2021_2022学年高中数学第2章推理与证明模块复习课第2课时推理与证明课后巩固提升含解析新人教A

模块复习课
第2课时推理与证明
课后篇巩固提升
基础巩固
1.由1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,…,得到1+3+…+(2n-1)=n2用的是()
A.归纳推理
B.演绎推理
D.特殊推理
,所以是归纳推理.
2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=(x+1)3在x=-1处的导数值f'(-1)=0,所以x=-1是函数f(x)=(x+1)3的极值点.以上推理中()
A.大前提错误
B.小前提错误
D.结论是正确的
f(x),如果f'(x0)=0,x=x0不一定是函数f(x)的极值点,故选A.
3.观察图形,可推断出“x”处应该填的数字是()
B.183
C.205
D.268
:中间数等于四周四个数的平方和,即
2242+62=62,22+42+52+82=109,所以“x”处应该填的数字是32+52+72+102=183.
4.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有()
①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱锥.
B.3个
C.2个
D.1个
,①③一定属于相似体.
5.通过圆与球的类比,由结论“半径为r的圆的内接四边形中,正方形的面积最大,最大值为2r2”猜想关于球的相应结论为“半径为R的球的内接六面体中,()”.
A.长方体的体积最大,最大值为2R3
B.正方体的体积最大,最大值为3R3
C.长方体的体积最大,最大值为
,最大值为
R的球的内接六面体中,正方体的体积最大,设其棱长为a,当体积最大时,正方体体对角线的长度等于球的直径,即a=2R,得a=,体积V=a3=.故选D.
6.用反证法证明命题“已知a,b为实数,若a,b≤4,则a,b不都大于2”时,应假设()
A.a,b都不大于2
B.a,b都不小于2
2 D.a,b不都小于2
,应假设a,b都大于2,故选C.
7.根据三角恒等变换,可得如下等式:
cos θ=cos θ;
cos 2θ=2cos2θ-1;
cos 3θ=4cos3θ-3cos θ;
cos 4θ=8cos4θ-8cos2θ+1;
cos 5θ=16cos5θ-20cos3θ+5cos θ.
依此规律,猜想cos 6θ=32cos6θ+a cos4θ+b cos2θ-1,则有a+b=.
,所有各式中,各系数与常数项的和是1,因此32+a+b-1=1,于是a+b=-30.
30
8.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定:(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;定义运算“”为
(a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad);定义运算“”为(a,b)(c,d)=(a+c,b+d).设p,q∈R,若(1,2)(p,q)=(5,0),则,q)等于.
(1,2)(p,q)=(p-2q,2p+q)=(5,0),所以解得故(1,2)(p,q)=(1,2)(1,-2)=(2,0).
9.(1)已知a>2,b>2,求证:a+b<ab;
ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a>b,用反证法证明:cos B>0.
因为a>2,b>2,
所以0<,0<,
可得a+b>0,ab>0,
又因为=1,
所以a+b<ab.
(2)假设cos B≤0,
又因为B是三角形的内角,所以B∈,π,
因为a>b,可得A>B,则A>,
所以A+B>π,与A+B<π矛盾,
即假设不成立,因此cos B>0成立.
10.通过计算可得下列等式:
22-12=2×1+1;
32-22=2×2+1;
42-32=2×3+1;
……
(n+1)2-n2=2n+1.
将以上各式两边分别相加,得(n+1)2-1=2×(1+2+3+…+n)+n,即1+2+3+…+n=.
类比上述方法,请你求出12+22+32+…+n2的值.
3-13=3×12+3×1+1,33-23=3×22+3×2+1,43-33=3×32+3×3+1,…,(n+1)3-n3=3n2+3n+1.
将以上各式两边分别相加,得(n+1)3-13=3(12+22+32+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n,
所以12+22+32+…+n2
=
能力提升
1.用数学归纳法证明“+…+>1”时,假设n=k时命题成立,则当n=k+1时,左端增加的项为()
A.
B.
C.
n=k时,左边为+…+,
当n=k+1时,左边为+…+,
所以增加的项为+…+-+…+=.
故选D.
2.某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题,甲和丁均说自己不会证明;乙说:丙会证明;丙说:丁会证明.已知四名同学中只有一人会证明此题,且只有一人说了真话.据此可以判定能证明此题的人是()
A.甲
B.乙
D.丁
,丁和丙的说法矛盾,他们有一人说了真话,则甲、乙说了假话,又四名同学中只有一人会证明此题,∴甲会证明,乙、丙、丁都不会证明,故选A.
3.观察下列不等式:
≥2×;
;
;
≥2×75;
……
由以上不等式,可以猜测:当a>b>0,s,r∈N*时,有≥.
,可知≥2×≥2×75=,故猜想当a>b>0,s,r∈N*时,.
4.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则
10b+c=.
:
(1)当只有①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;
(2)当只有②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;
(3)当只有③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,
所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.
故答案为201.
5.设函数f(x)=,a,b为正实数.
(1)用分析法证明f+f;
a+b>4,求证:af(b),bf(a)中至少有一个大于.
要证f+f,
只需证.
因为a,b为正实数,
只需证3(a2+b2+4ab)≤2(2a2+2b2+5ab),
即证a2+b2≥2ab,
因为a2+b2≥2ab显然成立,所以原不等式成立.
(2)假设af(b)=,bf(a)=,
因为a,b为正实数,所以2+b≥2a,2+a≥2b,
两式相加得4+a+b≥2a+2b,
即a+b≤4,与条件a+b>4矛盾,
故af(b),bf(a)中至少有一个大于.
6.对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(a n,b n),记T1(P)=a1+b1,T k(P)=b k+max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}(2≤k≤n),其中max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}表示T k-1(P)和a1+a2+…+a k两个数中最大的数.
(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;
(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和
c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小.
T1(P)=2+5=7,
T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.
(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},
T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.
当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.
因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').
当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.
因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,
所以T2(P)≤T2(P').
所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立.。