2024届江西省抚州市高二数学第一学期期末预测试题含解析

③命题 p：若 m 是质数，则 m 一定是奇数.2 是质数，但 2 是偶数，命题 p 是假命题，那么 p 真命题
故选：B. 4、C 【解题分析】利用圆与圆的位置关系进行求解即可.
【题目详解】将圆 C 的方程化为标准方程得 x 32 y 32 m 18 ，
所以 m 18．因为圆 C 上有到 1,0 的距离为 1 的点，
列表如下：
x
, 0
0
0, 4
4
4,
y
0
0
y
减
极小值 9 增
极大值 23 减
所以，函数 y x3 6x2 9 的极小值为 9 .
故选：A. 7、D 【解题分析】先由圆的方程得出两圆的圆心坐标和半径，求出两圆心间的距离与两半径之和与差比较可得答案.
【题目详解】圆 x 12 y 12 1的圆心为 1,1 ，半径为 r1 1 圆 x2 y2 4 的圆心为 0, 0 ，半径为 r2 2 两圆心间的距离为 1 02 1 02 2
A.1
B. 1
C. 2
D. 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知直线 l 是抛物线 C : y2 2 px （ p 0 ）的准线，半径为 3 的圆过抛物线的顶点 O 和焦点 F，且与 l 相切，则 4
抛物线 C 的方程为___________；若 A 为 C 上一点，l 与 C 的对称轴交于点 B，在 ABF 中，sin AFB 2 sin ABF ，
【题目详解】设 AF2 x ，则 BF2 2x ，
由双曲线的定义可得： AF1 AF2 2a 2a x ， BF1 BF2 2a 2a 2x ，
因为点 A 在以 F1F2 为直径的圆上，所以 F1AB 90 ，
所以
AF1
2
AB 2
BF1
2 ，即 2a x2
3x2
2a 2x2 ，解得： x
17．（12 分）已知函数 f x 1 x3 ax2 3a2x .
3
（1）当 a 1时，求函数 f x 在 x 4, 2时的最大值和最小值；
（2）若函数 f x 在区间 1, 2 存在极小值，求 a 的取值范围.
18．（12 分）已知等差数列{an}的公差 d 0 ，前 3 项和 S3 9 ，且 a1, a2 , a5 成等比数列. （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）若 bn 2n1 an ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn .
【题目详解】由原命题与逆否命题之间的关系可知，命题“若 a b ，则 a b ”的逆否命题是“若 a b ，则
a b ”.
故选：C. 10、B
【解题分析】一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数 n 和有利事件数 m ，代入古典概型的概率计算公式 P m ， n
即可得解.
【题目详解】解：从集合2, 4,6,8 中任取两个不同元素的取法有 (2, 4) 、 (2, 6) 、 (2,8) 、 (4, 6) 、 (4,8) 、 (6,8) 共 6
以 cosa b, a (a b) a 6 ab a 3 6
6 3
3 3 ，故选项 C 错误； a b (2,1, 2) ，所以 a b 3 ， a b 3 ，
故 a b a b ，所以选项 D 正确.
故选：C. 2、B
【解题分析】求出| AB | ，进而求出 a ， b 之间的关系，即可求解结论 【题目详解】解：由题意，直线 AB 方程为： x c ，
2a 3
，
在 △AF1F2 中，
AF1
2a x 8 a ， 3
AF2
2a， 3
F1F2
2c ，
由
AF1
2
AF2
2
F1F2
2
可得
8 3
a
2
2 3
a
2
2c2 ，即17a2
9c2 ，
所以双曲线离心率为 e c2 17 17 ， a2 9 3
故选：C.
第 II 卷（非选择题
9、C 【解题分析】利用原命题与逆否命题之间的关系可得结论.
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) ，过左焦点且与
x
轴垂直的直线与双曲线交于 A 、 B 两点，若弦
AB 的长恰
等于实铀的长，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2
B. 2
C. 3
D. 1 5
2
3．下列三个命题：①“若 a2 b2 0 ，则 a，b 全为 0”的逆否命题是“若 a，b 全不为 0，则 a2 b2 0 ”；②若事
A. 18, 6
B. 2, 6
C. 2,18
D. 4,18
5．函数 f (x) 2x2 ln x 单调减区间是（） A. (，1)
2
B. (0，1) 2
C. (， 1) 和 (0，1)
2
2Hale Waihona Puke 6．函数 y x3 6x2 9 极小值为（）
D. ( 1 ， ) 2
A. 9
B. 4
的 C.18
D. 20
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量 a 1, 2,1 ， b 1,1, 1，则以下说法不正确的是（ ）
A. a b
B. a b
C. cosa b, a 3 3
D. a b a b
2．已知双曲线
19．（12 分）为了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数 据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：
（1）在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间 1000,1500 内的概率；
（2）该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；
20．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1(1, 0), F2 (1, 0) .点 M 满足 MF1 MF2 4 .记 M 的轨迹为 C.
【解题分析】可根据已知的 a 和 b 的坐标，通过计算向量数量积、向量的模，即可做出判断.
