2021年九年级中考数学 专题突破：二次函数的图象及其性质(含答案)

2021中考数学 专题突破：二次函数的图象及其
性质
一、选择题
1. 已知抛物线y=-x 2+bx+4经过(-2，n )和(4，n )两点，则n 的值为 ( )
A .-2
B .-4
C .2
D .4
2. （2020·衢州）二次函数2y x 的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正
确的是（ ）
A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位
B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位
D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位
3. 已知二次函数
y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：
有下列结论：①抛物线的开口向上；①抛物线的对称轴为直线x ＝2；①当0<x<4时，y>0；①抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；①若A(x 1，2)，B(x 2，3)是抛物线上的两点，则x 1<x 2. 其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
4. 某人画二次函数
y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，列出下表(计算没有错误)：
根据此表判断：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 1满足下列关系式中的( )
A ．3.2<x 1<3.3
B ．3.3<x 1<3.4
C ．3.4<x 1<3.5
D ．3.1<x 1<3.2
5. 2019·雅安
在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错
误的是( ) A ．y 的最小值为1
B ．图象的顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2
C ．当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小
D ．它的图象可以由y ＝x 2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
6. ①①①①①①y ①ax 2①bx ①c ①①①①①①①(
)
A①b ①0①c ①0 B①b ①0①c ①0 C①b ①0①c ①0 D①b ①0①c ①0
7.
①①①①y ①ax 2①bx ①c (a ≠0)①①①①①①①①①①①①①①b <0①①c >0①①a ①c <b ①①b 2①4ac >0①①①①①①①①①( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. （2020·随州）如图所示，已知二次函数c +bx +ax
=y 2
的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①2a +b =0；②2c <3b ；③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当△BCD 是直角三角
形时，2
2
-=a .其中正确的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
9. 已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是()
10.
①①①①①①2①①①①ABC①①①①1①①①①A′B′C′①①①①①B′C′①BC①①①①①①①l①①①①①①①C′①B①①①①ABC①①①①①①①①①A′B′C′①①①①①①①l①①①①①①ABC①(①B′①C①①)①①①①①A′B′C′①①①①①①x①①①①①①①①①①①①①①y①①y①①x①①①①①①()
二、填空题
11. ①①①①①①①①①①①①①①①①y①1 2
x2①4x①3①①①①①①①①(①2①1)①①①①①①①①①①①①①________________①
12.
①①①y①①8x2①①①①________①①①①①________①①①①①①________①①x①0①①y ①x①①①①________①①x①0①①y①x①①①①________①
13. ①①①①①①y①3x2①c①①①①①①y①4x①①①①①①①①①①①c①①①________①
14. 已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为________．
15. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①b＞0；①a－b＋c＜0；①阴影部分的面积为4；①若c＝－1，则b2＝4a.
16.
①①①①①①①①①①①①①y①x2①①①①①①①①A①①①①(1①1)①①①A①AA1①x①①①①①①①A1①①①A1①A1A2①OA①①①①①①A2①①①A2①A2A3①x①①①①①①①A3①①①A3①A3A4①OA①①①①①①A4……①①①①①①①①①A2019①①①①________①
三、解答题
17.
①①①①①①①①y①x2①(m①3)x①9①①①C①x①①①①①①①①①①y①x①3①①①①①①A①B①①①①x①y①①①①①D①E①①①
(1)①m①①①
(2)①A①B①①①①①①
(3)①P(a①b)(①3<a<1)①①①①①①①①①①P AB①①①①①ABC①①①2①①①①a①b①①①
18. ①①①①①y①①x①3①x①①y①①①①①①①B①C①①①B①C①①①①①①y①ax2
①bx①c①x①①①①①①①①A①①①①P①①①①①①①①x①2.
(1)①①①①①①①①①①
(2)①①PB①PC①①①PBC①①①①
(3)①①AC①①x①①①①①①①①Q①①①①①P①B①Q①①①①①①①①①ABC①①?①①①①
①①①Q①①①①①①①①①①①①①①①
19. 如图，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ 与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；
（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ 的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．
2021中考数学专题突破：二次函数的图象及其
性质-答案
一、选择题
1. 【答案】B[解析]由抛物线过(-2，n)和(4，n)，说明这两个点关于对称轴对称，即对称轴为直线x=1，所以-=1，又因为a=-1，所以可得b=2，即抛物线的解
析式为y=-x 2+2x +4，把x=-2代入解得n=-4.
2. 【答案】C
【解析】由于 A 选项平移后的解析式为y =(x +2)2-2，当x =2时，y =14，所以它不经过（2，0）；B 选项平移后的解析式为y =(x +1)2+2，当x =2时，y =7，所以它不经过（2，0）；C 选项平移后的解析式为y =(x -1)2-1，当x =2时，y =0，所以它经过（2，0）；D 选项平移后的解析式为y =(x -2)2+1，当x =2时，y =1，它不经过（2，0），因此本题选C.
