6.8 余弦定理课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第六章三角函数

【解】 因为 a、b、c 成等比数列，则 b2＝ac.
又因为 a2－c2＝ac－bc，则 a2－c2＝b2－bc，即 b2＋c2－a2＝bc，
cosA＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12，
π 又因为 0＜A＜π，故 A＝ 3 .
【融会贯通】 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 (a＋c)(a－c)＝b2＋ 2bc，则角 A＝__1_3_5_°___． 【 解 析 】 ∵(a ＋ c)(a－ c)＝ b2＋ 2 bc， 即 a2＝ b2＋ c2＋ 2bc， 即
1．在△ABC 中，若 a＝3 3，b＝2，c＝7，则∠C＝__1_5_0_°___． 【解析】 由余弦定理可得：cosC＝a2＋2ba2b－c2＝（32×3）3 2＋3×222－72＝ － 23，因为 C∈(0，π)，所以∠C＝150°.
2．在△ABC 中，若 a＝3 3，b＝2，C＝30°，则 c＝____1_3__． 【解析】 c2＝a2＋b2－2abcosC＝(3 3)2＋22－2×2×3 3× 23＝13， ∴c＝ 13.
例6 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待获救．信息中心立即把消 息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，命乙船到达B处实 施营救工作． (1)求B、C两处之间的距离；
(2)如果乙船的速度是 15 7海里/时，试问经过多长时间乙船能到达营 救处？
二、填 空 题
6．已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且 BC＝6，AB＝2， 则 AC＝___2__7__． 【解析】 依题意：BC＝a＝6，AB＝c＝2，AC＝b， 因为三个内角 A、B、C 成等差数列，则 2B＝A＋C，由 A＋B＋C＝180° 得 B＝60°，b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋36－2×2×6×cos60°＝28， ∴b＝AC＝2 7.
7．在△ABC 中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则最大的内角是__∠__C___，大小 为___1_2_0_°____． 【解析】 由大边对大角知角 C 最大，设 a＝3k，b＝5k，c＝7k，则 cosC ＝b2＋2aa2b－c2＝25k22·＋39kk·2－54k9k2＝－12，∴C＝120°.
4 43 8．在△ABC 中，如果 b＝6，c＝7，∠A＝60°，则 cosB＝_____4_3___． 【解析】 a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋49－2×6×7×12＝43，∴cosB＝
b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3，则 b＝AC＝ 3，
故选 A.
5．在△ABC 中，若 a、b、c 成等比数列，且 c＝2a，则 cosB＝( A )
A.34
B.32
C．3
D.14
【解析】 ∵a、b、c 成等比数列，∴b2＝ac.又 c＝2a ∴b2＝2a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cosB＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋2a4×a2－2a2a2＝34，故选 A.
练掌握知识点．
【解】 (1)在△ABC 中，sinAcosB＋cosAsinB＝14， 则 sin(A＋B)＝14，又因为 C＝π－(A＋B)，则 sinC＝sin[π－(A＋B)] ＝sin(A＋B)＝14， 因为 C 为锐角，故 cosC＝ 1－sin2C＝ 415；
(2)在△ABC 中，a＝2，b＝ 15，cosC＝ 415，由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋( 15)2－2×2× 15× 415＝4，则 c＝2. 故△ABC 的周长为 a＋b＋c＝4＋ 15.
一、选 择 题
1．在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 3，c＝3，则∠C＝( A ) A．120° B．60° C．45° D．30° 【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝2×3＋33×－9 3 ＝－12，∴∠C＝120°，故选 A.
2．在△ABC 中，若 a∶b∶c＝2 2∶ 2∶2，则△ABC 是( B )
△ABC 为钝角三角形．
5．在△ABC 中，a2＋b2－c2＋ab＝0，则∠C＝__1_2_0_°__． 【解析】 ∵c2＝a2＋b2＋ab，则 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝－12， 又∠C∈(0，π)，∴∠C＝120°.
6．已知△ABC 的三边长 a＝3，b＝4，c＝ 37，△ABC 中的最大内角 为__1_2_0_°____． 【解析】 c 边最大，则 C 角最大，cosC＝a2＋2ba2b－c2＝9＋ 2×163－ ×347＝ －12，∵∠C∈(0，180°)，∴∠C＝120°.
例2 在△ABC 中，a＝2，b＝2 2，c＝2，求 cosC 及角 C 的值．
【分析】 已知三边求角度用余弦定理 cosC＝a2＋2ba2b－c2.
【解】
cosC＝a2＋2ba2b－c2＝22＋2（×22×2）2 22－22＝
1＝ 2
22，
π 又因为 0＜C＜π，故 C＝ 4 .
【融会贯通】 若三角形的三边分别为 a＝ 7，b＝2，c＝1，求角 A. 解：cosA＝b2＋2cb2c－a2＝24×＋21×－17＝－12，又因为 0<C<π，故∠A＝120°.
钝角三角形．
因为三角形中大边对大角，所以 c 边所对的角 C 最大． 由余弦定理得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝622＋×362×－372＝－19＜0， 所以三角形为钝角三角形，故选 C.
【融会贯通】 在△ABC 中，已知三角形三边之比为 3∶3∶2 3，
判断三角形的形状．
解：若 a∶b∶c＝ 3∶3∶2 3，设 a＝ 3t，b＝3t，c＝2 3t，则最大
6.8 余弦定理
知识点1 知识点2
1．三角形的基本性质 (1)A＋B＋C＝180°. (2)sin(A＋B)＝sin(180°－C)＝sinC，cos(A＋B)＝cos(180°－C)＝－ cosC. (3)三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (4)大边对大角，大角对大边，且sinA＞sinB⇔A＞B⇔a＞b.
