2015-2017年山东省高考数学试卷(文科)

2017 年山东省高考数学试卷（文科）
一、选择题：此题共10 小题，每题 5 分，共 50 分。

在每题给出的四个选
项中，只有一项为哪一项切合题目要求
的。

1．（5 分）设会合 M={ x|| x﹣1| ＜ 1} ，N={ x| x＜2} ，则 M∩N=（）A．（﹣1，1）B．（﹣ 1，2） C．（0，2） D．（1，2）
2．（5 分）已知 i 是虚数单位，若复数 z 知足 zi=1+i，则 z2=（）
A．﹣ 2i B．2i C．﹣ 2 D．2
3．（5 分）已知 x，y 知足拘束条件则 z=x+2y 的最大值是（）A．﹣ 3 B．﹣1 C．1 D．3
4．（5 分）已知 cosx= ，则 cos2x=（）
A．﹣B．C．﹣D．
5．（5 分）已知命题 p：? x∈ R， x2﹣x+1≥0．命题 q：若 a2＜b2，则 a＜b，下列命题为真命题的是（）
A．p∧q B．p∧￢ q C．￢ p∧q D．￢ p∧￢ q
6．（ 5 分）若履行右边的程序框图，当输入的x 的值为 4 时，输出的 y 的值为 2，则空白判断框中的条件可能为（）
A．x＞3B．x＞4 C． x≤ 4D．x≤5
A ．
B ．
C ．π
D ．2π
8．（5 分）如下图的茎叶图记录了甲、乙两组各
5 名工人某日的产量数据（单
位：件）．若这两组数据的中位数相等，且均匀值也相等，则 x 和 y 的值分别为
（
）
A ．3，5
B ．5，5
C ．3，7
D ．5，7
9．（5 分）设 f （x ） = 若 f （ a ） =f （a+1），则 f （
） =（
）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．（ 5 分）若函数 e x f （x ）（ e=2.71828 是自然对数的底数）在 f （ x ）的定义域 上单一递加，则称函数 f （x ）拥有 M 性质，以下函数中拥有 M 性质的是（
）
﹣
x
2
C ． f （x ）=3 ﹣
x
D ．f （ x ） =cosx
A ．f （x ）=2
B ．f （x ）=x
二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分
11．（ 5 分）已知向量 =（2，6）， =（﹣ 1， λ），若 ，则 λ= ．
12．（5 分）若直线
=1（a ＞0，b ＞ 0）过点（ 1，2），则 2a+b 的最小值为
．
13．（ 5 分）由一个长方体和两个 圆柱体组成的几何体的三视图如图，则该几
何体的体积为
．
14．（ 5 分）已知 f （x ）是定义在 R 上的偶函数，且
f （x+4）=f （ x ﹣2）．若当 x
﹣
x
15．（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线=1（a＞ 0， b＞ 0）的右支
与焦点为 F 的抛物线 x2=2py（p＞ 0）交于 A， B 两点，若 | AF|+| BF| =4| OF| ，则该双曲线的渐近线方程为．
三、解答题
16．（ 12 分）某旅行喜好者计划从3 个亚洲国家 A1，A2，A3和 3 个欧洲国家 B1，B2， B3中选择 2 个国家去旅行．
（Ⅰ）若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包含 A1但不包含
B1的概率．
17．（12 分）在△ ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b=3，= ﹣6， S△ABC=3，求 A 和 a．
18．（ 12 分）由四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1截去三棱锥 C1﹣B1CD1后获得的几何体如下图，四边形 ABCD为正方形， O 为 AC 与 BD 的交点， E 为 AD 的中点， A1E ⊥平面 ABCD，
（Ⅰ）证明： A1O∥平面 B1CD1；
（Ⅱ）设 M 是 OD 的中点，证明：平面A1EM⊥平面 B1CD1．
19．（ 12 分）已知 { a n} 是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．
（1）求数列 { a n} 通项公式；
（2）{ b n} 为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 S n，已知 S2n+1=b n b n+1，求数列的前 n 项和 T n．
20．（ 13 分）已知函数 f （x）= x3﹣ax2，a∈R，
（ 1）当 a=2 时，求曲线 y=f（x）在点（ 3， f（3））处的切线方程；
