2024-2025上海沪教版同步精品培优课堂-高二-17-圆的方程

1. 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．
2. 圆的标准方程：圆心为A (a ，b )，半径长为r 的圆的标准方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 当a ＝b ＝0时，方程为x 2＋y 2＝r 2，表示以原点O 为圆心、半径为r 的圆．
注：点和圆的位置关系
（1）点在圆上：d ＝r ，(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；
（2）点在圆外：d ＞r ，(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2；
（3）点在圆内：d ＜r ，(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.
3. 求圆的标准方程的方法
（1）几何法
利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程．
（2）待定系数法
①设：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；
②列：由已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组；
③解：解方程组，求出a ，b ，r ；
④代：将a ，b ，r 代入所设方程，得所求圆的方程．
题型一、圆的标准方程
【例1】以点()2,1A 为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为 .
【难度】★
第17讲 圆的方程 知识梳理
例题分析
模块一：圆的标准方程 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
【例2】圆心在第一象限，半径为1，且同时与x ，y 轴相切的圆的标准方程为 ．
【难度】★
【例3】已知圆的圆心M 是直线2x ＋y －1＝0与直线x －2y ＋2＝0的交点，且圆过点P (－5,6)，圆的标准方程为____________.
【难度】★
【难度】★
【例5】以点(1,2)为圆心，与直线43350x y +−=相切的圆的方程是 ．
【难度】★
【难度】★★
【例8】已知某圆圆心在x 轴上，半径为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
【难度】★★
题型二、点和圆的位置关系 【例1
】若点(,0)P m 在圆22(1)4x y −+=内，则实数m 的取值范围为 ．
【难度】★
【例2】已知点(1,1)在圆220x y ax a +++=外，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(1,)−+∞
B ．(1,0)−
C ．(1−，0)(4⋃，)+∞
D ．(−∞，0)(4⋃，)+∞ 【难度】★★
1. 圆的一般方程的概念
当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．
其中圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，圆的半径为r ＝12
D 2＋
E 2－4
F .
2. 对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的讨论
①D 2＋E 2－4F ＞0时表示圆．
②D 2＋E 2－4F ＝0时表示点⎝⎛⎭
⎫－D 2，－E 2. ③D 2＋E 2－4F ＜0时，不表示任何图形．
注：方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是为
A ＝C ≠0，
B ＝0且D 2＋E 2－4F ＞0.
3. 与圆有关的最值问题的常见类型及解法
（1）形如u ＝y －b x －a
形式的最值问题，可转化为过点(x, y )和(a, b )的动直线斜率的最值问题． （2）形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b
截距的最值问题． （3）形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x, y )到定点(a, b )的距离的平方的最值问题．
模块二：圆的一般方程 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 知识梳理
题型一、圆的一般方程
【例1】已知方程2220x y x my m +−++=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞
B ．(),2−∞
C ．[)2,+∞
D ．()(),22,−∞+∞
【难度】★
【例2】圆22230x y x +−−=的半径为__________.
【难度】★
【例3】若22240x y x y +−−=，求圆心坐标为__________．
【难度】★
【例4】圆22240x y x y +−+=的圆心到直线3450x y +−=的距离等于 ．
【难度】★
【例5】已知()()()2,0,3,3,1,1A B C −，则△ABC 的外接圆的一般方程为 .
【难度】★★
【例6】对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +−−+−=恒过定点，则其坐标为 ．
【难度】★★
【例7】已知一圆经过点(2,3)A −和(2,5)B −−，且圆心C 在直线:230l x y −−=上，求此圆的标准方程．
【难度】★★
例题分析
题型二、圆的对称性
【例3】圆2224110x y x y +−−−=关于点(2,1)P −对称的圆的方程是 ．
【难度】★★
题型三、圆系方程
题型四、与圆有关的最值问题
【例1】已知P 为圆22(3)(4)4x y −+−=上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点Q 到点P
的距离的最大值为 .
【难度】★★
【例2】已知实数x ，y 满足2246120x y x y +−++=，则22x y −−的最小值是（ ）
A ．1−+
B ．4−
C ．5−
D ．【难度】★★
题型五、圆的轨迹
【例1】直角坐标平面xoy 中，若定点A （1，2）与动点P （x ，y ）满足4OP AP ⋅=，则点P 的轨迹方程是___________.
【难度】★★
【例2】从定点()6,8A 向圆2216x y +=任意引一条割线交圆于1P 、2P 两点，求弦12P P 的中
点P 的轨迹．
【难度】★★
【例3】△ABC 的三个顶点坐标是A （0，1），B （2，1），C （3，4）.
（1）△ABC 的外接圆方程；
（2）若线段MN 的端点N 的坐标为（6，2），端点M 在△ABC 的外接圆的圆上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．
【难度】★★
1. 以(1,1)C 为圆心，且经过(2,3)M 的圆的方程是 ．
【难度】★
2. 已知圆C 经过点()4,0，()3,1，且圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为 ．
【难度】★
3. 已知圆C 的方程为22240x y x y +−+=，则圆C 的半径为 .
【难度】★
4. 圆22240x y x y ++−=的圆心坐标是 .
【难度】★
5. 已知两点()3,1P 、()5,3Q −，则以PQ 为直径的圆的方程是 .
【难度】★
6. 若点()2,1在圆220x y x y a +−++=的外部，则a 的取值范围是 .
【难度】★
7. 方程22420x y kx y k ++++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是____________.
【难度】★★
8. 若2222()20x m m y mx m ++++=表示圆，则实数m 的值为 .
【难度】★★
师生总结 巩固练习
10. 已知两点(5,0)A −，(5,0)B ，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则点P 的轨迹方程是___________.
【难度】★★
11. 若曲线()()22
124x y −+−=上相异两点P 、Q 关于直线20kx y −−=对称，则k 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【难度】★★
满足2PM QM =，求点【难度】★★
1. 在平面直角坐标系内，已知点P 及线段l ，Q 是线段l 上的任意一点，线段PQ 长度的最小值称为“点P 到线段l 的距离”，记为(),d P l ．
（1）设点()2,0P ，线段():02l y x x =≤≤，求(),d P l ；
（2）设l 是长为2的线段，求点的集合(){}
,1D P d P l =≤所表示的图形面积．
【难度】★★★ 能力提升。