【题目详解】因为向量 a 1, 2,1 ， b 1,1, 1，所以 a b 11 211 (1) 0 ，故 a b ，所以选项 A
正确； a (1)2 22 12 6 ， b 12 12 (1)2 3 ，所以 a b ，故选项 B 正确； a b (0, 3, 0) ，所
所以圆 C 与圆 C ： x 12 y2 1有公共点，所以 m 18 1 CC m 18 1
因为 CC 3 12 32 5 ，所以 m 18 1 5 m 18 1 ，
解得 2 m 18，
故选：C 5、B
【解题分析】根据函数求导，然后由 f (x) 0 求解.
【题目详解】因为函数 f (x) 2x2 ln x ，
1
A.
3
B.
1 2
1
2
C.
D.
4
3
11．某公司门前有一排 9 个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着 A 车和 B 车，同时进来 C，D 两 车．在 C，D 不相邻的情况下，C 和 D 至少有一辆与 A 和 B 车相邻的概率是（）
10
14
A.
B.
17
17
9
7
C.
D.
16
9
12．已知 a 1, 2, y ， b x,1, 2 ，且 a//b ，则 x y （）
7．圆 x 12 y 12 1与圆 x2 y2 4 的位置关系是（ ）
A.相离 C.相切
B.内含 D.相交
8．已知 F1 ， F2 分别为双曲线 C
： x2 a2
y2 b2
1
a 0,b 0 的左，右焦点，以 F1F2
为直径的圆与双曲线 C 的右支
在第一象限交于 A 点，直线 AF2 与双曲线 C 的右支交于 B 点，点 F2 恰好为线段 AB 的三等分点(靠近点 A )，则双曲线
22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，已知直线 l ：mx－（2－m）y－4=0 与直线 h：x+y－2=0 的交 点 M 在第一三象限的角平分线上. （1）求实数 m 的值；
（2）若点 P 在直线 l 上且| PM | 5 | PO | ，求点 P 的坐标. 2
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C
（1）求 C 的方程；
（2）直线 l 经过点 P(3,0) ，与轨迹 C 分别交于点 M、N，与直线 3x 4 0 交于点 Q，求证：
1 PM
1 PN
2 PQ
.
21．（12 分）已知函数 f x ln x 1 ax .
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）当 a 0 时，求函数 g x 2a3 f x 1 x3 2a3 x 1 在 1,e 内的零点个数.
件 A 与事件 B 互斥，则 P A B P A PB ；③设命题 p：若 m 是质数，则 m 一定是奇数，那么 p 是真命题；
其中真命题的个数为（）
A.3
B.2
C.1
D.0
4．若圆 C： x2 y2 6x 6 y m 0 上有到 1,0 的距离为 1 的点，则实数 m 的取值范围为（）
其中 c a2 b2 ，
因此，设 A(c ， y0 )( y0 0) ， B(c, y0 ) ，
c2 a2
y02 b2
1 ，解得 y0
b2 a
，得 | AF | b2 a
，|
AB |
2b2 a
，
弦 AB 的长恰等于实轴的长， 2b2 2a a b ，
a
e c a
a2 b2 a2
种，其中满足两个元素相差
2
的取法有
2，
故选：B 3、B
【解题分析】写出逆否命题可判断①；根据互斥事件的概率定义可判断②；根据写出 p 再判断真假可判断③.
【题目详解】对于①，“ a2 b2 0 ，则 a，b 全为 0”的逆否命题是“若 a，b 不全为 0，则 a2 b2 0 ”，故①错
误； 对于②，满足互斥事件的概率求和的方法，所以②为真命题；
则 AB 的值为___________.
14．已知数列 an 满足
________
，若
an1 an
对任意 n N* 恒成立，则实数
的取值范围为
15．若向量 a, b 满足 a 3, a b 5, a b 1 ，则 b _________.
16．等轴（实轴长与虚轴长相等）双曲线的离心率_______ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
C 的离心率等于（ ）
A. 2
B. 5
C. 17 3
D. 1 5 2
9．设 a 、 b 是向量，命题“若 a b ，则 a b ”的逆否命题是（ ）
A.若 a b ，则 a b
B.若 a b ，则 a b
C.若 a b ，则 a b
D.若 a b ，则 a b
10．从集合2, 4,6,8 中任取两个不同元素，则这两个元素相差 2 的概率为（）
由 r2 r1 1 2 3 r1 r2 ，所以两圆相交.
故选：D 8、C
【解题分析】设 AF2 x ， BF2 2x ，根据双曲线的定义可得 AF1 2a x ， BF1 2a 2x ，在 Rt ABF1 中由
勾股定理列方程可得 x 2 a ，在 Rt
3
AF1F2 中由勾股定理可得关于 a ， c 的方程，再由离心率公式即可求解.
所以
f
( x)
4x
1
4x2
1
4
x
1 2
x
1 2
，
xx
x
由 f (x) 0 ，解得 0 x 1 ， 2
所以函数的单调递减区间是
0,
1 2
，
故选：B 6、A
【解题分析】利用导数分析函数 y x3 6x2 9 的单调性，可求得该函数的极小值.
【题目详解】对函数 y x3 6x2 9 求导得 y 3x2 12x 3x x 4 ，令 y 0 ，可得 x 0 或 4 ，
2024 届江西省抚州市高二数学第一学期期末预测试题
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B） 填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先 划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。