（2）设函数 g（ x）=f（x） +（ x﹣ a） cosx﹣sinx，议论 g（x）的单一性并判
断有无极值，有极值时求出极值．
21．（ 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆 C 截直线 y=1 所得线段的长度为2．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）动直线 l：y=kx+m（ m≠0）交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于点 M ．点 N 是 M 对于 O 的对称点，⊙ N 的半径为 | NO| ．设 D 为 AB 的中点， DE，DF 与⊙N 分别相切于点 E，F，求∠ EDF的最小值．
2017 年山东省高考数学试卷（文科）
参照答案与试题分析
一、选择题：此题共10 小题，每题 5 分，共 50 分。

在每题给出的四个选
项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1．（5 分）设会合 M={ x|| x﹣1| ＜ 1} ，N={ x| x＜2} ，则 M∩N=（）A．（﹣ 1，1）B．（﹣ 1，2）C．（0，2） D．（1，2）
【剖析】解不等式求出会合M ，联合会合的交集运算定义，可得答案．
【解答】解：会合 M={ x|| x﹣1| ＜1} =（0，2），
N={ x| x＜ 2} =（﹣∞， 2），
∴M∩N=（0，
2），应选： C．
【评论】此题考察的知识点是绝对值不等式的解法，会合的交集运算，难度不大，属于基础题．
2．（5 分）已知 i 是虚数单位，若复数z 知足 zi=1+i，则 z2=（）
A．﹣ 2i B．2i C．﹣ 2 D．2
【剖析】依据已知，求出 z 值，从而可得答案．
【解答】解：∵复数 z 知足 zi=1+i，
∴z= =1﹣ i，
∴z2=﹣ 2i，
应选： A．
【评论】此题考察的知识点是复数代数形式的乘除运算，难度不大，属于基础题．
3．（5 分）已知 x，y 知足拘束条件则z=x+2y的最大值是（）A．﹣ 3 B．﹣1 C．1D．3
【剖析】画出拘束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
【解答】解： x，y 知足拘束条件的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过可行域的 A 时，目标函数获得最大值，
由：解得 A（﹣ 1，2），
目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3．
应选： D．
【评论】此题考察线性规划的简单应用，确立目标函数的最优解是解题的重
点，考察计算能力．
4．（5 分）已知 cosx= ，则 cos2x=（）
A．﹣ B．C．﹣D．
【剖析】利用倍角公式即可得出．
【解答】解：∵依据余弦函数的倍角公式cos2x=2cos ﹣，且
cosx= ，
x 1
∴ cos2x=2×﹣1= ．
应选： D．
【评论】此题考察了倍角公式，考察了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（5 分）已知命题 p：? x∈ R， x2﹣x+1≥0．命题 q：若 a2＜b2，则 a＜b，下列命题为真命题的是（）
A．p∧q B．p∧￢ q C．￢ p∧q D．￢ p∧￢ q
【剖析】先判断命题 p，q 的真假，从而依据复合命题真假的真值表，可得答案．【解答】解：命题 p：? x=0∈ R，使 x2﹣ x+1≥0 建立．
故命题 p 为真命题；
当 a=1，b=﹣2 时， a2＜b2建立，但 a＜ b 不建
立，故命题 q 为假命题，
故命题 p∧ q，￢ p∧q，￢ p∧￢ q 均为假命
题；命题 p∧￢ q 为真命题，
应选： B．
【评论】此题以命题的真假判断与应用为载体，考察了复合命题，特称命题，不
等式与不等关系，难度中档．
6．（ 5 分）若履行右边的程序框图，当输入的x 的值为 4 时，输出的 y 的值为 2，则空白判断框中的条件可能为（）
A．x＞3B．x＞4 C． x≤ 4D．x≤5
【剖析】方法一：由题意可知：输出y=2，则由 y=log2x 输出，需要 x＞4，则判断框中的条件是x＞ 4，
方法二：采纳清除法，分别进行模拟运算，即可求得答案．
【解答】解：方法一：当 x=4，输出 y=2，则由 y=log2x 输出，需要 x＞4，
应选 B．
方法二：若空白判断框中的条件x＞ 3，输入 x=4，知足 4＞ 3，输出 y=4+2=6，不知足，故 A 错误，
若空白判断框中的条件x＞ 4，输入 x=4，知足 4=4，不知足 x＞3，输出 y=y=log24=2，故 B正确；
