数学高一- 必修1 3.1 正整数指数函数 学案

3.1正整数指数函数
学习目标
1. 了解正整数指数函数模型的实际背景．
2. 了解正整数指数函数的概念．(重点)
3. 理解具体的指数函数的图像特征．(重点)
4. 会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点)
情景导入
世界人口的快速增长是伴随着全球社会经济的快速发展而发生的。

两千年前，地球上的人口还不足2.5亿人，到了1650年，人口总数增加了一倍。

又过了200年，人口总数再次翻番，至1830年，已超过10亿人。

此后，人口翻番的间隔年份越来越短，从10亿到20亿，只用了100年，而从20亿到40亿，仅仅花了45年的时间。

进入20世纪后，世界人口呈现爆炸式增长：全球人口于1999年6月已达到60亿，约是1900年全球人口的4倍，是1960年全球人口的2倍。

世界人口从50亿增长到60亿，只花了12年时间，这比之前任何一个10亿数人口增长的速度都要快。

有关机构还预计，2025年，全球人口将突破80亿大关，2050年全球人口将增长至90亿，到世纪末世界总人口将达到110亿。

如果人口每年按2％的比例增长，大约2500年，每平方米土地上就有一个人；而到2800年，地球上人口会像在拥挤的公共汽车上那样密集。

一、自主学习
[基础·初探]
教材整理正整数指数函数的概念
阅读教材P61～P63有关内容，完成下列问题．
1. 一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
2. 正整数指数函数的图像特点
前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．
3. 当0<a<1时，y＝a x(x∈N＋)是减函数，当a>1时，y＝a x(x∈N＋)是增函数．
4. 指数型函数
把形如y＝ka x(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正整数指数函数的定义域为N.()
(2)正整数指数函数的图像是间断的．()
(3)函数y ＝2·3x ，x ∈N ＋是正整数指数函数．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
二、合作探究
探究一：正整数指数函数的定义 [小组合作型]
(1)下列函数中是正整数指数函数的是( ) A ．y ＝10x ＋
1，(x ∈N ＋) B ．y ＝(－2)x ，(x ∈N ＋) C ．y ＝5·2x ，(x ∈N ＋)
D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x
，(x ∈N ＋)
(2)函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是正整数指数函数，则a ＝________. 【精彩点拨】 明确正整数指数函数的结构形式是求解本例的关键． 【尝试解答】 (1)A 中y ＝10x
＋1
的指数为x ＋1，而不是x ，故不是正整数指数函数；
B 中y ＝(－2)x 的底数－2<0，故不是正整数指数函数；
C 中y ＝5·2x 的系数为5，不是1，故不是正整数指数函数；
D 中y ＝⎝⎛⎭⎫13x
符合正整数指数函数的定义．
(2)由正整数指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋3＝1，a >0，a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2或1，a >0，a ≠1，
∴a ＝2.
【答案】 (1)D (2)2
1. 正整数指数函数解析式的基本特征：a x 前面的系数必须是1，自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上，底数a 是大于零且不等于1的常数．
2. 要注意正整数指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)与幂函数y ＝x a 的区别． [再练一题]
1. 正整数指数函数f (x )过点⎝⎛⎭⎫2，1
2，则f (x )＝______. 【解析】 设f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，∴a 2＝1
2，
∴a ＝
22
， ∴f (x )＝⎝⎛
⎭
⎫22x
，x ∈N ＋. 【答案】 ⎝⎛⎭
⎫2
2x ，x ∈N ＋
探究二：正整数指数函数的图像与性质
(1)画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x
(x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性； (2)画出函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性．
【精彩点拨】 使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N ＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．
【尝试解答】 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x (x ∈N ＋)的图像如图①所示，从图像可知，函数y ＝⎝⎛⎭
⎫13x
(x ∈N ＋)是单调递减的．
(2)函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像如图②所示，从图像可知，函数y ＝3x (x ∈N ＋)是单调递增的．
① ②
1. 正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．
2. 当0<a <1时，y ＝a x (x ∈N ＋)是减函数；当a >1时，y ＝a x (x ∈N ＋)是增函数． [再练一题]
2. 若函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x
的定义域为{1,2,3,4,5}，则函数的值域为________． 【解析】 当x ＝1时，f (x )＝13，
当x ＝2时，f (2)＝⎝⎛⎭⎫132＝1
