 f ( x ) 满足 f (x ) f ( x - 1) = ,若 x > 1。 x x 求证 f ( x ) 在 x = 1 处可导。 分析 要研究 f ( x ) 在 x = 1 处是否可导 , 只要研究 f . + ( 1) , f (x) = x , 若0 F x F 1 ; f.
x vx 0
f . ( x 0 ) = lim
x vx
+ 0
f ( x) - f ( x0) = lim f . ( N) x - x0 + x vx
0
因为 lim f . ( x ) = k
x vx + 0
+ 且当 x y x + 0 时, N y x 0
lim f . ( x ) = A 2
x vx + 0
置和权力监督中的某些有益成 果 , 都有值得我们 借鉴的地方。 然而 , 我们国 家是 社会 主义 国 家 , 我们 国 家有 我们 国 家的 国 情 , 中国的国情和社会主义性质 , 决定了 对人类文明成果 的吸 收和借鉴 , 是一个扬弃的过程 , 绝不可简 单照搬西方政治 制度 的模式 , 正如十六大报告中 讲的 , 要 坚持从 我国 国情出 发 , 总 结自己的实践经验 , 同时借鉴人类政治文明的有 益成果 , 绝不 照搬西方政治制度的模式。
数在点 x 0 的单侧 导数可能存 在 ; 导 函数在 点 x 0 的极限 不存 在 , 而函数在点 x 0 可能是可导的。 函数的间断点有两类 : 第一类间断点 , 是函数在该点 左右 极限都存在 ; 第二类间断点 , 是函数在该 点至少有一侧极 限不 存在。由导数极限定 理知 , 在区 间 I 上 的导函 数 f . ( x ) , 它 在 I 上的每一点是连续点 , 或者是第二类间断 点 , 这是导 数一 个非常重要的特性。具体说明如下 [ 1~
华北煤炭医学院学报
2004 年 3 月第 6 卷第 2 期
J N ort h China Coal M edical College 2004 M arch, 6( 2)
# 249 #
续这个条件, 同样具有类似的介值性。 性质 2 设 f ( x ) 在 [ , b] 上可导 , 且 f . ( ) < f . ( b) ( 或 f. ( ) > f . ( b) ) 则P c I (f . ( ) , f . ( x )) 必存在 N I ( , b) 使 f . ( N )= c 证: 只证 f . ( ) < f . ( b) 的情况 设 g( x ) = f ( x ) - cx , 由 已知 f ( x ) 在 [ , b] 上可导 得 g( x ) 在 [ , b] 上连续、 可导 , 从而存在最小值 且 g. ( x ) = f . ( x) - c , x I [ , b] g+. ( ) = f . ( ) - c < 0, g- . ( )= f. ( )- c> 0 g( x ) - g( ) 由 lim = g. + ( )< 0 x + x v > 0, 当 F x F + D 时, 及极限的保号性得 v D