若空白判断框中的条件 x≤ 4，输入 x=4，知足 4=4，知足 x≤4，输出 y=4+2=6，不知足，故 C 错误，
若空白判断框中的条件x≤ 5，输入 x=4，知足 4≤ 5，知足 x≤5，输出 y=4+2=6，不知足，故 D 错误，
应选： B．
【评论】此题考察程序框图的应用，考察计算能力，属于基础题．
7．（5 分）函数 y= sin2x+cos2x的最小正周期为（）
A．B．C．πD．2π
【剖析】利用协助角公式，化简函数的分析式，从而依据ω 值，可得函数的周期．
【解答】解：∵函数 y= sin2x+cos2x=2sin（ 2x+），
∵ω=2，
∴T=π，
应选： C．
【评论】此题考察的知识点是三角函数的周期性及其求法，难度不大，属于基础题．
8．（5 分）如下图的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且均匀值也相等，则x 和 y 的值分别为（）
A．3，5B．5，5C．3，7D．5，7
【剖析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且均匀值也相等，可得x，y 的值．
【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，
故乙组数据的中位数也为 65，
即 y=5，
则乙组数据的均匀数为： 66，
故 x=3，
应选： A ．
【评论】此题考察的知识点是茎叶图， 均匀数和中位数， 难度不大，属于基础题．
9．（5 分）设 f （x ） = 若 f （ a ） =f （a+1），则 f （ ） =（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【剖析】 利用已知条件，求出 a 的值，而后求解所求的表达式的值即可．
【解答】 解：当 a ∈（ 0，1）时， f （x ）=
，若 f （a ）=f （ a+1），
可得
=2a ，
解得 a= ，则： f （ ） =f （4）=2（ 4﹣ 1）=6．
当 a ∈[ 1， +∞）时． f （x ）=
，若 f （a ）=f （a+1），
可得 2（a ﹣1）=2a ，明显无解．
应选： C ．
【评论】 此题考察分段函数的应用，考察转变思想以及计算能力．
10．（ 5 分）若函数 e x f （x ）（ e=2.71828 是自然对数的底数）在
f （ x ）的定义域
上单一递加，则称函数 f （x ）拥有 M 性质，以下函数中拥有 M 性质的是（
）
﹣
x
2
C ． f （x ）=3 ﹣
x
D ．f （ x ） =cosx
A ．f （x ）=2
B ．f （x ）=x
【剖析】 依据已知中函数 f （x ）拥有 M 性质的定义，可得 f （x ）=2﹣ x 时，知足
定义．
【解答】 解：当 f （ x ） =2﹣
x
时，函数 e x f （ x ）=（ ） x
在 R 上单一递加，函数 f
（ x ）拥有 M 性质，应选： A ．
【评论】此题考察的知识点是函数单一性的性质，难度不大，属于基础题．
二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分
11．（ 5 分）已知向量 =（2，6）， =（﹣ 1，λ），若，则λ=﹣3．
【剖析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．
故答案为：﹣ 3．
【评论】此题考察了向量共线定理，考察了推理能力语音计算能力，属于基础题．
12．（5 分）若直线=1（ a＞ 0，b＞0）过点（ 1，2），则 2a+b 的最小值为8．【剖析】将（ 1，2）代入直线方程，求得+=1，利用“1代”换，依据基本不等
式的性质，即可求得2a+b 的最小值．
【解答】解：直线=1（a＞0，b＞0）过点（ 1，2），则+=1，
由 2a+b=（ 2a+b）×（+）=2++ +2=4+ + ≥ 4+2=4+4=8，
当且仅当=，即a=，b=1时，取等号，
∴2a+b 的最小值为 8，
故答案为： 8．
【评论】此题考察基本不等式的应用，考察“1代”换，考察计算能力，属于基
础题．
13．（ 5 分）由一个长方体和两个圆柱体组成的几何体的三视图如图，则该几
何体的体积为2+．
【剖析】由三视图可知：长方体长为 2，宽为 1，高为 1，圆柱的底面半径为 1，高
为 1 圆柱的，依据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．
【解答】解：由长方体长为 2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积 V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为 1，高为 1，则圆柱的体积 V2= ×π×12×1= ，
