弹性力学第6章---用有限单元法求平面问题

0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
uj vj um vm
Bδe.
a
其中, B 称为应变矩阵，用分块矩阵表示，
B ( B i B j B m ),
Bi21Ab c0ii b c0ii。(i,j,m)
再应用物理方程，求出单元的应力列阵：
σD εD B δ eS δ e, (d )
化为结点荷载 FLe(FLi FLj FLme.
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的分析过程(3)
3.整体分析
求解方法
作用于结点i上的力有：
各单元对i 结点的结点力 Fi ,
各单位移置到i 结点上的结点荷载 F Li ,
F i F L,i (i 1 ,2 , )
e
e
其中, 表示对围绕i 结点的单元求和； e
应用的方程
其中,D为弹性矩阵,对于平面应力问题是:
1 μ 0
D E 1μ2
μ 0
1 0
0
(c)
1μ/2
(3)虚功方程:
(δ*)TF (ε*)Tσdxdyt A
其中，δ * , ε *为结点虚位移及对应的虚应变。
在FEM中用结点的平衡方程代替平衡微分方程,后者不再列出。
第六章 用有限单元法解平面问题
i
(2)位移模式必须能反映单元的常量应变。 (3)位移模式应尽可能反映位移的连续性。
即应尽可能反映原连续体的位移连
y j
o
i
m x
续性。在三角形单元内部，位移为
连续；在两单元边界ij 上，δ i , δ之j 间 均为线性变化，也为连续。
为了保证FEM的收敛性： (1)和(2)是必要条件，而加上(3)就为充分条件。
第六章 用有限单元法解平面问题
位移函数
§6-4 单元的应变列阵和应力列阵
单元中的位移函数用位移模式表示为
uNiui Njuj Nmum, vNivi Njvj Nmvm。
其中，
N i ( a i b ix c iy )/2 A ,( i,j,m )
应用几何方程，求出单元的应变列阵：
ε (u v v u )T x y x y
第六章 用有限单元法解平面问题
概述
FEM
1、有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。
首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用分片插值技术与虚功原 理或变分方法进行求解。
2、 FEM的特点 (1)具有通用性和灵活性。 (2)对同一类问题,可以编制出通用程序,应用计算机进行 计算。
一种数值解法。
•1943年柯朗(Currant)第一次提出了FEM的概念。
•1956年,特纳(Tunner)等人提出了FEM。
•上世纪50年代,平面问题的FEM建立,并应用于工程问题。
•1960年提出了FEM的名称。 •上世纪60年代后,FEM应用于各种力学问题和非线性问题, 并得到迅速发展。
•上世纪70年代后,FEM被引入我国,并很快地得到应用和发展。 4、FEM的主要导出方法 应用静力方法或变分方法导出。 5、本章介绍平面问题的FEM 仅叙述按位移求解的方法。且一般都以平面应力问题来表示。
解逼近于真解。则为了保证FEM收敛性,位移模式应满足
下列条件： (1)位移模式必须能反映单元的刚体位移。
(2)位移模式必须能反映单元的常量应变。
因为当单元尺寸趋于0时，单元中的位移和应变都趋近
于基本量－－刚体位移和常量位移。
将式(a)写成
u1 2x5
3
2
y5
3
2
y,
v4
6y5
3
2
x5
3
2
x。
而刚体位移形式(P17(2-9)式)为， 对式(a)求应变,得：
§6-2 有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：
FEM的概念
采用有限自由度的离散单元组合体模型去描述实际具有无
限自由度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计
算方法。
该方法的理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
(1)将连续体变换为离散化结构(结构的离散化)； (2)单元分析； (3)整体分析。
(δ*)TF (ε*)Tσdxdyt A
2.FEM分析的主要步骤：
位移模式 应变列阵 应力列阵 结点力列阵 等效结点荷载列阵
第六章 用§有限6单-3元法单解平元面问的题位移模式与解答的位收移敛模式性三角形单元
FEM是取结点位移δi 为基本未知数的。问题是如何求
应变、应力。
首先,必须解决由单元的结点位移
建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题
1.有限单元法求解问题的基本步骤是什么？
2.试说明单元分析的主要内容。
第六章 用有限单元法解平面问题
复习
1、基本物理量与基本方程的矩阵表示
T
(1)几何方程: εux
v y
ux yv
(2)物理方程: σ Dε
(3)虚功方程:
取各结点位移 δi(ui vi)为T(i基1本,2,未)知量，然后对每个单
元,分别求出各物理量,并均用
来表δ示i(i。1,2, )
单元分析的主要内容：
(1)应用插值公式, 由单元结点位移
,
δe(δ i δ 求j 单δ m 元)T的位移函数
d(u(x,y),v(x,y))T.
该插值公式称为单元的位移模式,记为 d Νδe.
