北师大版高中数学选修2-2下学期期中考试.docx

临川十中2011——2012学年度下学期期中考试
高二数学（理）试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟 命题人：肖恒辉
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1、已知030sin =y , 则导数y =' （ ）
A B ．12
-
C ．12
D ．0
2、双曲线22
194
y x -=的渐近线方程是（ ） A ．x y 49±
= B ．x y 32±= C ． x y 23±= D ．x y 94
±= 3. 已知x
f x f x x f x ∆-∆+=→∆)
2()2(lim ,1)(0则的值是（ ）
A. 41
B. 4
1
- C. 2 D. －2
4．以下有关命题的说法错误的是（ ）
A ．命题“若0232=+-x x ,则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”
B ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件
C ．若q p 且为假命题，则q p 、均为假命题
D ．对于命题R x p ∈∃:使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x x
5. 若抛物线2
4y x m
=的焦点与椭圆22
173x y +=的左焦点重合，则m 的值为（ ）
A ．-
12 B ．1
2
C ．-2
D ．2
6．过双曲线12
2
2
=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB|=4，则满足条件的直线l 有（ ）
A ．2条
B ．3条
C ．4条
D ．无数条
7．空间四边形OABC 中，OA u u u r = a ，OB u u u r = b ，OC u u u r
= c ，点M 在线段OA 上且OM = 2MA ，N 为BC
的中点，则MN u u u u r
等于（ ）
A ．12
a 23-
b +12
c B ．12a +12b 23-c C ．23-a +12b +12c D ．23a +23b 12
-c
8．已知点F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F
且垂直x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ）
A. 3
B. 2
C. 3
D. 2
9、定义在R 上的函数)(x f y =满足)()3(x f x f =-, 0)()2
3
'>-x f x （,若21x x <且
321>+x x , 则有（ ）
A ．)()(21x f x f >
B ．)()(21x f x f <
C ．)()(21x f x f =
D ．)(),(21x f x f 关系不确定
10、若函数)(x f 的导数是)1()(+-='x x x f ，则函数)0)(1()(<-=a ax f x g 的单调减区间是
A ⎪⎭⎫
⎝⎛0,1a B ()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,01,a C ⎪⎭⎫ ⎝⎛a a 1,2 D ⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,12,a a
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填入答题卡上）
11、若a = ( m ＋1 , 2 , 4 )， b = ( 5 , m －3 , 9 )且a 与b 垂直，则m = _______ 12．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，点A （0，2）. 若线段FA 的中点B 在抛物线上，
则B 到该抛物线准线的距离为________.
13．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60o 和45o ，则异面
直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ．
14、曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是_____________ 15．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=u u u r u u u r
，则动点P 的轨迹为椭圆；
②双曲线
221259x y -=与椭圆2
2135
x y +=有相同的焦点； ③方程02522
=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④已知点P （x,y ）的坐标满足方程22)3()1(5|1543|-+-=-+y x y x ，则点P 的轨迹是一条直线。

其中真命题的序号为 _______．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或解题步骤）
16．（本小题满分12分）已知命题p ：方程
+=-+22
131
x y t t 所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆；命题q ：实数t 满足不等式2
(1)t a t a ---＜０． （1）若命题p 为真，求实数t 的取值范围；
（2）若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
17、（本小题满分12分）已知函数x x x f 3)(3
-=，过点)6,2(-P 作曲线)(x f y =的切线，
求切线方程．
18．（本小题满分12分）某品牌电视生产厂家有A 、B 两种型号的电视机参加了家电下乡活
动，若厂家A 、B 对两种型号的电视机的投放金额分别为p 、q 万元，农民购买电视机获得的补
贴分别为10
1
p 、52ln q 万元，已知A 、B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A 、B 两种
型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值(精确到0.1，参考数据：ln 4 1.4≈)．
19、（本小题满分12分）已知函数213
()4ln(1)(2)22
f x x x m x m =-+
-++-,（m 为常数）
（I ）当4m =时，求函数的单调区间；
（II ）若函数()y f x =有两个极值点，求实数m 的取值范围.
20．（本小题满分13分）如图，圆柱的高为2，底面半径为3，AE 、DF 是圆柱的两条母线，B 、
C 是下底面圆周上的两点,已知四边形ABC
D 是正方形。

（1）求证：B
E BC ⊥； （2）求正方形ABCD 的边长；
（3）求直线EF 与平面ABF 所成角的正弦值。

21（本小题满分14分）设椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、
右焦点分别为21F F 、，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足211F F BF =，且2AF AB ⊥. （1）求椭圆C 的离心率；
（2）若过2F B A 、、三点的圆恰好与直线033:=--y x l 相切，求椭圆C 的方程； （3）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k ()0≠k 的直线l '与椭圆C 交于N M 、两
点，在x 轴上是否存在点)0,(m P 使得PN PM =,如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由。

