高三数学一轮复习课时提能演练 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 理 新课标

(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·中山模拟)如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体的位置关系是( )
(A)平行(B)相交且垂直
(C)异面 (D)相交成60°
2.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
(A)A，M，O三点共线 (B)A，M，O，A1不共面
(C)A，M，C，O不共面 (D)B，B1，O，M共面
3.(2012·信阳模拟)平面α、β的公共点多于两个，则
①α、β垂直
②α、β至少有三个公共点
③α、β至少有一条公共直线
④α、β至多有一条公共直线
以上四个判断中不成立的个数为n，则n等于( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
4.(易错题)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命
题，其中正确的命题是( ) ①P∈a，P∈α⇒a ⊂α ②a∩b＝P ，b ⊂β⇒a ⊂β
③a∥b，a ⊂α，P∈b，P∈α⇒b ⊂α ④α∩β＝b ，P∈α，P∈β⇒P∈b (A )①② (B)②③ (C)①④ (D)③④
5.如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )
6.(2012·揭阳模拟)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是( )
(A)
55 (B)255 (C)12
(D)2 二、填空题(每小题6分，共18分)
7.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有 对.
8.(2012·东莞模拟)已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面.则a ，b 在α上的射影有可能是 ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线
③同一条直线
④一条直线及其外一点
在上面结论中，正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号)
9.(2012·杭州模拟)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；
⑤若a，b与c成等角，则a∥b.
上述命题中正确的命题是(只填序号).
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1A，C1C的中点，求证：四边形EBFD1是菱形.
【探究创新】
(16分)在长方体ABCD—A′B′C′D′的A′C′面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B′D′上).
(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由.
(2)过P点在平面A′C′内作一直线l′，使l′与直线BD成α角，这样的直线有几条？
答案解析
1.【解析】选D.在正方体的直观图中，连接AC(如图所示)，得正三角形ABC，
∴AB，CD在原正方体的位置关系是相交成60°的角.
2. 【解析】选A.连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.
∴A，M，O三点共线.
3.【解析】选C.由条件知当平面α、β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α、β相交；若公共点不共线，则α、β重合.故①不一定成立；②成立；③成立；④不成立.
4.【解析】选D.当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，
∴①错；当a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，
∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a ∥b ，由a 与b 确定唯一平面β，但β过直线a 与点P ，∴β与α重合，∴b α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确.
【误区警示】解答本题时对平面性质不熟、不善于举出反例是致错的主要原因. 5.【解析】选D.在A 图中分别连接PS ，QR ， 易证PS ∥QR ，∴P ，Q ，R ，S 共面； 在C 图中分别连接PQ ，RS ， 易证PQ ∥RS ，∴P ，Q ，R ，S 共面.
如图，在B 图中过P ，Q ，R ，S 可作一正六边形， 故四点共面；
D 图中PS 与QR 为异面直线，∴四点不共面，故选D.
【误区警示】对于截面问题，常因不能准确确定平面的交线而出错.
【变式备选】已知四个命题：①三点确定一个平面；②若点P 不在平面α内，A 、B 、C 三点都在平面α内，则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内；③两两相交的三条直线在同一平面内；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【解析】选A.根据平面的基本性质进行判断.①不正确，若此三点共线，则过共线的三点有无数个平面.②不正确，当A 、B 、C 三点共线时，P 、A 、B 、C 四点共面.③不正确，共点的三条直线可能不共面，如教室墙角处两两垂直相交的三条直线就不共面.④不正确，将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形，两组对边仍然相等，但四个点不共面，连平面图形都不是，显然不是平行四边形.
6.【解析】选B.如图，取AC 中点G ，连FG 、EG ，则FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ；EG ∥BC ，EG ＝12BC ，
故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在Rt △EFG 中，cos ∠EFG ＝FG FE ＝25
＝25
5.
7. 【解析】正方体如图，若要出现所成角为60°的异 面直线，则直线需为面对角线，以AC 为例，与之构成 黄金异面直线对的直线有4条，分别是A ′B ，BC ′，
A ′D ，C ′D ，正方体的面对角线有12条，所以所求 的黄金异面直线对共有12×4
2＝24对(每一对被计算
两次，所以记好要除以2). 答案：24
8.【解析】只有当a 、b 在同一平面内时，a 、b 在α上的射影才可能是同一条直线.故③错，其余都有可能. 答案：①②④
9.【解析】由公理4知①正确；
当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；
当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确； a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④不正确； 当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确. 答案：①
10. 【解题指南】根据公理3，确定两平面的两个公共点即可得到交线. 【解析】在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F ， ∵D 1F 与DA 不平行，
∴D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ， 则P ∈D 1F ，P ∈DA.
又∵D1F⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，
∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，
∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.如图所示.
11.【证明】如图所示，取B1B的中点G，
连接GC1，EG，
∵GB∥C1F，且GB＝C1F
∴四边形C1FBG是平行四边形，
∴FB∥C1G，且FB＝C1G，
∵D1C1∥EG，且D1C1＝EG，
∴四边形D1C1GE为平行四边形.
∴GC1∥D1E，且GC1＝D1E，
∴FB∥D1E，且FB＝D1E，
∴四边形EBFD1为平行四边形.
又∵FB＝FD1，∴四边形EBFD1为菱形.
【误区警示】解答本题时，常忽视对四边形EBFD1为平面图形的证明，如证得BE＝ED1＝D1F
＝FB 后即下结论得到菱形. 【探究创新】
【解析】(1)连接B ′D ′，在平面A ′C ′内过点P 作直线l ，使l ∥B ′D ′， ∵B ′D ′∥BD ，∴l ∥BD ， ∴l 即为所求作的直线.
(2)当α＝π
2或0时，这样的直线l ′有且只有一条；
当α≠π
2且α≠0时，这样的直线l ′有两条.。