则该几何体的体积V=V1+2V1=2+，
故答案为： 2+．
【评论】此题考察利用三视图求几何体的体积，考察长方体及圆柱的体积公
式，考察计算能力，属于基础题．
14．（ 5 分）已知 f （x）是定义在 R 上的偶函数，且 f （x+4）=f（ x﹣2）．若当 x
∈[ ﹣ 3， 0] 时， f（ x）=6﹣x，则 f （919）= 6 ．
【剖析】由题意可知：（x+6）=f（ x），函数的周期性可知： f（ x）周期为 6，则 f
（919）=f（153× 6+1）=f（1），由 f（x）为偶函数，则 f（ 1）=f（﹣ 1），即
可求得答案．
【解答】解：由 f（ x+4） =f（x﹣2）．则 f（x+6）=f
（ x），∴ f（x）为周期为 6 的周期函数，
f（919）=f（ 153×6+1）=f（ 1），
由 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，则 f（1）=f（﹣ 1），
当 x∈[ ﹣ 3， 0] 时， f（x）=6﹣x，
﹣（﹣ 1）
f（﹣ 1）=6=6，
∴f（919）=6，
故答案为： 6．
【评论】此题考察函数的周期性及奇偶性的应用，考察计算能力，属于基础题．15．（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线=1（a＞ 0， b＞ 0）的右支
与焦点为 F 的抛物线 x2=2py（p＞ 0）交于 A， B 两点，若 | AF|+| BF| =4| OF| ，则该双曲线的渐近线方程为y=±x．
【剖析】把 x2 （＞）代入双曲线（＞，＞），可得： 2 2﹣=2py p 0 =1 a 0 b 0 a y
2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．
【解答】解：把 x2 （＞）代入双曲线（＞，＞），
=2py p 0 =1 a 0 b 0
可得： a2y2﹣ 2pb2y+a2b2=0，
∴ y A+y B=，
∵ | AF|+| BF| =4| OF| ，∴ y A B ×× ，
+y +2 =4
∴=p，
∴= ．
∴该双曲线的渐近线方程为： y=± x．
故答案为： y=±x．
【评论】此题考察了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
16．（ 12 分）某旅行喜好者计划从3 个亚洲国家 A1，A2，A3和 3 个欧洲国家 B1，B2， B3中选择 2 个国家去旅行．
（Ⅰ）若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包含 A1但不包含
B1的概率．
【剖析】（Ⅰ ）从这 6 个国家中任选 2 个，基本领件总数n= =15，这 2 个国家都是亚洲国家包含的基本领件个数m=，由此能求出这2个国家都是亚洲国
家的概率．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，利用列举法能求出这 2 个国家包含
A1但不包含 B1的概率．
【解答】解：（Ⅰ）某旅行喜好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A2，A3和 3 个欧洲国
家 B1，B2，B3中选择 2 个国家去旅行．
从这 6 个国家中任选 2 个，基本领件总数n==15，
这 2 个国家都是亚洲国家包含的基本领件个数m=，
∴这 2 个国家都是亚洲国家的概率P= = =．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，包含的基本领件个数为9 个，分别为：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），
（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），
这 2 个国家包含 A1但不包含 B1包含的基本领件有：（A1，B2），（ A1，B3），共 2 个，
∴这 2 个国家包含 A1但不包含 B1的概率 P= ．
【评论】此题考察概率的求法，波及到古典概型、摆列、组合、列举举等知识点，考察运算求解能力，考察会合思想，是基础题．
17．（12 分）在△ ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b=3，= ﹣6， S△ABC=3，求 A 和 a．
【剖析】依据向量的数目积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出 A 和 c 的值，再依据余弦定理即可求出a．
