北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《对数的运算性质》典型例题剖析

《对数的运算性质》典型例题剖析
题型1 对数式化简、求值 例1 （1）若lg 2,lg3a b ==，则
lg12
lg15
=（ ） A.
21a b
a b +-+
B.21a b a b +++
C.21a b a b +-+
D.21a b a b +++ （2）计算：1
1lg9lg 24022361lg 27lg 35+-=-+__________. 解析 （1）
lg12lg(34)lg32lg 22lg 2lg32lg15lg(35)lg3lg5lg31lg 21a b a b
⨯+++====⨯++--+. （2）原式231
1lg3lg 24lg1022
1lg3lg36lg53
+--=-+- lg3lg3lg8
12lg32lg3lg 4lg5
--=
-++-
3lg 23lg 23lg 2
11lg 5lg 4lg 22lg 23lg 2
---=
===--++.
答案 （1）A （2）1- 规律总结
1.对于同底数的对数式，化简的常用方法是：
（1）“收”，即逆用对数的运算性质将同底数的和（差）“收”成积（商）的对数，把多个对数式转化为一个对数式；
（2）“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和（差）. 2.对常用对数的化简，要充分利用“lg5lg 21+=”来解题. 3.对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简.
4.当真数是形如
的式子时，常用方法是先平方后开方”或“取倒数”.
变式训练1 化简下列各式：
（1）1
4lg 23lg5lg 5+-；
（2
；
（3）5log 333
332
2log 2log log 859
-+-； （4
）.
答案 （1）原式()43
44425lg lg 25lg(25)15
4⨯==⨯=⨯=. （2）原式33lg 33lg 22
2lg12lg10+-
=- 3
(lg32lg 21)
32lg32lg 212
+-==+-.
（3）原式()333332log 25log 223log 232log 25log 22=--+-=-++
33log 231-=-.
（4
）
6422+==
+
2
==
∴
原式323===.
题型2 用对数式表示 例2 已知lg 2,lg3a b ==. （1）用a ，b 表示lg15
； （2）用a ，b 表示
解析 利用对数的运算性质，把真数用2与3表示如果出现5，写成
10
2
的形式，
然后利用对数的运算性质算.
答案 （1）
lg 2,lg3a b ==，10lg15lg(35)lg3lg5lg3lg
2
∴=⨯=+=+=lg31lg 21b a +-=+-.
（2）lg 2,lg3a b
==，()21110lg 53lg 2lg 3222⎛⎫
∴=⨯=+=
⎪⎝⎭
111
(1lg 2)lg3222
a b -+=-+.
变式训练2 用ln ,ln ,ln x y z 表示.
解析 利用对数的运算性质，把商的对数写成对数的差，积的对数写成对数的和，幂的对数把指数拿到对数式的前面.
答
案
(2ln ln x x =-=+=
11
2ln ln ln 23
x y z +-.
题型3 对数方程的求解 例3 解下列关于x 的方程： （1）()255log (21)log 2x x +=-； （2）23(lg )lg 100x x +-=.
解析 将对数方程的对数符号去掉，化为普通方程求解，但要注意等价变形，求出解之后要验证是否满足真数大于0.
答案 （1）由()255log (21)log 2x x +=-得2212x x +=-，即2230x x --=，解得13x x =-=，或.
经检验知：当1x =-时，210x +<，220x -<不满足真数大于0，舍去； 当3x =时，2210,20x x +>->，符合题意， 所以原方程的解为3x =.
（2）原方程整理得2(lg )3lg 100x x +-=，即(lg 5)(lg 2)0x x +-=, 所以lg 5lg 2x x =-=或，
解得5210 10x x -==或.
经检验知：5210 10x x -==或都是原方程的解.
规律总结 解对数方程的基本思路是将其化为代数方程在转化的过程中，未知数范围扩大或缩小容易产生増根，因此解对数方程要注意验根.含参数的指数、对数方程在求解时，要注意在等价转化的原则下进行，必要时对参数进行分类讨论.
变式训练3 若a ，b 是方程242(lg )lg 10x x -+=的两个实根，求lg lg lg lg a b
b a
+的值.