临川十中2011——2012学年度下学期期中考试高二数学（理）参考答案
11、-5
12、
4 13、4
14 15、②③④ 三、解答题：
16．解（1）∵方程
+=-+22131
x y t t 所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆 ∴310t t ->+>………………3分 解得：11t -<<………………6分
（2）∵命题P 是命题q 的充分不必要条件
∴11t -<<是不等式2
(1)t a t a ---＝(1)()t t a +-0<解集的真子集…９分 法一：因方程2
(1)t a t a ---＝(1)()0t t a +-=两根为1,a -．
故只需1a >………………1２分
法二：令2()(1)f t t a t a =---，因(1)0,(1)0f f -=<故只需……………９分
解得：1a > ………………12分
17、解：33)(2
/-=x x f ，过点P 的切线切点为),(00y x Q ，
则：
0332
62
00x x x x y =-=-+，即：33263200030-=-+-x x x x ， 解得：00=x 或30=x ，
由)(0/x f k =得3-=k 或24，得：x y 3-=或5424-=x y
18、解：设B 型号电视机的投放金额为x 万元(19)x ≤≤，A 型号的电视机的投放金额为
(10)x -万元，农民得到的补贴为y 万元，则由题意得
()1101ln 52ln 5210101
+-=+-=
x x x x y …………5分 10
152-='x y ,令'0y =得4x =…………7分
当[1,4)x ∈时，'0y >；当(4,9]x ∈，时，'0y <…………9分
所以当4x =时，y 取得最大值，max 2
ln 40.41 1.25y =-+≈…………11分
故厂家投放A 、B 两种型号的电视机的金额分别是6万元和4万元，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元。

…………12分
19. 解：依题意，函数的定义域为（1，＋∞）. （Ⅰ） 当m ＝4时，215()4ln(1)622
f x x x x =-+
--. ()f x '＝
4
61
x x +--= x 2
－7x ＋10x －1＝（x －2）(x －5)x －1.………………2分 令()0f x '> ， 解得5,x >或2x <.令()0f x '< ， 解得25x <<.
可知函数f(x)的单调递增区间为（1，2）和（5，＋∞），单调递减区间为()2,5．……6分 （Ⅱ）()f x '＝ 4x －1＋x －(m ＋2)＝x 2
－(m ＋3)x ＋m ＋6
x －1
. ………………………8分
若函数y ＝f (x)有两个极值点, 则 2(3)4(6)0;1(3)60;3 1.2
m m m m m ⎧
⎪∆=+-+>⎪
-+++>⎨⎪+⎪>⎩，…………10分
解得 m ＞3. ………………………………………………………12分
20、解：（1）Θ AE 是圆柱的母线∴⊥AE 底面BEFC, …… 1分 又⊂BC 面BEFC ∴BC AE ⊥ …… 2分
Θ又ΘABCD 是正方形 ∴BC AB ⊥
又A AB AE =⋂∴⊥BC 面ABE 又⊂BE 面ABE ∴BE BC ⊥ …… 3分 （2）Θ四边形AE FD 为矩形，且ABCD 是正方形 ∴EF
//
Θ
BE BC ⊥∴四边形EFBC 为矩形
∴BF 为圆柱下底面的直径 …… 4分
设正方形ABCD 的边长为x ，则AD=EF=AB=x
在直角AEB ∆中AE=2，AB=x ，且BE 2
+AE 2
= AB 2
，得BE 2
=x 2
-4
在直角BEF ∆中BF=6，EF=x ，且BE 2
+EF 2
= BF 2
，的BE 2
=36-x 2
…… 6分
解得x =52，即正方形ABCD 的边长为52 …… 7分 （3）如图以F 为原点建立空间直角坐标系,则A(0，2),B(4，0),
E(0，0),=(0， 2),=(4，0), =(52，0，0) … 9分
设面AEF 的法向量为n =r (x ，y ，z )，则(x ,y ,z )(25,0 ,2)25x +2z 0
(x ,y ,z )(25,4 ,0)25x -4y 0
n FA n FB ⎧
•=•==⎪⎨•=•==⎪⎩r u u u r
r u u u r
令1=x ，则5,5,2y z =
=即=n (1，5
2
，-5) …… 11分 设直线EF 与平面ABF 所成角的大小为θ，则
2929
25
145
5252,sin =
++⋅=
⋅•=
><=EF
n EF n EF n COS θ …… 12分
所以直线EF 与平面ABF 所成角的正弦值为
229
29。

…… 13分 21、解：（1）由△2ABF 是直角三角形，可得c F F AF 2||||211==
（3）由（2）知)0,1(2F , 设l '：)1(-=x k y
由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134
)1(22y
x x k y 得 01248)43(2222=-+-+k x k x k
设),(11y x M ，),(22y x N 则2
2
21438k k x x +=+， -----------------8分
MN ∴的中点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+343,434222k k k k Q PN PM =Θ 0,≠⊥∴k MN PQ 则k
k PQ 1
-= ----------------10分。