出
1 ~6。
其中 1 ~包6 含 xi,yi, 及 ui,vi, 。
u。i,v由i(i,此j,m可) 求
第六章 用有限单元法解平面问题
uv14 25xx 36yy。 , a 将式(a)按未知数 ui,vi归,纳为:
uNiui Njuj Nmum, vNivi Njvj Nmvm。
b
或用矩阵表示为:
第六章 §用有6限-单1元法基解平本面问量题 和基本方程的矩阵表基本示物理量
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁,且便于编制程序。 本章无特别指明,均表示为平面应力问题的公式。
1、基本物理量的矩阵表示
体力: f ( fx fy)T 面力: f ( fx fy)T
位移函数: d(u(x,y),v(x,y))T
为F L已i 知值, 是用F 结i 点位移表示的值。
通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而 求出各单元的应变和应力。
第六章 用有限单元法解平面问题
归纳起来，FEM分析的主要步骤：
求解方法
（1）单元的位移模式 （2）单元的应变列阵 （3）单元的应力列阵 （4）单元的结点力列阵 （5）单元的等效结点荷载列阵
图(c)与图(a)相比,两者都是离散化结构；区别是，桁架的 单元是杆件，而图(c)的单元是三角形块体（注意:三角形单 元内部仍是连续体）。
第六章 用有解方法
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性
的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学方
法进行分析。
ui
vi
u dv
Ni
0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
N0muvjj
Nδe.
c
uvmm
N 称为形函数矩阵,其非零元素为
N i (a i b ix c iy )2 A , (i,j,m ) 其中，
aix xm j y ym j ,b i1 1y ym j ,ci1 1x xm j , (i,j,m )
移函数 d(u(x,y) v(x,y)T。
δe(δi
δj来δm 求T出单元的位
应用插值公式,可由 求δ e出位移 。d 该插值公式表示了单
元中位移的分布形式,因此称为位移模式。 在结点三角形单元中,可以假定位移分量只是坐标的线性
函数,也就是假定：
uv14 25xx 36yy。 , a
插值公式(a)在结点 xi,yi(i,应j,m等)于结点位移值
中Ni的分布如图(a)所示,u,v的分布如图(b)、(c)所示。
FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式为基础的。
所以当单元趋于很小时，即 x, y 时 ，为0了使FEM之
解逼近于真解。则为了保证FEM收敛性,位移模式应满足 下列条件：
第六章 用有限单元法解平面问题
所以当单元趋于很小时，即
x, y 时 ，为0了使FE收M敛之性条件
应变,应力
( b )
(c)
第六章 用有限单元法解平面问题
再应用物理方程，求出单元的应力列阵：
σD εD B δ eS δ e, (d)
应变,应力
其中, S称为应力转换矩阵，写成分块形式为
S (S i S j S m ),
(e )
E
bi
Si DBi 2(1μ2)A1μbμi
2
ci
μci ci
.
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 第一节 基本量及基本方程的矩阵表示 第二节 有限单元法的概念 第三节 单元的位移模式与解答的收敛性 第四节 单元的应变列阵和应力列阵 第五节 单元的结点力列阵与劲度矩阵 第六节 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
第六章 用有限单元法解平面问题
第七节 结构的整体分析结点平衡方程组 第八节 解题的具体步骤 单元的划分 第九节 计算成果的整理 第十节 计算实例 第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程 例题
ε (3)应用物理方程,由单元的应变 ,求出单元的应力 σ Sδe.
(4)应用虚功方程,由单元的应力 σ,求出单元的结点力表示为
Fe(Fi Fj Fmkδe.
其中，Fi (Fix FiyT为结点对单元的作用力，作用于单元， 称为结点力，以正标向为正。 (5)将每一单元中的各种外荷载,按虚功等效原则移置到结点上,
三角形单元
i
y j
o
i
m x
A为△ijm的面积(图示坐标 系中,i,j,m按逆时针编号),有：
1 A 1 1
2
xi xj
1 xm
yi yj 。
ym
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
三结点三角形单元的位移模式，略去了2次以上的项，因而
其误差量级是 o(且x其2)中; 只包含了x,y的1次项，所以在单元
u v
u0 v0
y,
x,
x 2,y 6, xy 3 5.
可见刚体位移项在式(a)中均已反映。 可见常量应变也已反映。
第六章 用有限单元法解平面问题
所以当单元趋于很小时，即 x, y 时 ，为0了使FE收M敛之性条件
解逼近于真解。则为了保证FEM收敛性,位移模式应满足
下列条件：
(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的分析过程(1)
结构离散化
1. 结构离散化
结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元(杆 件)之间除结点铰结外，没有其他联系(图(a))。
(c) 深梁（离散化结构）
弹力研究的对象，是连续体(图(b))。 将连续体变换为离散化结构(图(c))：即将连续体划分为有 限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用 绞连结起来，构成所谓“离散化结构”。
(2)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变 ε Bδe .
第六FE章M用的有限分单元析法过解平程面(问2题)
单元分析的主要内容：
求解方法
(1)应用插值公式, 由单元结点位移
,
δe(δ i δ 求j 单δ m 元)T的位移函数
d(u(x,y),v(x,y))T.
该插值公式称为单元的位移模式,记为 d Νδe. (2)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变ε Bδe .
(3)只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。 3、FEM简史
•FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的 一种数值解法。
•1943年柯朗(Currant)第一次提出了FEM的概念。
第六章 用有限单元法解平面问题
3、FEM简史
简史
•FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的
ui
1 2A
bi 0
ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
uj vj um vm
Bδe
.
a
第六应章用用几有何限单方元程法，解平求面出问单题 元的应变列阵：
ε (u v v u )T x y x y
ui
1 2A
b0i ci
应变: ε(εx εy γxy)T 应力: σ(σx σy τxy)T。
结点位移列阵: δ(ui vi uj vj )T
结点力列阵: F(Fix Fiy Fjx Fjy )T
第六章 用有限单元法解平面问题
2、FEM中应用的方程
(1)几何方程:
εux
v y
uxyvT
(a)
(2)物理方程: σDε (b)
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的分析过程(1)1. 结构离散化
结构离散化
将连续体变换为离散化结构(图(c))：即将连续体划分为有
限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用
绞连结起来，构成所谓“离散化结构”。
(c) 深梁（离散化结构）
比如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角 点用铰连接起来。