答案 原方程可化为22(lg )4lg 10x x -+=，
令lg t x =，则原方程可化为22410t t -+=，设12,t t 是该方程的两根，则
121212,2
t t t t +=⋅=
. 又因为a ，b 是方程242(lg )lg 10x x -+=的两个实根，
所以1
lg lg 2,lg lg 2a b a b +=⋅=，
所以
lg lg lg lg a b
b a
+ 222(lg )(lg )(lg lg )2lg lg 6lg lg lg lg a b a b b a b a b a
++-===.
题型4 对数在实际问题中的应用
例4 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （单位：m/s ）和燃料
的质量M （单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）满足2000
e 1v M m ⎛⎫
=+ ⎪
⎝
⎭（e 为自然对数的底数）.当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 的两倍时，求火箭的最大速度（单位：m/s ）（ln3 1.099≈）.
解析 燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 的两倍，则
2M
m
=，代入2000
e 1v M m ⎛⎫=+ ⎪
⎝
⎭求解.
答案 因为2000
e 1v
M m ⎛⎫
=+ ⎪
⎝
⎭,
所以2000
ln 12000ln 1M M
v m m ⎛⎫
⎛⎫=+=+
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
, 当
2M
m
=时，2000ln32000 1.0992198(m /s)v =≈⨯=. 故当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 的两倍时，火箭的最大速度约为2198m/s.
规律总结 解对数应用题的步骤：
变式训练4 某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是
0e t λμμ-=，其中0,μλ是正常数经检测，当2t =时，00.9μμ=，则当稳定性系数降为00.5μ时，该种汽车已使用的年数为_______（结果保留到1，参考数据：
lg 20.301,lg30.4771)≈≈.
答案 13
点拨 由()
2
20000.9e
e
λ
λμμμ--==，得e
λ
-=.令()
000.5e
t
λμμ-=，得
0.5t =，两边取常用对数，得lg 0.5lg 0.92
t
=
，故2lg 21312lg 3t =
≈-. 规律方法总结
1.应用对数的运算性质，可将高一级（乘、除、乘方、方根）的运算转化为低一级（加、减、乘、除）的运算，可以将较大幂的问题，转化为运算量较小的
问题.而灵活运用对数运算性质进行对数运算，要注意性质的正用和逆用.在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算.
2.含有常用对数的运算问题，注意运算中lg5 与lg 2的联系.
3.对数问题与函数、方程等知识的综合运用，要注意对数式有意义的条件，在转化中注意恒等变形.
核心素养园地
例 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题，求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的运算性质以及式子两边取对数的方法计算求解比如，已知光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，设光线原来的强度为k （k 为正常数），通过x 块玻璃以后的强度为y ，
（1）写出y 关于x 的关系式；
（2）至少通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的1
3
以下？（0.9log 310.4≈-）
解析 （1）根据题目中条件“光线通过一块玻璃，其强度要损失10%”分析
出y 关于x 的关系式；（2）根据条件“减弱到原来的1
3以下”建立不等关系进行求
解.
答案 （1）光线通过x 块玻璃的强度为(10.1)x k -，所以()*0.9x y k x =∈N . （2）由题意得0.93x k k <
，所以1093
x ⋅<, 由0.91log 310.93
=得0.91
log 30.90.9x
<，因为00.91<<， 所以0.9
0.91
log log 310.43
x >=-≈. 又因为*x ∈N ，所以min 11x =，
所以至少通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的1
3
以下.
讲评 此类问题考查的是对数在实际问题中的应用对于应用题，应先仔细审
题，弄清楚各个数据间的关系，然后列出相应的方程或不等式，最后解方程或不等式.求解在解答此类题目时，要先找出已知条件有用信息，再找出其中的关系，最后利用对数知识进行相关计算.如果能根据问题情境正确地建立函数和不等式模型，那么可以认为达到数学建模核心素养水平一的要求；如果能利用指数和对数的运算性质进行正确的运算求解，那么可以认为达到数学运算核心素养水平二的要求.。