数学_2014年上海市高考数学模拟试卷(8)_(含答案)

2014年上海市高考数学模拟试卷（8）
一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．
1. 若集合A ＝{x|1≤x ≤3}，集合B ＝{x|x <2}，则A ∩B ＝________．
2. 函数y =log 2(x 2−9)的定义域是________．
3. 抛物线y 2=−4x 的焦点坐标为________．
4. 函数y =√3sinxcosx +cos 2x −12的最小正周期是________．
5. 已知平面向量a →=(3, 1)，b →=(x, 3)，且a →⊥b →，则x 的值为________．
6. 圆x 2+y 2=4上的点到直线4x −3y +25=0的距离的最大值是________．
7. 如图，四边形ABCD ，ADEF 均为正方形，∠CDE =90∘，则异面直线BE 与CD 所成的角的大小为________
8. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c =√2，b =√6，B =120∘，则a =________．
9. 已知等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，则该数列前9项和S 9等于________．
10. 从{1, 2, 3, 4, 5}中随机选取一个数为a ，从{1, 2, 3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是________．
11. 已知函数f(x)={x 2−4x +6(x ≥0)
x +6(x <0)
，则满足f(x)>f(1)的x 取值范围是________． 12. 函数f(x)＝sinx +2|sinx|，x ∈[0, 2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是________．
二．选择题（本大题满分30分）本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．
13. 已知函数f(x)=2x (x ∈R)的反函数为f −1(x)，则f −1(1)等于（ ）
A 0
B 1
C 2
D 4
14. 经过点P(2,√3)且与直线√3x −y +2=0平行的直线为（ ）
A √3x −y +√3=0
B √3x −y −√3=0
C √3x +y +√3=0
D √3x +y −√3=0
15. 若a >b >0，则下列不等式不成立的是（ ）
A 1a <1b
B |a|>|b|
C a +b ≥2√ab
D (12)a >(12)b
16. 函数y =cos2x 为减函数的单调区间为（ ）
A [−π4，π4]
B [−π4，3π4]
C [0,π2]
D [π2，π] 17. (1−2x)5的展开式中x 2的系数是（ ）
A 10
B −10
C 40
D −40
18. 条件p:x ≥0，条件q:x 2≤x ，则p 是q 的（ ）
A 充分而不必要条件
B 必要而不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
19. 已知实数x ，y 满足方程(x −2)2+y 2=1，那么y x 的最大值为（ ） A 12 B √32 C √33
D √3 20. 已知函数f(x)＝Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为（ ）
A f(x)=2sin(12x +π6)
B f(x)=2sin(12x −π6)
C f(x)=2sin(2x −π
6) D f(x)=2sin(2x +π
6) 21. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为( )
A 8√2π
B 8π
C 4√2π
D 4π
22. 在复平面内，复数z ＝i(1+2i)对应的点位于（ ）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
三．解答题（本大题满分41分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
23. 已知复数w 满足w −4=(3−2w)i （i 为虚数单位），z =5
w +|w −2|，求一个以z 为根的实系数一元二次方程．
24. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2+a 4＝6，S 4＝10．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）令b n ＝a n ⋅2n (n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和T n ．
25. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2, 0)，右顶点为(√3, 0)
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若直线l:y =kx +√2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →⋅OB →>2（其中O 为原点）．求k 的取值范围．
26. 已知函数f(x)=−1a +2x (x >0)．
（1）判断f(x)在(0, +∞)上的单调性，并证明；
（2）解关于x 的不等式f(x)>0；
（3）若f(x)+2x ≥0在(0, +∞)上恒成立，求a 的取值范围．
2014年上海市高考数学模拟试卷（8）答案
1. {x|1≤x <2}
2. (−∞, −3)∪(3, +∞)
3. (−1, 0)
4. π
5. −1
6. 7
7. arctan √2
8. √2
9. 36
10. 15 11. (−3, 1)∪(3, +∞)
12. (1, 3)
13. A
14. B
15. D
16. C
17. C
18. B
19. C
20. D
21. B
22. B
23. 解：[解法一]∵ 复数w 满足w −4=(3−2w)i ，∴ w(1+2i)=4+3i ， ∴ w(1+2i)(1−2i)=(4+3i)(1−2i)，
∴ 5w =10−5i ，∴ w =2−i ．
∴ z =52−i +|2−i −2|=5(2+i)(2−i)(2+i)+1=2+i +1=3+i ．
若实系数一元二次方程有虚根z =3+i ，则必有共轭虚根z ¯=3−i ．
∵ z +z ¯=6，z ⋅z ¯
=10，
∴ 所求的一个一元二次方程可以是x 2−6x +10=0．
[解法二]设w =a +b ，(a, b ∈Z)，∴ a +bi −4=3i −2ai +2b ，
得{a −4=2b b =3−2a
解得{a =2b =−1，∴ w =2−i ， 以下解法同[解法一]．
24. 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2+a 4＝6，S 4＝10，
可得{2a 1+4d =64a 1+4×32d =10 ，，
即{a 1+2d =32a 1+3d =5
， 解得{a 1=1d =1
， ∴ a n ＝a 1+(n −1)d ＝1+(n −1)＝n ，
故所求等差数列{a n }的通项公式为a n ＝n ．
依题意，b n ＝a n ⋅2n ＝n ⋅2n ，
∴ T n ＝b 1+b 2++b n ＝1×2+2×22+3×23++(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n ， 又2T n ＝1×22+2×23+3×24+...+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1，
两式相减得−T n ＝(2+22+23++2
n−1+2n )−n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，
∴ T n ＝(n −1)⋅2n+1+2．
25. 解：（1）设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)．
由已知得a =√3，c =2，再由a 2+b 2=22，得b 2=1．
故双曲线C 的方程为x 23−y 2=1．
（2）将y =kx +√2代入x 23−y 2=1得(1−3k 2)x 2−6√2kx −9=0．
由直线l 与双曲线交于不同的两点得{1−3k 2≠0△=(6√2k)2+36(1−3k 2)=36(1−k 2)>0.
即k 2≠13且k 2<1．①
设A(x A , y A )，B(x B , y B )，
则x A +x B =6√2k 1−3k 2，x A x B =−91−3k 2，由OA →⋅OB →>2得x A x B +y A y B >2， 而x A x B +y A y B =x A x B +(kx A +√2)(kx B +√2)=(k 2+1)x A x B +√2k(x A +x B )+2=(k 2+1)−9
1−3k 2+√2k 6√2k
1−3k 2+2=3k 2+73k 2−1．
于是3k 2+73k 2−1>2，即
−3k 2+93k 2−1>0，解此不等式得13<k 2<3．② 由①、②得13<k 2<1．
故k 的取值范围为(−1,−√33)∪(√33
,1)． 26. 解：（1）f(x)在(0, +∞)上为减函数，证明如下：
∵ f ′(x)=−2x 2<0，
∴ f(x)在(0, +∞)上为减函数．
（2）由f(x)>0得−1a +2x >0，
即x−2a ax <0．
①当a>0时，不等式解集为{x|0<x<2a}．
②当a<0时，原不等式为x−2a
x
>0．
解集为{x|x>0}．
（3）若f(x)+2x≥0在(0, +∞)上恒成立，
即−1
a +2
x
+2x≥0．∴ 1
a
≤2
x
+2x．
∵ 2
x +2x≥4，∴ 1
a
≤4．
解得a<0或a≥1
4
．。