9， 当x ＝3时，f (3)＝⎝⎛⎭⎫133＝127， 当x ＝4时，f (4)＝⎝⎛⎭⎫134＝181， 当x ＝5时，f (5)＝⎝⎛⎭⎫135＝1243.
所以函数f (x )的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，19，1
27，181，1243.
【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，19，1
27，181，1243
探究三：正整数指数函数的应用 [探究共研型]
探究1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去，你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5时，得到的细胞个数吗？用图像表示呢？
【提示】
分裂次数(n)12345
细胞个数(y)2481632
探究 2 请你写出探究1中得到的细胞个数y与分裂次数n之间的函数关系式．
【提示】细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为y＝2n，n∈N＋.
雾霾对人的身体健康的危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多，据不完全统计，某地从2009年到2013年间平均每年上升2%.若按这个增长率进行研究，设从2008年开始经过x(x∈N＋)年，患呼吸道疾病的人数为y人，若2013年患病人数为11万人：(参考数据1.023≈1.06,1.025≈1.1)
(1)试计算出2008年患呼吸道疾病的人数；
(2)写出x，y之间的关系式，并计算2016年患呼吸道疾病的人数．
【精彩点拨】利用正整数指数型函数模型，列出关系式，计算．
【尝试解答】(1)设2008年患病人数为a万人，则a(1＋2%)5≈11，即a×1.025≈11.
∵1.025≈1.1，∴a≈10(万人)，∴2008年患呼吸道疾病的人数约10万人．
(2)2009年患病的人数为10(1＋20%)，
2010年患病的人数为10(1＋20%)＋10(1＋2%)×2%＝10(1＋2%)2，
2011年患病的人数为10(1＋20%)2＋10(1＋2%)2×2%＝10(1＋2%)3.
…
x年后患病的人数为10(1＋20%)x.
故y＝10(1＋2%)x＝10×1.02x(x∈N＋)，
在2016年，x＝8，故患病人数y≈10×1.028＝10×1.025×1.023≈10×1.1×1.06＝11.66(万人)．∴2016年患呼吸道疾病的人数约11.66万人．
1. 由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．
2. 在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值或总产量y ，可以用公式y ＝N (1＋p )x 表示．
[再练一题]
3. 日本福岛核电站爆炸中释放的碘-131不断衰变，每经过8天(周期)剩留的这种物质是原来的50%，写出这种物质的剩留量y 随时间x (周期)变化的函数解析式．
【解】 设这种物质最初的质量是1，经过x 个周期，剩留量是y . 经过1个周期，剩留量y ＝1×50%＝0.51； 经过2个周期，剩留量y ＝(1×50%)×50%＝0.52； …
经过x 个周期，剩留量y ＝0.5x (x ∈N ＋).
三、课堂检测
1. 给出下列函数：①y ＝πx ；②y ＝4－
x ；③y ＝x 3；④y ＝(1－2)x .当x ∈N ＋时，是正整数指数函数的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 由正整数指数函数的定义，知①y ＝πx ， ②y ＝4－
x ＝⎝⎛⎭⎫14x 是正整数指数函数． 【答案】 B
2. 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈N ＋是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数
D ．偶函数
【解析】 正整数指数函数，不具备奇偶性，故C 、D 错误，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈N
＋
的底数0<1
2<1，故此函数是减函数．
【答案】 B
3. 指数型函数y ＝2x ，x ∈{1,2,3,4,5}的值域为________． 【解析】 当x ＝1,2,3,4,5时，y ＝2,4,8,16,32， 故y ＝2x ，x ∈{1,2,3,4,5}的值域为{2,4,8,16,32}． 【答案】 {2,4,8,16,32}
4. 某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率
相同，设为x ，则求两次降价的百分率列出的方程为________．
【解析】 由题意，两次降价后的药品价格满足100(1－x )2＝81. 【答案】 100(1－x )2＝81
5. 由于某款手机的制作成本不断降低，若五年内每年手机价格降低原来的1
3，设现在
的手机价格为8 100元．
(1)写出手机价格y 随年数x 的变化的关系式，并写出定义域； (2)画出其函数图像．
【解】 (1)y ＝8 100⎝⎛⎭⎫1－13x ＝8 100⎝⎛⎭
⎫2
3x (1≤x ≤5，x ∈N ＋)， ∴y 与x 的关系式是y ＝8 100×⎝⎛⎭
⎫23x . 其定义域为{x |1≤x ≤5，x ∈N ＋}． (2)作图：
四、 课堂小结
1．正整数指数幂的运算应注意以下几点：
(1)同底数正整数指数幂的乘、除，底数不变，指数进行加减运算；
(2)正整数指数幂的运算也符合有关的运算律及运算步骤，如结合律，即在运算中先算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的部分；
(3)要注意运算律的逆用，如a mn ＝(a m )n ＝(a n )m ；
(4)运算结果要统一，如负整数指数幂，最后一般化成正整数指数幂．
2．形如y ＝N (1＋P )x 的函数叫做指数型函数．在实际问题中，常常遇到有关增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，增长率为P ，则对于时间x 的总产值y ＝N (1＋P ) x .。