【解答】解：由=﹣6 可得 bccosA=﹣6，①，
由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3，②
∴tanA=﹣1，
∵ 0＜ A＜ 180°，
∴A=135°，
∴ c= =2 ，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣ 2bccosA=9+8+12=29
∴a=
【评论】此题考察了向量的数目积公式和三角形的面积公式和余弦定理，考察了学
生的运算能力，属于中档题
18．（ 12 分）由四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1截去三棱锥 C1﹣B1CD1后获得的几何体如下图，四边形 ABCD为正方形， O 为 AC 与 BD 的交点， E 为 AD 的中点， A1E ⊥平面 ABCD，
（Ⅰ）证明： A1O∥平面 B1CD1；
（Ⅱ）设 M 是 OD 的中点，证明：平面A1EM⊥平面 B1CD1．
【剖析】（Ⅰ）取 B1D1中点 G，连接 A1 G、CG，推导出 A1 G OC，从而四边形 OCGA1 是平行四边形，从而A1O∥CG，由此能证明A1O∥平面 B1CD1．
（Ⅱ）推导出 BD⊥A1E，AO⊥BD，EM⊥BD，从而 BD⊥平面 A1EM，再由 BD∥ B1 D1，得 B1D1⊥平面 A1EM，由此能证明平面 A1EM⊥平面
B1CD1．【解答】证明：（Ⅰ）取 B1D1中点 G，连接 A1G、
CG，∵四边形 ABCD为正方形， O 为 AC与 BD 的交点，
∴四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥 C1﹣B1CD1后， A1G OC，
∴四边形 OCGA1是平行四边形，∴ A1O∥CG，
∵A1O?平面 B1CD1， CG? 平面 B1CD1，
∴ A1O∥平面 B1CD1．
（Ⅱ）四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1截去三棱锥 C1﹣B1CD1后， BD B1D1，
∵M 是 OD 的中点， O 为 AC 与 BD 的交点， E 为 AD 的中点， A1E⊥平面 ABCD，又 BD? 平面 ABCD，∴ BD⊥A1E，
∵四边形 ABCD为正方形， O 为 AC与 BD 的交点，
∴ AO⊥ BD，
∵M 是 OD 的中点， E 为 AD 的中点，∴ EM⊥BD，
∵A1E∩ EM=E，∴ BD⊥平面 A1EM，
∵BD∥B1D1，∴ B1D1⊥平面 A1EM，
∵B1D1? 平面 B1CD1，
∴平面 A1 EM⊥平面 B1CD1．
【评论】此题考察线面平行的证明，考察面面垂直的证明，波及到空间中线线、
线面、面面间的地点关系等知识点，考察推理论证能力、运算求解能力、数据办理
能力，考察化归与转变思想、函数与方程思想、数形联合思想，是中档题．
19．（ 12 分）已知 { a n} 是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．
（1）求数列 { a n} 通项公式；
（2）{ b n} 为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 S n，已知 S2n+1=b n b n+1，求数列的前 n 项和 T n．
【剖析】（1）经过首项和公比，联立 a1+a2=6、a1a2=a3，可求出 a1=q=2，从而利
用等比数列的通项公式可得结论；
（ 2）利用等差数列的性质可知S2n+1=（2n+1）b n+1，联合 S2n+1=b n b n+1可知 b n=2n+1，
从而可知
= ，利用错位相减法计算即得结论．
【解答】 解：（1）记正项等比数列 { a n } 的公比为 q ，
由于 a 1+a 2=6， a 1a 2=a 3， 因此（ 1+q ） a ，
2 ，
1=6 q =q a 1
解得： a 1=q=2，
因此 a n =2n ；
（ 2）由于 { b n } 为各项非零的等差数列，
因此 S 2n +1=（2n+1）b n +1，
又由于 S 2n +1=b n b n +1，
因此 b n =2n+1，
=
，
因此 T n
（
） ，
=3? +5?
+ + 2n+1 ?
T =3?
+5? + +（ 2n ﹣1）? +（ 2n+1） ?
，
n
两式相减得： T n （ +
）﹣（ ） ? ，
=3? +2 + + 2n+1 即 T n =3? （ + +
）﹣（ ） ， + + + 2n+1 ?
即 T n ）﹣（ 2n+1 ）
? =3+ ﹣（ ）
?