3. 【答案】B [解析] 先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确．由图象(或表格)可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为(0，0)，(4，0)，所以抛物线的对称轴为直线x ＝2且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论①和①正确．由图象可以看出当0<x<4时，y<0，所以结论①错误．由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对应的点均有两个，若A(x 1，2)，B(x 2，3)是抛物线上两点，既有可能x 1<x 2，也有可能x 1>x 2，所以结论①错误．
4. 【答案】B
[解析] 从表格中的数据看，当3.2≤x≤3.5时，y 随x 的增大而增大，
且x ＝3.3时，y ＝－0.17<0，x ＝3.4时，y ＝0.08>0，故y ＝0一定在3.3<x<3.4这个范围内取得，①方程的根也在此范围内．故选B.
5. 【答案】C
6.
【
答
案
】
B [①①]
①①①①①y①ax 2①bx①c①①①①①①①①①a①0.①①①①①①①①①①①x①①b
2a
①0①①b①0.①①①①①①①①y①①①①①①①①c①0.①①B.
7.
【
答
案
】
C
①①①①①①①①①①①①①a ①0①①①①①①y ①①①①①a ①b ①①①①b ①0①①①①①①①①①①y ①①①x ①①①①①c ①0①①①①①①①x ①①1①①a ①b ①c <0①①a ①c <b ①①①①①①①①①x ①①①①①①①①b 2①4ac ①0①①①①①①
8. 【答案】
B
【解析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、等腰三角形的性质、勾股定理，解答过程如下：
∵二次函数c +bx +ax =y 2的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，
∴对称轴为12312=+-=-
=a b x ，∴2a +b =0，故①正确； ∵2a +b =0，∴b a 2
1
-=.
∵二次函数c +bx +ax =y 2的图象经过点A （-1，0），∴a -b +c =0.
∴02
1
=+--c b b ，∴3b =2c ，故②错误；
∵AC 不可能等于BC ，∴当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个.故③正确； ∵△BCD 是直角三角形时，∠BCD 和∠BDC 都可能是直角，∴a 的取值应该有两个，故④错误.
综上所述，①③正确.因此本题选B ．
9. 【答案】D [解析] 联立⎩⎨⎧y ＝ax 2＋bx ，y ＝ax ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－b a ，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝a ＋b.
故二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝ax ＋b(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象的交点坐标分别为(－b
a ，0)，(1，a ＋b)．
对于D 选项，由直线过第一、二、四象限，可知a<0，b>0.①|a|>|b|，①a ＋b<0，从而(1，a ＋b)应在第四象限，①D 选项不正确．
10. 【答案】B
【解析】由题意知：在①A ′B ′C ′移动的过程中，阴影部分总为等边
三角形．当0＜x ≤1时，边长为x ，此时y ＝12x ×32x ＝3
4x 2；当1＜x ≤2时，重合
部分为边长为1的等边三角形，此时y ＝12×1×32＝3
4；当2＜x ≤3时，边长为3
－x ，此时y ＝12(3－x )×3
2(3－x )．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最
高点为3
4.故选B.
二、填空题
11. 【答案】y①12(x①2)2
①1 [①①]
①①①①①①①①①①①①①①①①①y①a(x①h)2①k.①①①①①①①①①①①①①①①①①①①y ①12x 2①4x①3①①①①①a①12①①①①①①①①①①①①①①y①1
2(x①2)2①1.
12. 【答案】①
y① (0①0) ①① ①①
13.
【
答
案
】
43
①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①y①3x 2①c①y①4x①①①①①①①①y①3x 2①c①4x①①①①3x 2①4x①c①0①①①①①①①①①①①
①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①b 2①4ac①(①4)2
①4×3c①0①①①c①43.
14. 【答案】4
[解析] x ＋y ＝－x2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴当x ＝－1时，x ＋y
有最大值，最大值是4.
15. 【答案】①①
[解析] ①抛物线开口向上，①a ＞0.
又①对称轴为直线x ＝－b
2a ＞0，①b ＜0，①结论①不正确； ①当x ＝－1时，y ＞0，①a －b ＋c ＞0，①结论①不正确；
根据抛物线的对称性，可将阴影部分的面积进行转化，从而求得阴影部分的面积＝2×2＝4，①结论①正确；
①4ac －b 2
4a ＝－2，c ＝－1，①b 2＝4a ，①结论①正确． 综上，正确的结论是①①.
16.
