2019年高考数学 考点42 直线、平面平行的判定与性质必刷题 理

考点42 直线、平面平行的判定与性质
1．如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列命题错误的是（）
A．异面直线和所成的角为定值
B．直线和平面平行
C．三棱锥的体积为定值
D．直线和平面所成的角为定值
【答案】D
，由线面夹角的定义，令与的交点为，可得即为直线和平面所成的角，当移动时这个角是变化的，故错误
故选
2．平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A ，，，则m，n所成角的正切值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
2
3．已知直三棱柱ABC—A1B1C1的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点P，Q分别为线段A1B，B1C上的动点，若直线PQ∩平面ACC1A1＝，点M为线段PQ的中点，则点M的轨迹长度为
A． B． C． D．
【答案】D
1
4．棱长为2的正方体中，为棱中点，过点，且与平面平行的正方体的截面面积为（）
A． 5 B． C． D． 6
【答案】C
【解析】结合两个平行平面与第三个平面相交，交线平行的结论，找到平面截正方体所得的截面多边形，画好之后能够确定其为菱形，之后借助于菱形的面积公式等于两条对角线乘积的一半，从而求得结果.
取BC中点M ，取中点N ，则四边形即为所求的截面，
根据正方体的性质，可以求得，
2
根据各边长，可以断定四边形为菱形，
所以其面积，故选C.
5．在菱形中，且，点分别是棱的中点，将四边形沿着转动，使
.
得与重合，形成如图所示多面体，分别取的中点
（Ⅱ）若平面平面，求与平面所成的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）与平面所成的正弦值为
.
1
6．如图，四棱锥，，，，，M，O分别为CD和AC的中点，平面ABCD．
求证：平面平面PAC；
Ⅱ是否存在线段PM上一点N ，使得平面PAB ，若存在，求的值，如果不存在，说明理由．
2
【答案】（1）见解析（2）当N为PM靠近P 点的三等分点时，平面PAB．
1
2
7．如图，四棱锥
中，底面
为矩形，
平面
，为
的中点
.
（1）证明：∥平面
； （2）设，若点到平面的距离为
,
求二面角
的大小.
【答案】(1)见解析（2） 【解析】 （1）证明：连结交
于点，连结
,
因为为矩形，所以为的中点， 又为
的中点，所以
，
平面平面
，所以平面
8．如图1，在△中，分别为的中点，为的中点，．将△ADE沿DE 折起到△的位置，使得平面如图2．
（Ⅰ）求证：;
.
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值
【答案】(I)见解析；（II ）.
1
,设面的法向量，则，解得，所以，，所以
所以二面角的平面角的余弦值
2
9．如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，，点为棱的中点.
(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)若，求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)见解析.
(2) .
10．如图，已知平面平面，为线段的中点，，四边形为边长为1的正方形，平面平面，，，为棱的中点.
(1)若为线上的点，且直线平面，试确定点的位置；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
又平面的一个法向量
所求锐二面角的余弦值约：
.
11．如图所示, 平面,平面平面,四边形为正方形，, ,点在棱上.
(1)若为的中点为的中点,证明:平面平面；
(2)设,是否存在,使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析(2) 不存在,使得平面平面
则．
12．在三棱柱中，已知侧棱与底面垂直，，且，，为的中点，为上一点，．
（1）若三棱锥的体积为，求的长；（2）证明：平面．
【答案】（1）．（2）见解析．
又，∴，
而平面，平面，
∴平面.
13．如图，三棱柱中，四边形为菱形，，平面平面，在线段上移动，为棱的中点.
（1）若为线段的中点，为中点，延长交于，求证：平面；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1）见解析（2）
则
14．在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，，，
，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2) .
平面中，设法向量为，则, 取,
，所以二面角的余弦值为.
15．如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，且，与交于点，
底面，.
（1）求证：无论为何值，在棱上总存在一点，使得平面；
（2）当二面角为直二面角时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）1
设平
16．四棱锥中，底面是边长为2的菱形，.,且平面，，点分别是线段上的中点，在上.且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.
【答案】（1）见解析（2）（3）四边形为平面与四棱锥的表面的交线
【解析】分析：（Ⅰ）推导出，由此能证明平面；
（Ⅱ）推导出，，，以O为原点，OA、OB、OP分别为x、y、z轴建立空间直角做消息，利用向量法能求出直线AB与平面EFG的所成角的正弦值；
（Ⅲ）法1：延长分别交延长线于，连接，发现刚好过点，,连接，则四边形
所以直线与平面的成角的正弦值为
（Ⅲ）法Ⅰ：延长分别交延长线于，连接，发现刚好过点，,连接，则四边形
为平面与四棱锥的表面的交线.
法2：记平面与直线的交点为，设，则
由，可得.
所以即为点.
所以连接，，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线.
17．如图，四棱柱为长方体，点是中点，是的中点.
(I)求证: 平面；
(l)若，求证:平面平面.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
18．在等腰直角中，，分别为，的中点，，将沿折起，使得二面角为.
（1）作出平面和平面的交线，并说明理由；
（2）二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：（1）通过找到解题思路，再根据线面平行的判定、性质以及公理“过平面内一点，作平面内一条直线的平行线有且只有一条”说明理由.
（2）过点作的垂线，垂足为，以F为坐标原点，FB所在方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，应用空间向量，分别求得两平面的法向量，两平面法向量夹角
详解：（1）在面内过点作的平行线即为所求.
19．如图，四边形和四边形均是直角梯形，，二面角是直二面角，，，.
（1）求证：面；
（2）求二面角的大小. 【答案】（1）见解析（2）
20．如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，平面，且，.
(1)求证: 面；
(2)求棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）.
【解析】分析：(1) 取中点，根据平几知识得四边形为矩形，即得，再根据线面平行判定定理得结论， (2)先证AD垂直平面ABNM，再根据等体积法以及锥体体积公式得结果.
21．如图，矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
∴，
注意到此二面角为钝角，
故二面角的余弦值为.
22．已知矩形与直角梯形，，点为的中点，，在线段上运动.
（1）证明：平面；
（2）当运动到的中点位置时，与长度之和最小，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
23．如图，在四棱锥中，，，，，，是棱中点且.
（1）求证：平面；
（2）设点是线段上一动点，且，当直线与平面所成的角最大时，求的值.
【答案】(1)证明见解析.
(2).
又面的法向量为，
24．如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，，分别为棱，，.
的中点
（2）证明：平面平面；
（3）求直线与直线所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）见解析(3)
【解析】分析：（1）先证明，再证明平面.(2)先证明面，再证明平面
平面.(3)利用异面直线所成的角的定义求直线与直线所成角的正弦值为.
详解：（1）证明：连接，
∵、分别是、的中点，
1
2
即直线与直线所成角的正弦值为.
25．底面为正方形的四棱锥，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足.
（1）证明：平面；
.
（2）当时，求二面角的余弦值
1
所以，故，二面角的余弦值为.
2。