=3+1+ + + + +
2n+1
=5﹣
．
【评论】此题考察数列的通项及前 n 项和，考察等差数列的性质， 考察错位相减
法，注意解题方法的累积，属于中档题．
20．（ 13 分）已知函数 f （x ）= x 3﹣ ax 2 ，a ∈R ，
（ 1）当 a=2 时，求曲线 y=f （x ）在点（ 3， f （3））处的切线方程；
（ 2）设函数 g （ x ）=f （x ） +（ x ﹣ a ） cosx ﹣sinx ，议论 g （x ）的单一性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【剖析】（1）依据导数的几何意义即可求出曲线y=f（x）在点（ 3， f（3））处的切线方程，
（2）先求导，再分类议论即可求出函数的单一区间和极
值【解答】解：（1）当 a=2 时， f （x）= x3﹣x2，
∴f （′ x）=x2﹣2x，
∴k=f （′3） =9﹣ 6=3， f（3）= ×27﹣9=0，
∴曲线 y=f（ x）在点（ 3，f（3））处的切线方程y=3（x﹣3），即 3x﹣ y﹣ 9=0 （2）函数 g（x）=f（ x） +（ x﹣a）cosx﹣sinx= x3﹣ ax2+（ x﹣ a） cosx﹣sinx，
∴g′（x） =（ x﹣ a）（x﹣sinx），
令 g′（x）=0，解得 x=a，或 x=0，
①若 a＞0 时，当 x＜0 时， g′（x）＞ 0 恒建立，故 g（x）在（﹣∞， 0）上单一递加，
当 x＞a 时， g′（ x）＞ 0 恒建立，故 g（ x）在（ a，+∞）上单一递
加，当 0＜x＜ a 时， g′（ x）＜ 0 恒建立，故 g（ x）在（ 0，a）上单
一递减，∴当 x=a 时，函数有极小值，极小值为 g（ a） =﹣ a3﹣sina
当 x=0 时，有极大值，极大值为g（ 0）=﹣ a，
②若 a＜0 时，当 x＞0 时， g′（x）＞ 0 恒建立，故 g（x）在（﹣∞， 0）上单一递加，
当 x＜a 时， g′（ x）＞ 0 恒建立，故 g（ x）在（﹣∞， a）上单一递
加，当 a＜x＜ 0 时， g′（ x）＜ 0 恒建立，故 g（ x）在（ a，0）上单
一递减，∴当 x=a 时，函数有极大值，极大值为 g（ a） =﹣ a3﹣sina
当 x=0 时，有极小值，极小值为 g（ 0）=﹣ a
③当 a=0 时， g′（x）=x（ x+sinx），
当 x＞0 时， g′（ x）＞ 0 恒建立，故 g（ x）在（ 0，+∞）上单一递
加，当 x＜0 时， g′（ x）＞ 0 恒建立，故 g（ x）在（﹣∞， 0）上单
一递加，∴ g（ x）在 R 上单一递加，无极值．
【评论】此题考察了导数的几何意义和导数和函数的单一性和极值的关系，重点是分类议论，考察了学生的运算能力和转变能力，属于难题
21．（ 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆 C 截直线 y=1 所得线段的长度为2．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）动直线 l：y=kx+m（ m≠0）交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于点 M ．点 N 是 M 对于 O 的对称点，⊙ N 的半径为 | NO| ．设 D 为 AB 的中点， DE，DF 与⊙N 分别相切于点 E，F，求∠ EDF的最小值．
【剖析】（Ⅰ）第一依据题中信息可得椭圆 C 过点（，1），而后联合离心率可
得椭圆方程；
（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转变为求角度正弦的最小值，联合题目信息可
求得 D、N 坐标及⊙ N 半径，从而将 DN 长度表示出来，可求∠ EDF最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆 C 的离心率为，
∴= ， a2=2b2，
∵椭圆 C 截直线 y=1 所得线段的长度为2，
∴椭圆 C 过点（，1），
∴+ =1，
∴b2=2，a2=4，
∴椭圆 C 的方程为+=1．
（ Ⅱ）设 A ，B 的横坐标为 x 1，x 2，
则 A （x 1， 1 ），（2， 2 ）， （
，
+m ）， kx +m B x kx +m D
联立
可得（ 1+2k 2） x 2+4kmx+2m 2﹣4=0，
∴ x 1+x 2=﹣
，
∴D （﹣
，
），
∵ M （0，m ），则 N （0，﹣ m ）， ∴⊙ N 的半径为 | m| ，
|DN|= = ，
设∠ EDF=α，
∴ sin =
= = = ，
令 y=
，则 y ′=
，
当 k=0 时， sin 获得最小值，最小值为
．
∴∠ EDF 的最小值是 60°．
【评论】此题考察圆锥曲线的最值问题， 重要的是能将角度的最小值进行转变求解．。