高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.3 幂函数教学素材 新人教B版必修1(2021年最新整理)

高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.3 幂函数教学素材新人教B版必修1 编辑整理：
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3.3 幂函数
教学建议
1.注意幂函数y=xα的图象随指数α取值的不同而变化的分布规律及图象特征、性质的区别.幂函数的图象与其他函数相比,在理解和记忆上都感到比较困难,因为其形状和位置的变化都很复杂，对幂函数的图象分布应该引导学生进行一番研究,细致体会发现其规律性东西加以整理归纳记忆.
幂函数y=xα的图象的变化有如下规律（如右图)：
总体上,所有幂函数图象都过点(1，1）；随着α由-∞逐渐变大到+∞，图象绕点（1,1）逆时针旋转。

设第一象限被直线x=1，y=1,y=x分为六个部分，依次记作Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ,则当α∈（-∞，0)时,图象穿过Ⅰ、Ⅳ部分;当α∈（0,1）时,图象穿过Ⅱ、Ⅴ部分；当α∈（1，+∞）时,图象穿过Ⅲ、Ⅵ部分;注意直线y=1，y=x（x≠0）分别是幂函数y=xα在α=0，1时的图象.图象如何绕点（1,1）旋转,观察上图就清楚了.
对不同的α图象穿过哪两个部分，只要根据幂函数图象的特点，画一条经过点(1,1）、(2,2α)的曲线就可以了。

另外，根据幂函数图象的上述变化规律，对于任意的α∈R,幂函数y=xα的图象就能大致定位了.
2。

给定一组数值,比较大小的步骤.
第一步：区分正负.一是幂函数或指数函数值(幂式）确定符号；二是对数式确定符号,根据各自的性质进行.
第二步:正数通常还要区分大于1还是小于1.
第三步:同底的幂,用指数函数单调性;同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性.
第四步:对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等.
3.(1）幂函数定义域的求法分以下5种情形：①α=0;②α为正整数；③α为负整数;④α为正分数;⑤α为负分数。

（2)作幂函数图象要联系定义域、值域、单调性、奇偶性,但一般只要作出在第一象限内的图象，再据奇偶性就可作出完整图象。

备用习题
1.幂函数f(x)的图象过点(4,2
1），那么f —1(8）的值是…( ) A.22 B.64 C 。

42 D 。

64
1 解析：设f(x ）=x α
,将（4，21)点代入,得21=4α,于是α=,f （x ）=x 21-。

令x 21
-=8,得x=8-2=64
1.故选D 。

答案:D
2.当0〈a<b<1时，下列不等式正确的是（ )
A 。

(1—a)b 1>(1—a ）b B.（1+a ）a >(1+b)b
C.(1-a ）b >(1-a ）2b
D 。

（1-a)a 〉（1—b)b
解析：由0〈a<b 〈1，可知a<b ，0<a<1。

∴0〈1—a 〈1。

∴（1-a)a >(1—a ）b . ①
又∵1-a 〉1-b>0,∴(1—a)b 〉（1—b)b 。

②
由①②得（1-a)a >(1-b)b .
∴选D.
答案：D
3.已知幂函数f （x ）存在反函数f -1(x)，且f -1（33)=
33,则f （x)的表达式是( ) A.f （x ）=x 3 B.f(x)=x —3 C 。

f （x)=x 21 D.f(x)=x 21
-
解析:设所求函数为y=f(x)=x α.又f(x ）存在反函数f —1(x),且f -1（33）=3
3，则由原函数与反函数的关系知f （
33）=33,即y=f(x)经过点(33，33）。

代入y=x α中,得33=（33)α，即323=32α
-,α=—3.
∴f(x)=x —3.
∴选B 。

答案：B
4。

函数y=（mx 2+4x+2）
21-+（x 2-mx+1)的定义域是全体实数,则m 的取值范围是____________. 解析：要使y=（mx 2+4x+2)
21
-+(x 2—mx+1）的定义域是全体实数，则需mx 2
+4x+2〉0对一切实数都成立,即⎩⎨⎧<∆>.0,0m
所以⎩⎨⎧<⨯->.
0244,02m m 解得m>2。

所以m 的取值范围是m 〉2。

答案：m>2。