【
答
案
】
(①1010①10102) [①①]
①①A①①①①①①①OA①①①①①y①x.①AA 1①x①①①A 1(①1①1)①①①①A 1A 2①OA①①①①①A 1A 2①①①①①y①x①2①①①①①①①①①①①①A 2①①①①(2①4)①①①①①①A 3(①2①4)①A 4(3①9)①A 5(①3①9)①…①A 2019(①2019①12
①10102)①①A 2019(①1010①10102
)①
三、解答题
17. 【答案】
①①(1)①①①①y①x 2①(m①3)x①9①①①①x①①①①①①①
①①①x 2①(m①3)x①9①0①①①①①①①①①①
①b 2①4ac①[①(m①3)]2①4×9①0①①①m①3①m①①9① ①①①①①①①①①①0①①m①3>0① ①m①3.(3①)
(2)①(1)①①①①①①①①①y①x 2①6x①9①①①①①①①y①x①3①
①①⎩⎪⎨⎪⎧y①x 2①6x①9
y①x①3
①
①①⎩⎪⎨⎪⎧x①1y①4①⎩
⎪⎨⎪⎧x①6y①9①
①A(1①4)①B(6①9)①(6①)
(3)①①①①①①①A①B①P①①①x①①①①①①①①①①R①S①T①
①①
①A(1①4)①B(6①9)①C(3①0)①P(a①b)①
①AR①4①BS①9①RC①3①1①2①CS①6①3①3①RS①6①1①5①PT①b①RT①1①a①ST ①6①a①
①S ①ABC ①S ①①ABSR ①S ①ARC ①S ①BCS ①12×(4①9)×5①12×2×4①1
2×3×9①15①
S ①PAB ①S ①①PBST ①S ①①ARTP ①S ①①ARSB ①12(9①b)(6①a)①12(b①4)(1①a)①12×(4①9)×5①1
2(5b①5a①15)①(8①) ①①S ①PAB ①2S ①ABC ① ①1
2(5b①5a①15)①30①①b①a①15① ①b①15①a① ①P①①①①①①① ①b①a 2①6a①9①
①15①a①a 2①6a①9①①①a①7±73
2① ①①3<a<1①
①a①7①732①
①b①15①7①732①37①73
2
.(10①)
18. 【答案】
(1)①y ①①x ①3①x ①①y ①①①①B ①C ①①① ①C (0①3)①B (3①0)① ①①①①①①①①①①x ①2①
①①①①①①①①①①①①①y ①a (x ①2)2①k (a ≠0)①
①B (3①0)①C (0①3)①①①①①①,430⎩⎨
⎧+=+=k
a k a ①①①①,1
1
⎩⎨⎧
=-=a k ①①①①①①①①①①y ①(x ①2)2①1①①y ①x 2①4x ①3①
(2)①y ①x 2①4x ①3①(x ①2)2①1① ①P (2①①1)①
①①B (3①0)①C (0①3)①
①PC ①2242+①52①PB ①212-322
=+）（①
BC ①23183322==+①
①①PB 2①BC 2①2①18①20①PC 2①20① ①PB 2①BC 2①PC 2①
①①PBC ①①①①①①①
①S PBC △①12PB ·BC ①1
2×2×23①3①
(3)①①①①Q (m ①0)①①①①①P ①B ①Q ①①①①①①①①①ABC ①①① ①①①ABC ①①ABP ①45°①①Q ①①B ①①①①①m <3① ①①AB ①2①BC ①23①BQ ①3①m ①BP ①2① ①①BQ
BA BP
BC =①①①QBP ①①ABC ①
①2
2323=-m
①①①①m ①7
3①
①Q (7
3①0)①
①①BP
BA BQ
BC =①①①PBQ ①①ABC ①
①m
-=322
23①①①①m ①0①
①Q (0①0)①
①①①①Q ①①①①①P ①B ①Q ①①①①①①①①①ABC ①①①Q ①①①①①Q (7
3①0)①Q (0①0)①
19. 【答案】
（1）由A (1,－1)、B (3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x ＝1，点O 关于直线x ＝1的对称点为(4,0)．
于是可设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，代入点A (1,－1)，得－3a ＝－1． 解得13
a =．所以2114(4)(2)3
3
3
y x x x =-=--．顶点M 的坐标为4(2,)3
-． （2）△OPQ 是等腰直角三角形，P (2t , 0)，Q (t ,－t )．
（3）旋转后，点O ′的坐标为(2t ,－2t )，点Q ′的坐标为(3t ,－t )．
将O ′(2t ,－2t )代入1(4)3y x x =-，得122(24)3t t t -=⨯-．解得12
t =．
将Q ′(3t ,－t )代入1(4)3y x x =-，得13(34)3t t t -=⨯-．解得t ＝1． 因此，当12t =时，点O ′落在抛物线上（如图2）；当t ＝1时，点Q ′落在抛物线上（如图3）．
图2 图3
（4）①如图4，当0＜t ≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ ．此时S ＝t 2． ②如图5，当1＜t ≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPF A ．此时AF ＝2t －2． 此时S ＝1
(222)1212t t t +-⨯=-．
图4 图5
③如图6，当1.5＜t ＜2时，重叠部分是五边形OCEF A ．
此时CE ＝CP ＝2t －3．所以BE ＝BF ＝1－(2t －3)＝4－2t ．
所以S ＝221
111(32)1(42)28222t t t +⨯--=-+-．
图6 考点伸展
在本题情景下，重叠部分的周长l 与t 之间有怎样的函数关系？
如图4，(2l t =+．如图5，42l t =-+
如图6，(42l t =-+．。