2021_2022学年高中数学课时分层作业18平面向量基本定理(含解析)新人教B版必修4

课时分层作业(十八) 平面向量根本定理
(建议用时：60分钟)
[合格根底练]
一、选择题
1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，那么以下四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2
D ．e 1和e 1＋e 2
B [B 项中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)与(3e 1－4e 2)共线， ∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底．] 2．如图，向量a －b 等于( )
A ．－4e 1－2e 2
B ．－2e 1－4e 2
C ．e 1－3e 2
D ．3e 1－e 2
C [不妨令a ＝CA →，b ＝CB →， 那么a －b ＝CA →－CB →＝BA →
，
由平行四边形法那么可知BA →
＝e 1－3e 2.]
3．如下图，矩形ABCD 中，假设BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，那么OC →
等于( )
A.1
2(5e 1＋3e 2) B.1
2(5e 1－3e 2) C.1
2(3e 2＋5e 1) D.1
2
(5e 2－3e 1) A [OC →＝12AC →＝12(BC →＋AB →)
＝12(BC →＋DC →)＝1
2
(5e 1＋3e 2)．] 4．假设D 点在△ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →
，那么3r ＋s 的值为( )
A.
165
B.
125
C.85
D.45
C [∵C
D →＝4DB →＝rAB →＋sAC →
， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，
∴r ＝45，s ＝－4
5，
∴3r ＋s ＝125－45＝85
.]
5．点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，假设2PD →＝(1－λ)PA →＋CB →
，其中
λ∈R ，那么点P 一定在( )
A ．A
B 边所在的直线上 B ．B
C 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上
D ．△ABC 的内部
C [由2P
D →＝(1－λ)PA →＋CB →
得 2(PA →＋AD →)＝PA →－λPA →＋CB →， 2PA →＋2AD →＝PA →－λPA →＋CB →， PA →
＋2AD →－CB →＝－λPA →
.
∵边AB 的中点为D ， ∴PC →＝－λPA →， ∴P 在直线AC 上．] 二、填空题
6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .假设点D 满足BD →＝2DC →，那么AD →
＝________(用b ，c 表示) 23b ＋1
3c [AD →＝AB →＋BD →，又BD →＝2DC →， ∴BD →＝23
BC →.
∵BC →＝AC →－AB →
＝b －c ，
∴AD →＝AB →＋23BC →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13
c .]
7．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，那么向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________.
23a －1
3
b [因为a ＝e 1＋2e 2
①， b ＝－e 1＋e 2
②，
显然a 与b 不共线， ①＋②得a ＋b ＝3e 2， 所以e 2＝
a ＋b
3
代入②得
e 1＝e 2－b ＝a ＋b 3
－b ＝13
a －23
b ，
故有e 1＋e 2＝13a －23b ＋13a ＋13b ＝23a －1
3
b .]
8.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →用AB →与AD →可表示为EF →
＝________.
12AB →－23AD → [EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →
，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD →
.]
三、解答题
9．如图，在平行四边形OPQR 中，S 是对角线的交点，假设OP →＝2e 1，OR →
＝3e 2，以e 1，e 2
为基底，表示PS →与QS →
.
[解] 平行四边形OPQR 中，OQ →＝OP →＋OR →
＝2e 1＋3e 2， PR →＝OR →－OP →
＝3e 2－2e 1.
S 是OQ 、PR 的中点，
∴PS →＝12PR ＝32e 2－e 1，QS →＝－12OQ →＝－e 1－32e 2.
10．如下图，在ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，BF 与DE 交于点G ，设AB →
＝a ，
AD →
＝b .
(1)用a ，b 表示DE →
；
(2)试用向量方法证明：A ，G ，C 三点共线． [解] (1)DE →＝AE →－AD →＝AB →＋BE →－AD →
＝a ＋12b －b ＝a －12
b.
(2)证明：连接AC ，BD 交于O (图略)，那么CO →＝12CA →，
∵E ，F 分别是BC ，DC 的中点，∴G 是△CBD 的重心， ∴GO →＝13CO →＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC →＝－16AC →，
又C 为公共点，∴A ，G ，C 三点共线．
[等级过关练]
1.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，假设AB →＝a ，AD →
＝
b ，用a 、b 表示AG →
＝( )
A.14a ＋1
4b B.13a ＋13b C.34a －1
4
b D.34a ＋34
b D [易知CF →＝12CD →，CE →＝12
CB →
.
设CG →＝λCA →，那么由平行四边形法那么可得CG →＝λ(CB →＋CD →)＝2λCE →＋2λCF →
，由于E ，G ，
F 三点共线，
那么2λ＋2λ＝1，即λ＝1
4，从而CG →＝14CA →，
从而AG →＝34AC →＝3
4
(a ＋b )．]
2．A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫
12OA →＋12OB →＋2OC →，
那么点P 一定为△ABC 的( )
A ．A
B 边中线的中点
B ．AB 边中线的三等分点(非重心)
C ．重心
D ．AB 边的中点
B [如图，设AB 的中点为M ， 那么OM →＝12OA →＋12OB →，
又OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫
12OA →＋12OB →＋2OC →，
∴OP →＝13(OM →＋2OC →
)，
∴13MP →＝23PC →， 即MP →＝2PC →，
∴P 、M 、C 、O 四点共线，且点P 为CM 的三等分点． 又CM 为△ABC 中AB 边上的中线，点O 为△ABC 的重心． ∴点P 为AB 边中线的三等分点(非重心)．]
3．如下图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，假设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AF →
等于________(用a 、b 表示)．
13a ＋b [由题知DF AB ＝DE EB ＝13，那么DF ＝1
3AB ，所以AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →＝13a ＋b .] 4．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，假设AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，那么m ＋n 的值为________．
2 [AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.
∵M ，O ，N 三点共线，
∴m 2＋n
2＝1， ∴m ＋n ＝2.]
5．单位圆O 上的两点A ，B 及单位圆所在平面上的一点P ，OA →与OB →
不共线． (1)在△OAB 中，点P 在AB 上，且AP →＝2PB →，假设AP →＝rOB →＋sOA →
，求r ＋s 的值． (2)如图，点P 满足OP →＝mOA →＋OB →
(m 为常数)，假设四边形OABP 为平行四边形，求m 的值．
[解] (1)因为AP →＝2PB →，所以AP →＝23AB →，
所以AP →＝23(OB →－OA →)＝23OB →－23
OA →，
又因为AP →＝rOB →＋sOA →，所以r ＝23，s ＝－2
3，
所以r ＋s 的值为0.
(2)因为四边形OABP 为平行四边形， 所以OB →＝OP →＋OA →
， 又因为OP →＝mOA →＋OB →
， 所以OB →＝OB →＋(m ＋1)OA →，
依题意OA →，OB →
是非零向量且不共线， 所以m ＋1＝0，解得m ＝－1.。