高等数学课件微分方程D126降阶微分方程精品

第六节
第十二章
可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
2019/9/1
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一、 y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
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例6. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力).
解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:
y
m
d2 y dt2


k
mM y2
M : 地球质量 m : 物体质量
y
任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H
T
M
M 点受切向张力T 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有
H
( : 密度, s :弧长)
A g s
ox
两式相除得
故有
y

1 a
x
0
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(其中a

H
g
)
1 y2 dx
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y 1 1 y2 a
利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
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例4. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受
重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?
解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到
由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
t
yR

1 R
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l ( lR R2 l arccos R )
2g
l
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说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 则定解问题为
m
d2 y dt2

o
y t0 0 , y t0 0
l R
y t0 l, y t0 0
设
v

dy dt
,
则
d2y dt2

dv dt
o
代入方程得
积分得
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利用v
t0

y
t0
0,
y
t 0
l,
得 C1
2kM l
v2 2kM 1 1 , y l
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设 OA a, 则得定解问题:
y

1 a
1 y2
悬链线
y
M
令 y p(x), 则 y d p , 原方程化为 H a A gs
dx
ox
Arsh p ln ( p 1 p2 )
两端积分得
Ar sh
p

x a
C1,
则有
得C1 0,
例6 例7
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作业
P292 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3; 4
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第七节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v
的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (–1, 0 ) 出发, 速度
小, 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 且
初初速度为0, 求质点的运动规律.
解: 据题意有
F0 (1 t ) mT
F0
F
F F0 (1
t T
)
对方程两边积分, 得
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o Tt
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dx dt

F0 m
(
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(1 x2 )y 2xy
y x0 1, y x0 3
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 ,
利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
两端再积分得 y x3 3 x C2
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例8.
二阶可导, 且
上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面
积记为 区间[ 0, x ] 上以 为曲边的曲边梯形面积
满足的方程 .
( 99 考研 )
解:
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是
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dx C2

dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
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例1.
解: y e2x cos x d x C1

1 2
e2x

sin
x

C1
y

1 e2x 4
cos x
C1x
C2
y

1 8
e2
x

sin
x
C1x2
C2 x

C3
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例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线
运动, 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 在开始时刻
t=0时
随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减
二、 y f (x, y) 型的微分方程
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
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例3. 求解 解:
两端积分得 故所求绳索的形状为
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得C2 0
y

a ch
x

a (exa

x
ea
)
a2
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三、y f ( y, y) 型的微分方程
令 y p ( y), 则 y d p d p dy dx dy dx
故方程化为
方程化为
ypdp p2 dy
dp dy py
S2 y
S1
1
P y
ox x
解得 p C1y, 利用定解条件得 C1 1 , 再解 y y, 得 y C2 ex , 再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
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又由于
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d dt
x
1
1 y2 dx
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代入 ① 式得所求微分方程:
x
d2 dx
y
2

1 2
1 y2 0
其初始条件为
y x 1 0, y x 1 1
y A vt
B(x, y) (1,0) o x
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v dy, dt l
y dy
dt
2k M l y
注意“－”号
两端积分得
l y y2 l arccos y l
利用y t0 l, 得C2 0, 因此有
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m
d2 dt
y
2


k
mM y2
,
y l
R
o
由于 y = R 时
R
令 v dy，解方程可得
l
dt
y
问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .
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例7.
解初值问题

y e2y y x0
0 0,
y x0 1
解: 令 y p ( y), 则 y p d p , 代入方程得 dy
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
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思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
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例5. 求解 解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
大小为 2v, 方向指向A , 试建立物体 B 的运动轨迹应满
足的微分方程及初始条件.
提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有
y

1
v
t x
y
s


x 1
1 y2 dx
y A பைடு நூலகம்t
去分母后两边对 x 求导, 得
(0,1)
B(x, y)
①
(1,0) o x
积分得
1 2
p2

1 2
e2y
C1
利用初始条件,得C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
dy p ey dx
积分得 e y x C2 , 再由 y x0 0, 得C2 1
故所求特解为
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1 ey x 高等数学课件
t

t2 2T
)

C1
利用初始条件
得C1 0, 于是
dx F0 ( t t 2 ) dt m 2T
两边再积分得
x

F0 m
(t2 2

t3 6T
) C2
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
x F0 ( t 2 t3 ) 2m 3T
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S1

1 2
y
2cot
S2

x
0
y(t
)
d
t
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S2 y
S1
1
P y
ox x
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利用
两边对 x 求导, 得 定解条件为
得
y2 y
x
0 y(t) d t 1
y y ( y)2
y(0) 1, y(0) 1
令 y p ( y),