3．在△ABC 中，若 a＝3，c＝3，cosC＝13，则 b＝___2___． 【解析】 c2＝a2＋b2－2abcosC⇒32＝32＋b2－2×3×b×13⇒b2－2b＝0，
故 b＝2.
4．在△ABC 中，a＝5，b＝6，c＝9，则△ABC 为__钝__角____三角形． 【解析】 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝252＋×356×－681＝－2600＝－13，∴∠C 为钝角，
b2＋2cb2c－a2＝－ 22，∵0°＜A＜180°，∴∠A＝135°.
例5 锐角三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，
若 sinAcosB＋cosAsinB＝14，且 a＝2，b＝ 15. (1)求cosC； (2)求△ABC的周长． 【分析】 考查三角函数的和差公式，诱导公式，余弦定理，必须熟
例3 在△ABC中，a＝6，b＝3，c＝7，则△ABC为( C )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定其形状
【分析】 确定三角形的形状，只需判断最大角的余弦值即可．当 cosC
＞0 时，C 为锐角，△ABC 为锐角三角形；当 cosC＝0 时，角 C 为直
角，△ABC 为直角三角形；当 cosC＜0 时，角 C 为钝角，△ABC 为
(已知两边及夹角求第三边) (已知三边求角度)．
学一学
例1 在△ABC 中，a＝3 3，b＝2，C＝5π 6 ，则 c＝( B )
A. 13
B．7
C．9
D．13
【分析】 已知两边及夹角求第三边用余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcosC.
c2＝a2＋b2－2abcosC＝27＋4－2×2×3
3×－
23＝49，
根据题意舍去负值，则 c＝7，故选 B.
【融会贯通】 在锐角△ABC 中，内角 A、B、C 所对应的边分别为 a、
b、c.已知 a＝3，c＝1，sinB＝ 23，则 b＝____7__． 【解析】 在锐角△ABC 中，sinB＝ 23，B＝60°，则 cosB＝12，由余 弦定理可得 b2＝a2＋c2－2accosB＝32＋12－2×3×1×12＝7，b＝ 7.
A．60°
B．30° C．120°
D．150°
【解析】 由余弦定理可得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝ 23，∴∠A＝30°，故
选 B.
4．在△ABC 中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝1，则 AC＝( A )
A. 3
B．2
C．3
D．3 3
【解析】 依题意：BC＝a＝1，AB＝c＝2，AC＝b，
【融会贯通】 海军某快艇在 A 处测得一走私艇在北偏东 45°，距离 为 10 海里的 B 处．正沿着东偏南 15°的方向以每小时 9 海里的速度 逃跑，该快艇立即以每小时 21 海里的速度沿直线前去追捕，快艇需用 时多久才能追上走私艇？
解：如图所示，设快艇 x 小时后才能追上走私艇．在△ABC 中，∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°，由余弦定理得(21x)2＝102＋(9x)2－ 2·10·9x·cos120°，整理得 36x2－9x－10＝0 得 x＝23或 x＝－152(舍去)， 23×60＝40(分钟)，即快艇需用 40 分钟才能追上私艇．
【融会贯通】 在△ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c， 且 a＝2，b＝3，cosB＝13. (1)求边 c 的值； (2)求 cos(A＋C)的值．
解：(1)在△ABC 中，由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB 得，3c2－4c－ 15＝0，∵c＞0，∴c＝3；
(2)在△ABC 中，cos(A＋C)＝cos(π－B)＝－cosB＝－13.
知识点1 知识点2
2．余弦定理：三角形任意一边长的平方等于其他两边长的平方和减
去这两边长与它们的夹角的余弦乘积的2倍，即：
a2＝b2＋c2－2bccosA； cosA＝b2＋2cb2c－a2
b2＝a2＋c2－2accosB c2＝a2＋b2－2abcosC
⇒cosB＝a2＋2ca2c－b2 cosC＝a2＋2ba2b－c2
a2＋2ca2c－b2＝4 4343.
9．设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 a＝2，b
5 ＝3，c＝ 5，则 sinC＝____3___．
【解析】 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝42＋ ×29－ ×35＝23，在△ABC 中，sinC＞0，∴
sinC＝
1－cos2C＝
5 3.
三、解 答 题
10．在△ABC 中，a＝1，b＝2，cosC＝14. (1)求 c； (2)求 sinA.
【解析】 (1)因为 a＝1，b＝2，cosC＝14，由 c2＝a2＋b2－2abcosC＝1
【分析】 在实际问题中，理清已知条件的关系，运用余弦定理来解 决． 【解】 (1)由题意得 AC＝20 海里，AB＝40 海里，所以∠A＝120°， 由余弦定理得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cosA ＝202＋402－2×20×40×－12＝2800，故 BC＝20 7.
(2)由题意得乙船的速度 v＝15 7海里/时，BC 的距离 s＝20 7海里． 所以时间 t＝vs＝2105 77＝43(小时)＝80(分钟)． 答：BC 之间的距离为 20 7海里；经过 80 分钟乙船能到达营救处．
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
【解析】
设
a＝2
2r，b＝
2 r ， c ＝ 2r ， 则
cosA
＝
b2＋c2－a2 2bc
＝
2r2＋44r22r－2 8r2＝－212＜0，∴∠A 为钝角，故△ABC 是钝角三角形，
故选 B.
3．在△ABC 中，已知 b2＋c2－a2＝ 3bc，则∠A＝( B )
边是 c，故最大角是 C，
cosC＝a2＋2ba2b－c2＝（
3t）2＋（3t）2－（2 2× 3t×2 3t
3t）2＝0，∠A＝90°，
所以该三角形为直角三角形．
例4 在△ABC中，若a、b、c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求
∠A. 【分析】
已知三边关系式，用余弦定理 cosA＝b2＋2cb2c－a2求角．